Exercices – Second degré – Tableaux de signes – AP

Exercice 1

Résoudre les équations suivantes

$x^2-10x+21=0$
$\quad$
$3x^2-5x+4=0$
$\quad$
$x^2-2x=0$
$\quad$
$36-x^2=0$
$\quad$

Correction Exercice 1

$x^2-10x+21=0$
$\Delta = (-10)^2-4\times 1\times 21 = 16>0$.
Il y a donc deux solutions réelles :
$x_1=\dfrac{10-\sqrt{16}}{2}=3$ et $x_2=\dfrac{10+\sqrt{16}}{2}=7$.
Les solutions de l’équations sont donc $3$ et $7$.
$\quad$
$3x^2-5x+4=0$
$\Delta=(-5)^2-4\times 3\times 4=-23<0$.
L’équation ne possède donc pas de solution réelle.
$\quad$
$x^2-2x=0 \ssi x(x-2)$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $x=0$ ou $x-2=0 \ssi x=2$.
Les solutions de l’équation sont $0$ et $2$.
$\quad$
$36-x^2=0 \ssi 6^2-x^2=0 \ssi (6-x)(6+x)=0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $6-x=0$ ou $6+x=0$
soit $x=6$ ou $x=-6$
Les solutions de l’équation sont donc $-6$ et $6$.$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Déterminer le tableau de signes des polynômes suivants.

$20x^2+60x+45=0$
$\quad$
$16-x^2=0$
$\quad$
$-x^2+3x+1=0$
$\quad$
$3x-18x^2=0$
$\quad$

Correction Exercice 2

$20x^2+60x+45=0$
$\Delta=60^2-4\times 20\times 45=0$
L’équation possède une unique solution $\dfrac{-60}{2\times 20}=-\dfrac{3}{2}$.
$a=20>0$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :
$\quad$
$16-x^2=0 \ssi 4^2-x^2=0\ssi (4-x)(4+x)=0$
$4-x=0 \ssi x=4$ et $4-x>0 \ssi 4<x$
$4+x=0 \ssi x=-4$ et $4+x>0 \ssi x>-4$
On obtient donc le tableau de signes suivant :
$\quad$
$-x^2+3x+1=0$
$\Delta = 3^2-4\times (-1)\times 1=9+4=13>0$
L’équation possède deux solutions réelles.
$x_1=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{-2}=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$ et $x_2=\dfrac{-3+\sqrt{13}}{-2}=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}$.
Les solutions de l’équation sont donc $\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$ et $\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}$
On a $a=-1<0$
On obtient le tableau de signes suivant :
$\quad$
$3x-18x^2=0 $
$\Delta = 3^2 -4\times (-18)\times 0 =9$
L’équation possède deux solutions réelles.
$x_1=\dfrac{-3-3}{-36}=\dfrac{1}{6}$ et $x_2=\dfrac{-3+3}{-36}=0$
$a=-18<0$
On obtient le tableau de signes suivant :
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Résoudre les équations suivantes

$-x^2+6x-5<0$
$\quad$
$4x^2-7x\pg 0$
$\quad$
$x^2+2x+1<0$
$\quad$
$4x^2-9\pp 0$
$\quad$

Correction Exercice 3

$-x^2+6x-5=0$
$\Delta = 6^2-4\times (-1) \times (-5)=16>0$
L’équation possède donc $2$ solutions réelles.
$x_1=\dfrac{-6-\sqrt{16}}{-2}=5$ et $x_2=\dfrac{-6+\sqrt{16}}{-2}=1$.
$a=-1<0$ On obtient donc le tableau de signes suivant :

Par conséquent $-x^2+6x-5<0$ sur $]-\infty;1[\cup]5;+\infty[$.$\quad$
$4x^2-7x=0$
$\Delta = (-7)^2-4\times 4 \times 0=49>0$
Les solutions de cette équation sont $x_1=\dfrac{7-\sqrt{49}}{8}=0$ et $x_2=\dfrac{7+\sqrt{49}}{8}=\dfrac{7}{4}$
$a=4>0$ On obtient donc le tableau de signes suivant :
Par conséquent $4x^2-7x\pg 0$ sur $]-\infty;0] \cup \left[\dfrac{7}{4};+\infty\right[$.
$\quad$
$x^2+2x+1= (x+1)^2 \pg 0$
L’inéquation $x^2+2x+1<0$ ne possède donc pas de solution.
$\quad$
$4x^2-9=0$
$\Delta=0^2-4\times 4\times (-9)=144>0$
L’équation possède deux solutions $x_1=\dfrac{0-\sqrt{144}}{8}=\dfrac{3}{2}$ et $x_2=\dfrac{0+\sqrt{144}}{8}=-\dfrac{3}{2}$
$a=4>0$ On obtient donc le tableau de signes suivant :
Par conséquent $4x^2-9\pp 0$ sur $\left[-\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right]$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Déterminer le signe des expressions suivantes sur les intervalles demandés.

