Exercices – Les suites – AP

Exercice 1 : suites géométriques

Dans chacun des cas on considère une suite $\left(u_n\right)$. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

$u_0=25$ et $u_{n+1}=0,3u_n$ pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
$u_0=3$ et $u_{n+1}=4u_n$ pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
$u_0=-6$ et $u_{n+1}=2u_n$ pour tout entier naturel $n$.
$\quad$

Exercice 1

$u_0=25$ et $u_{n+1}=0,3u_n$ pour tout entier naturel $n$.
$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,3$ et de premier terme $u_0=25$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=25\times 0,3^n$.
$\quad$
$u_0=3$ et $u_{n+1}=4u_n$ pour tout entier naturel $n$.
$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $4$ et de premier terme $u_0=3$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=3\times 4^n$.
$\quad$
$u_0=-6$ et $u_{n+1}=2u_n$ pour tout entier naturel $n$.
$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $2$ et de premier terme $u_0=-6$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=-6\times 2^n$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2 : suites arithmético-géométriques

Dans chacun des cas on considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique puis exprimer $v_n$ et $u_n$ en fonction de $n$.

$u_0=\dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=5u_n+2$ et $v_n=u_n+\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
$u_0=100$ et pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+50$ et $v_n=u_n-75$.
$\quad$

Correction Exercice 2

$u_0=\dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=5u_n+2$ et $v_n=u_n+\dfrac{1}{2}$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=v_n-\dfrac{1}{2}$.
Ainsi :
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}+\dfrac{1}{2} \\
&=5u_n+2+\dfrac{1}{2} \\
&=5u_n+\dfrac{5}{2} \\
&=5\left(v_n-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{5}{2} \\
&=5v_n-\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2} \\
&=5v_n
\end{align*}$
$\quad$
On peut aussi procéder ainsi :
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}+\dfrac{1}{2} \\
&=5u_n+2+\dfrac{1}{2} \\
&=5u_n+\dfrac{5}{2} \\
&=5\left(u_n+\dfrac{1}{2}\right)\\
&=5v_n
\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $5$ et de premier terme $v_0=u_0+\dfrac{1}{2}=1$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=5^n$ et donc $u_n=v_n-\dfrac{1}{2}=5^n-\dfrac{1}{2}$.
$u_0=100$ et pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+50$ et $v_n=u_n-75$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=v_n+75$.
Ainsi :
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-75 \\
&=\dfrac{1}{3}u_n+50-75 \\
&=\dfrac{1}{3}u_n-25 \\
&=\dfrac{1}{3}\left(v_n+75\right)-25 \\
&=\dfrac{1}{3}v_n+25-25\\
&=\dfrac{1}{3}v_n\end{align*}$
$\quad$
On peut aussi procéder ainsi :
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-75 \\
&=\dfrac{1}{3}u_n+50-75 \\
&=\dfrac{1}{3}u_n-25 \\
&=\dfrac{1}{3}\left(u_n-75\right) \\
&=\dfrac{1}{3}v_n
\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $v_0=u_0-75=25$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=25\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ et donc $u_n=v_n+75=25\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n+75$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3 : Problème avec une suite arithmético-géométrique

On estime que la population d’un village augmente de $4\%$ par an mais on estime également que chaque année $20$ personnes quittent le village. En 2017 la population était de $3~500$ habitants.

On modélise cette population par une suite $\left(u_n\right)$. Où $u_n$ représente le nombre d’habitants du village l’année $n+$2017 et $u_0=3~000$.

Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
$\quad$
Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ telle que $v_n=u_n-500$ pour tout entier naturel $n$ est une suite géométrique.
$\quad$
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
En quelle année la population du village aura-t-elle dépassée $5~000$ habitants?
$\quad$

Correction Exercice 3

la population d’un village augmente de $4\%$ par an. Donc pour tout entier naturel $n$ cela représente $\left(1+\dfrac{4}{100}\right)u_n$.
Ainsi :
$u_{n+1}=\left(1+\dfrac{4}{100}\right)u_n-20=1,04u_n-20$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-500 \ssi u_n=v_n+500$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-500 \\
&=1,04u_n-20-500 \\
&=1,04u_n-520 \\
&=1,04\left(v_n+500\right)-520\\
&=1,04v_n+520-520\\
&=1,04v_n
\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $v_0=u_0-500=2~500$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=2~500\times 1,04^n$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$u_n=v_n-500=2~500\times 1,04^n-500$
$\quad$
On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $2~500\times 1,04^n-500 \pg 5~000$.
On a $u_{20} \approx 4~978$ et $u_{21} \approx 5~197$.
Par conséquent $n=21$
C’est donc en 2038 que la population du village dépassera les $5~000$ habitants.
$\quad$

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$\quad$