TES/TL – Exercices – AP – Second degré et tableaux de signes

Exercices – Second degré – Tableaux de signes – AP

Équations du second degré

Exercice 1

Résoudre les équations suivantes

  1. $x^2-10x+21=0$
    $\quad$
  2. $3x^2-5x+4=0$
    $\quad$
  3. $x^2-2x=0$
    $\quad$
  4. $36-x^2=0$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $x^2-10x+21=0$
    $\Delta = (-10)^2-4\times 1\times 21 = 16>0$.
    Il y a donc deux solutions réelles :
    $x_1=\dfrac{10-\sqrt{16}}{2}=3$ et $x_2=\dfrac{10+\sqrt{16}}{2}=7$.
    Les solutions de l’équations sont donc $3$ et $7$.
    $\quad$
  2. $3x^2-5x+4=0$
    $\Delta=(-5)^2-4\times 3\times 4=-23<0$.
    L’équation ne possède donc pas de solution réelle.
    $\quad$
  3. $x^2-2x=0 \ssi x(x-2)$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x=0$ ou $x-2=0 \ssi x=2$.
    Les solutions de l’équation sont $0$ et $2$.
    $\quad$
  4. $36-x^2=0 \ssi 6^2-x^2=0 \ssi (6-x)(6+x)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $6-x=0$ ou $6+x=0$
    soit $x=6$ ou $x=-6$
    Les solutions de l’équation sont donc $-6$ et $6$.$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Résoudre les équations suivantes

  1. $20x^2+60x+45=0$
    $\quad$
  2. $16-x^2=0$
    $\quad$
  3. $-x^2+3x+1=0$
    $\quad$
  4. $3x-18x^2=0$
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $20x^2+60x+45=0$
    $\Delta=60^2-4\times 20\times 45=0$
    L’équation possède une unique solution $\dfrac{-60}{2\times 20}=-\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
  2. $16-x^2=0 \ssi 4^2-x^2=0\ssi (2-x)(2+x)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $2-x=0$ ou $2+x=0$
    Soit $x=2$ ou $x=-2$
    Les solutions de l’équation sont $2$ et $-2$.
    $\quad$
  3. $-x^2+3x+1=0$
    $\Delta = 3^2-4\times (-1)\times 1=9+4=13>0$
    L’équation possède deux solutions réelles.
    $x_1=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{-2}=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$ et $x_2=\dfrac{-3+\sqrt{13}}{-2}=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}$.
    Les solutions de l’équation sont donc $\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$ et $\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}$
    $\quad$
  4. $3x-18x^2=0 \ssi 3x(1-6x)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $3x=0$ ou $1-6x=0$
    Soit $x=0$ ou $x=\dfrac{1}{6}$
    Les solutions de l’équation sont donc $0$ et $\dfrac{1}{6}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Résoudre les équations suivantes

  1. $-x^2+6x-5=0$
    $\quad$
  2. $4x^2-7x=0$
    $\quad$
  3. $x^2+2x+1=0$
    $\quad$
  4. $4x^2-9=0$
    $\quad$
Correction Exercice 3
  1. $-x^2+6x-5=0$
    $\Delta = 6^2-4\times (-1) \times (-5)=16>0$
    L’équation possède donc $2$ solutions réelles.
    $x_1=\dfrac{-6-\sqrt{16}}{-2}=5$ et $x_2=\dfrac{-6+\sqrt{16}}{-2}=1$.
    Les solutions de l’équation sont $1$ et $5$.
    $\quad$
  2. $4x^2-7x=0\ssi x(4x-7)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x=0$ ou $4x-7=0\ssi x=\dfrac{7}{4}$
    Les solutions de l’équation sont $0$ et $\dfrac{7}{4}$
    $\quad$
  3. $x^2+2x+1=0 \ssi (x+1)^2=0$
    L’équation possède donc une unique solution $-1$.
    $\quad$
  4. $4x^2-9=0 \ssi (2x)^2-3^2=0 \ssi (2x-3)(2x+3)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $2x-3=0$ ou $2x+3=0$
    Soit $x=\dfrac{3}{2}$ ou $x=-\dfrac{3}{2}$
    Les solutions de l’équation sont $\dfrac{3}{2}$ et $-\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Tableaux de signes

Exercice 4

Déterminer le signe des expressions suivantes sur les intervalles demandés.