$A(x)=\left(3x^2-5x-2\right)(4x-20)$ sur $\R$

$\quad$

$B(x)=\dfrac{-3(x-2)^2}{x(9-3x)}$ sur $[1;4]$

$\quad$

Correction Exercice 4

$A(x)=\left(3x^2-5x-2\right)(4x-20)$ sur $\R$
On étudie le signe de $3x^2-5x-2$.
$\Delta=(-5)^2-4\times 3\times (-2)=49>0$
Ce polynôme du second degré possède donc $2$ racines réelles.
$x_1=\dfrac{5-\sqrt{49}}{6}=-\dfrac{1}{3}$ et $x_2=\dfrac{5+\sqrt{49}}{6}=2$
$a=3>0$ : ce polynômes est donc positif à l’extérieur des racines.
$\quad$
On étudie le signe de $4x-20$.
$4x-20=0 \ssi 4x=20 \ssi x=5$ et $4x-20>0 \ssi 4x>20 \ssi x>5$
$\quad$
On obtient donc le tableau de signes suivant :
$\quad$
$B(x)=\dfrac{-3(x-2)^2}{x(9-3x)}$ sur $[1;4]$
Un carré est toujours positif. Donc $(x-2)^2\pg 0$ et ne s’annule que pour $x=2$.
$\quad$
$9-3x=0\ssi -3x=-9 \ssi x=3$ et $9-3x>0 \ssi -3x>-9 \ssi x<3$
On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Déterminer le signe des expressions suivantes sur les intervalles demandés.

$A(x)=(x+4)\left(-x^2-x+6\right)$ sur $\R$

$\quad$

$B(x)=\dfrac{2x(3-x)}{(2+5x)^2}$ sur $[-1;2]$

$\quad$

Correction Exercice 5

$A(x)=(x+4)\left(-x^2-x+6\right)$ sur $\R$
$x+4=0 \ssi x=-4$ et $x+4>0 \ssi x>-4$
$\quad$
On étudie le signe de $-x^2-x+6$.
$\Delta=(-1)^2-4\times (-1)\times 6=25>0$
Le polynôme du second degré possède donc $2$ racines réelles.
$x_1=\dfrac{1-\sqrt{25}}{-2}=2$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{-2}=-3$.
$a=-1<0$. Le polynôme est donc négatif à l’extérieur des racines.
$\quad$
On obtient le tableau de signes suivant :
$\quad$
$B(x)=\dfrac{2x(3-x)}{(2+5x)^2}$ sur $[-1;2]$
$2x=0\ssi x=0$ et $2x>0 \ssi x>0$
$\quad$
$3-x=0 \ssi x=3$ et $3-x>0 \ssi x<3$
$\quad$
Un carré est toujours positifs donc $(2+5x)^2\pg 0$ et ne s’annule que pour $x=-\dfrac{5}{2}$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :
$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Déterminer le signe des expressions suivantes sur les intervalles demandés.

$A(x)=(5-3x)\left(x^2+3x-10\right)$ sur $\R$

$\quad$

$B(x)=\dfrac{7(2x+5)^2}{7x(-2-x)}$ sur $[-1;4]$

$\quad$

Correction Exercice 6

$A(x)=(5-3x)\left(x^2+3x-10\right)$ sur $\R$
$5-3x=0 \ssi x=\dfrac{5}{3}$ et $5-3x>0 \ssi -3x>-5 \ssi x<\dfrac{5}{3}$
$\quad$
On étudie le signe de $x^2+3x-10$
$\Delta = 3^2-4\times 1\times (-10)=49>0$.
Le polynôme du second degré possède donc $2$ racines réelles.
$x_1=\dfrac{-3-\sqrt{49}}{2}=-5$ et $x_2=\dfrac{-3+\sqrt{49}}{2}=2$.
De plus $a=1>0$. Le polynôme est donc positif à l’extérieur de ses racines.
$\quad$
On obtient donc le tableau de signes suivant :

$\quad$
$B(x)=\dfrac{7(2x+5)^2}{7x(-2-x)}$ sur $[-1;4]$
Un carré est toujours positif. Donc $(2x+5)^2\pg 0$ et ne s’annule qu’en $-\dfrac{5}{2}$.
$-2-x=0 \ssi -x=2 \ssi x=-2$ et $-2-x>0 \ssi -x>2 \ssi x<-2$.
On obtient donc le tableau de signes suivant :

$\quad$

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