Exercices – Probabilités conditionnelles – Loi binomiale (AP)

Exercice 1 d’après Antilles Guyane septembre 2015

Un supermarché dispose d’un stock de pommes. On sait que $40\%$ des pommes proviennent d’un fournisseur A et le reste d’un fournisseur B.
Il a été constaté que $85\%$ des pommes provenant du fournisseur A sont commercialisables. La proportion de pommes commercialisables est de $95\%$ pour le fournisseur B.
Le responsable des achats prend au hasard une pomme dans le stock. On considère les événements suivants :

$A$ : “la pomme provient du fournisseur A”;
$B$ : “la pomme provient du fournisseur B”;
$C$ : “la pomme est commercialisable”.

Partie A

Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.
$\quad$
Montrer que la probabilité que la pomme ne soit pas commercialisable est $0,09$.
$\quad$
La pomme choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu’il y a deux fois plus de chance qu’elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B. A-t-il raison?

Partie B

On admet que la proportion de pommes non commercialisables est $0,09$ et, quand nécessaire, on arrondira les résultats au millième.

On prend au hasard $15$ pommes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

Quelle est la probabilité que les $15$ pommes soient toutes commercialisables?
$\quad$
Quelle est la probabilité qu’au moins $14$ pommes soient commercialisables?
$\quad$

Correction Exercice 1

Partie A

$\quad$
D’après la formule des probabilités totales, on a :
$\begin{align*}
p\left(\overline{C}\right) &=p\left(A\cap \overline{C}\right)+p\left(B\cap \overline{C}\right)\\\\
&=0,4 \times 0,15+0,6\times 0,05\\\\
&=0,09
\end{align*}$
$\quad$
On va calculer $p_{\overline{C}}(A)$ et $p_{\overline{C}}(B )$
$\begin{align*} p_{\overline{C}}(A) &= \dfrac{p\left(A \cap \overline{C}\right)}{p\left(\overline{C}\right)} \\\\
&=\dfrac{0,4\times 0,15}{0,09}\\\\
&=\dfrac{2}{3}
\end{align*}$ $\qquad$ $\begin{align*} p_{\overline{C}}(B) &= \dfrac{p\left(B \cap \overline{C}\right)}{p\left(\overline{C}\right)} \\\\
&=\dfrac{0,6\times 0,05}{0,09}\\\\
&=\dfrac{1}{3}
\end{align*}$
Le responsable a donc raison.
$\quad$

Partie B

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de pommes commercialisables.
On prélève $15$ pommes; le tirage est considéré comme étant aléatoire et avec remise. Les tirages sont indépendants et à chaque fois on ne peut avoir que deux événements $C$ et $\overline{C}$.
De plus $p(C)=1-0,09=0,91$.
La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(15;0,91)$.
Ainsi $P(X=15)=0,91^{15}\approx 0,243$.
$\quad$
On veut ici calculer:
$\displaystyle \begin{align*} P(X\ge 14) &=P(X=14)+P(X=15)\\\\
&=\binom{15}{14}\times0,91^{14}\times 0,09+0,91^{15}\\\\
&\approx 0,604
\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2 Antilles Guyane juin 2015

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif.
L’enquête révèle que $70\%$ des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, $80\%$ pratiquent le tri sélectif.
Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve $10\%$ qui pratiquent le tri sélectif.
On interroge un élève au hasard dans le lycée. On considère les événements suivants :

$S$ : “l’élève interrogé est sensible au développement durable”;
$T$ : “l’élève interrogé” pratique le tri sélectif”.

Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
$\quad$
Calculer la probabilité que l’élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif.
$\quad$
Montrer que la probabilité $P(T)$ de l’événement $T$ est $0,59$.
$\quad$
On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif.
Peut-on affirmer que les chances qu’il se dise sensible au développement durable sont inférieures à $10\%$.
$\quad$
On interroge successivement et de façon indépendant quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l’établissement.
Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’élèves pratiquant le tri sélectif parmi les $4$ élèves interrogés.
Le nombre d’élèves de l’établissement est suffisamment grand pour que l’on considère que $X$ suit une loi binomiale.
a. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
$\quad$
b. Calculer la probabilité qu’aucun des quatre élèves interrogés ne pratique le tri sélectif.
$\quad$
c. Calculer la probabilité qu’au moins deux des quatre élèves interrogés pratiquent le tri sélectif.
$\quad$

Correction Exercice 2

$\quad$

$\quad$
On veut calculer $P(S \cap T) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$
$\quad$
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(T) &= P(S \cap T) + P\left(\overline{S} \cap T\right) \\\\
&= 0,56 + 0,3 \times 0,1 \\\\
&= 0,59
\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_{\overline{T}}(S) & =\dfrac{P\left(\overline{T} \cap S\right)}{P\left(\conj{T}\right)} \\\\
&= \dfrac{0,7 \times 0,2}{1-0,59} \\\\
& \approx 0,34
\end{align*}$
L’affirmation est donc fausse.
$\quad$
a. La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(4;0,59)$.
$\quad$
b. $P(X = 0) = \ds \binom{4}{0} \times 0,59^0 \times 0,41^4 \approx 0,03$
$\quad$
c.
$\begin{align*} P(X \ge 2) & = 1 – \left(P(X = 0) + P(X = 1)\right) \\\\
&\approx 1 – 0,19 \\\\
&\approx 0,81
\end{align*}$
$\quad$

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