$A(x)=\left(3x^2-5x-2\right)(4x-20)$ sur $\R$

$\quad$

$B(x)=\dfrac{-3(x-2)^2}{x(9-3x)}$ sur $[1;4]$

$\quad$

Correction Exercice 4

  1. $A(x)=\left(3x^2-5x-2\right)(4x-20)$ sur $\R$
    On étudie le signe de $3x^2-5x-2$.
    $\Delta=(-5)^2-4\times 3\times (-2)=49>0$
    Ce polynôme du second degré possède donc $2$ racines réelles.
    $x_1=\dfrac{5-\sqrt{49}}{6}=-\dfrac{1}{3}$ et $x_2=\dfrac{5+\sqrt{49}}{6}=2$
    $a=3>0$ : ce polynômes est donc positif à l’extérieur des racines.
    $\quad$
    On étudie le signe de $4x-20$.
    $4x-20=0 \ssi 4x=20 \ssi x=5$ et $4x-20>0 \ssi 4x>20 \ssi x>5$
    $\quad$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :
    $\quad$
  2. $B(x)=\dfrac{-3(x-2)^2}{x(9-3x)}$ sur $[1;4]$
    Un carré est toujours positif. Donc $(x-2)^2\pg 0$ et ne s’annule que pour $x=2$.
    $\quad$
    $9-3x=0\ssi -3x=-9 \ssi x=3$ et $9-3x>0 \ssi -3x>-9 \ssi x<3$
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Déterminer le signe des expressions suivantes sur les intervalles demandés.

$A(x)=(x+4)\left(-x^2-x+6\right)$ sur $\R$

$\quad$

$B(x)=\dfrac{2x(3-x)}{(2+5x)^2}$ sur $[-1;2]$

$\quad$

Correction Exercice 5

  1. $A(x)=(x+4)\left(-x^2-x+6\right)$ sur $\R$
    $x+4=0 \ssi x=-4$ et $x+4>0 \ssi x>-4$
    $\quad$
    On étudie le signe de $-x^2-x+6$.
    $\Delta=(-1)^2-4\times (-1)\times 6=25>0$
    Le polynôme du second degré possède donc $2$ racines réelles.
    $x_1=\dfrac{1-\sqrt{25}}{-2}=2$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{-2}=-3$.
    $a=-1<0$. Le polynôme est donc négatif à l’extérieur des racines.
    $\quad$
    On obtient le tableau de signes suivant :
    $\quad$
  2. $B(x)=\dfrac{2x(3-x)}{(2+5x)^2}$ sur $[-1;2]$
    $2x=0\ssi x=0$ et $2x>0 \ssi x>0$
    $\quad$
    $3-x=0 \ssi x=3$ et $3-x>0 \ssi x<3$
    $\quad$
    Un carré est toujours positifs donc $(2+5x)^2\pg 0$ et ne s’annule que pour $x=-\dfrac{5}{2}$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Déterminer le signe des expressions suivantes sur les intervalles demandés.

$A(x)=(5-3x)\left(x^2+3x-10\right)$ sur $\R$

$\quad$

$B(x)=\dfrac{7(2x+5)^2}{7x(-2-x)}$ sur $[-1;4]$

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. $A(x)=(5-3x)\left(x^2+3x-10\right)$ sur $\R$
    $5-3x=0 \ssi x=\dfrac{5}{3}$ et $5-3x>0 \ssi -3x>-5 \ssi x<\dfrac{5}{3}$
    $\quad$
    On étudie le signe de $x^2+3x-10$
    $\Delta = 3^2-4\times 1\times (-10)=49>0$.
    Le polynôme du second degré possède donc $2$ racines réelles.
    $x_1=\dfrac{-3-\sqrt{49}}{2}=-5$ et $x_2=\dfrac{-3+\sqrt{49}}{2}=2$.
    De plus $a=1>0$. Le polynôme est donc positif à l’extérieur de ses racines.
    $\quad$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$
  2. $B(x)=\dfrac{7(2x+5)^2}{7x(-2-x)}$ sur $[-1;4]$
    Un carré est toujours positif. Donc $(2x+5)^2\pg 0$ et ne s’annule qu’en $-\dfrac{5}{2}$.
    $-2-x=0 \ssi -x=2 \ssi x=-2$ et $-2-x>0 \ssi -x>2 \ssi x<-2$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$

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