Exercices – Probabilités conditionnelles – AP

Exercice 1

Dans une concession automobile, $85\%$ des acheteurs d’une voiture choisissent une peinture métallisée.
Parmi ceux-ci, $60\%$ choisissent en plus le régulateur de vitesse.
Parmi les acheteurs ne prenant pas de peinture métallisée, seulement $40\%$ choisissent le régulateur de vitesse.

On rencontre une personne qui vient d’acheter une voiture neuve dans cette concession.

Construire un arbre pondéré en lien avec cette situation.
$\quad$
Quelle est la probabilité :
a. Que cette personne ait choisi la peinture métallisée et le régulateur?
$\quad$
b. Que cette personne ait voulu ni de la peinture métallisée, ni du régulateur?
$\quad$
c. Que cette personne ait choisi de ne pas prendre le régulateur de vitesse?
$\quad$
Quel pourcentage des acheteurs opte pour le régulateur de vitesse?
$\quad$
Répondre aux questions 2. et 3. en s’aidant d’un tableau de pourcentages à double entrée à la place d’un arbre pondéré.
$\quad$

Correction Exercice 1

On appelle $M$ l’événement “la personne a choisi la peinture métallisée” et $R$ “la personne a choisi le régulateur de vitesse”.
Un arbre pondéré est :

$\quad$
a. On veut calculer $p(M\cap R)=0,85\times 0,6=0,51$.
La probabilité que cette personne ait choisi la peinture métallisée et le régulateur est $0,51$.
$\quad$
b. On veut calculer $p\left(\conj{M}\cap \conj{R}\right)=0,15\times 0,6=0,09$.
La probabilité que cette personne n’ait voulu ni de la peinture métallisée, ni du régulateur est $0,09$.
$\quad$
c. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p\left(\conj{R}\right)&=p\left(M\cap \conj{R}\right)+p\left(\conj{M}\cap \conj{R}\right) \\
&=0,85\times 0,4+0,15\times 0,6\\
&=0,43\end{align*}$
La probabilité que cette personne n’ait pas choisi de prendre le régulateur de vitesse est $0,43$.
$\quad$
On a donc $p(R)=1-p\left(\conj{R}\right)=0,57$.
$57\%$ des acheteurs optent donc pour le régulateur de vitesse.
$\quad$
On a le tableau suivant :
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&R&\conj{R}&\text{Total}\\
\hline
M&0,51&0,34&0,85\\
\hline
\conj{M}&0,06&0,09&0,15\\
\hline
\text{Total}&0,57&0,43&1\\
\hline
\end{array}$
Pour déterminer $p(M\cap R)$ on effectue le calcul $0,85\times 0,6$. On procède de même pour les autres probabilités.
On retrouve ainsi : $p(M\cap R)=0,51$, $p\left(\conj{M}\cap \conj{R}\right)=0,09$, $p\left(\conj{R}\right)=0,43$ et $p(R)=0,57$.

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$\quad$

Exercice 2

Une urne contient $12$ boules : $5$ noires, $3$ blanches et $4$ rouges.
On tire au hasard deux boules successivement sans remise.
En utilisant un arbre pondéré, calculer la probabilité pour que la deuxième boule tirée soit rouge.

$\quad$

Correction Exercice 2

On appelle, pour $i$ valant $1$ ou $2$ :

$N_i$ l’événement “La boule tirée au $i$-ème tirage est noire”;
$B_i$ l’événement “La boule tirée au $i$-ème tirage est blanche”;
$R_i$ l’événement “La boule tirée au $i$-ème tirage est rouge”.

On obtient l’arbre pondéré suivant :

D’après la formule des probabilités totales on a :

$\begin{align*} p\left(B_2\right)&=p\left(N_1\cap R_2\right)+p\left(B_1\cap R_2\right)+p\left(R_1\cap R_2\right) \\
&=\dfrac{5}{12}\times \dfrac{4}{11}+\dfrac{3}{12}\times \dfrac{4}{11}+\dfrac{4}{12}\times \dfrac{3}{11} \\
&=\dfrac{1}{3}
\end{align*}$

La probabilité pour que la deuxième boule tirée soit rouge est $\dfrac{1}{3}$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On donne l’arbre suivant. Compléter les pointillés avec les notations correspondant aux pondérations (à choisir parmi les propositions données sous l’arbre) :

$p(A)$, $p(B)$, $p(C)$, $p(D)$, $p\left(\conj{D}\right)$, $p_D(A)$, $p_{\conj{D}}(A)$, $p_A(D)$, $p_A\left(\conj{D}\right)$, $p_D(B)$, $p_{\conj{D}}(B)$, $p_B(D)$, $p_B\left(\conj{D}\right)$, $p_D(C)$, $p_{\conj{D}}(C)$, $p_C(D)$, $p_C\left(\conj{D}\right)$, $p(A\cap D)$, $p(B\cap D)$, $p(C\cap D)$, $p\left(A\cap \conj{D}\right)$, $p\left(B\cap \conj{D}\right)$, $p\left(C\cap \conj{D}\right)$, $p(A\cap B)$, $p(A\cap C)$, $p(B\cap C)$.

$\quad$

Correction Exercice 3

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$\quad$

Exercice 4

Pour chacune des questions, indiquer si l’affirmation est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

L’arbre suivant concerne uniquement la question 1.

a. $p_A(B)=0,6$
$\quad$
b. $p\left(A\cap \conj{B}\right)=0,012$
$\quad$
c. $p(B)=0,8$
$\quad$
Pour cette question $A$ et $B$ sont deux événements tels que $p(A)\neq 0$ et $p(B)\neq 0$.
a. Si $p(A)=0,5$ et $p(A\cap B)=0,2$ alors $p_B(A)=\dfrac{2}{5}$.
$\quad$
b. Si $p(A)=0,3$ et $p(B)=0,4$ alors $p(A\cap B)=0,12$
$\quad$
c. $p_A(B)=p_B(A)$
$\quad$
d. $p(B)=p(A)\times p_A(B)+p\left(\conj{A}\right)\times p\left(\conj{A}\right) \times p_{\conj{A}}(B)$.
$\quad$

Correction Exercice 4

a. D’après l’arbre pondéré on a bien $p_A(B)=0,6$
Réponse vraie
$\quad$
b. D’après l’arbre pondéré on a :
$p\left(A\cap \conj{B}\right)=0,3\times 0,4=0,12\neq 0,012$
Réponse fausse
$\quad$
c. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(B)&=p(A\cap B)+p\left(\conj{A}\cap B\right) \\
&=0,3\times 0,4+0,7\times 0,2 \\
&=0,12+0,14 \\
&=0,26\end{align*}$
Réponse fausse
$\quad$
a. $p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$. On ne connait pas la probabilité de $B$. On ne peut donc calculer $p_B(A)$.
Réponse fausse
b. Dans le cas général, $p(A\cap B)\neq p(A)\times p(B)$.
On a un contre-exemple avec la question 1.
$p(A\cap B)=0,3\times 0,6=0,18$
$p(A)\times p(B)=0,3\times 0,26=0,078$
Réponse fausse
c. $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$ et $p_B=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$.
Dans le cas général $p(A)$ et $p(B)$ ne sont pas nécessairement égales
et $p_A(B)\neq p_B(A)$
Réponse fausse
d. D’après la formule des probabilités totales on a :
$p(B)=p(A)\times p_A(B)+p\left(\conj{A}\right) \times p_{\conj{A}}(B)$
Réponse fausse
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Une entreprise vend des calculatrices d’une certaine marque.
Le service après-vente s’est aperçu qu’elles pouvaient présenter deux types de défauts, l’un lié au clavier, l’autre à l’affichage.

Des études statistiques ont permis à l’entreprise d’utiliser la modélisation suivante :

La probabilité pour une calculatrice tirée au hasard de présenter un défaut de clavier est égale à $0,04$.
En présence du défaut de clavier, la probabilité pour que la calculatrice soit en panne d’affichage est de $0,03$.
En l’absence de défaut de clavier, la probabilité pour que la calculatrice ne présente pas de défaut d’affichage est de $0,94$.

On note $C$ l’événement “la calculatrice présente un défaut de clavier” et $A$ l’événement “La calculatrice présente un défaut d’affichage”.

a. Préciser, à l’aide de l’énoncé, les probabilités suivantes : $p_C\left(\conj{A}\right)$, $p_C(A)$ et $p(C)$.
$\quad$
b. Construire un arbre pondéré décrivant cette situation.
$\quad$
On choisit une calculatrice de cette marque au hasard.
a. Calculez la probabilité pour que la calculatrice présente les deux défauts.
$\quad$
b. Calculez la probabilité pour que la calculatrice présente le défaut d’affichage, mais pas le défaut de clavier.
$\quad$

Correction Exercice 5

a. On a $p_C(A)=0,03$, $p(C)=0,04$ et $p_C\left(\conj{A}\right)=1-p_C(A)=0,97$.
$\quad$
b. On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
a. On veut calculer $p(C\cap A)=0,04\times 0,03=0,001~2 $
La probabilité que la calculatrice présente les deux défauts est $0,001~2$.
$\quad$
b. On veut calculer $p\left(\conj{C}\cap A\right)=0,96\times 0,06=0,057~6$.
La probabilité que la calculatrice présente le défaut d’affichage mais pas le défaut de clavier est $0,057~6$.
$\quad$

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