TES/TL – Exercices – AP – Dérivation

Exercices – Dérivation – AP

Exercice 1

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R^*$ telle que : $f(x)=x+\dfrac{4}{x}$.

  1. Déterminer l’expression algébrique de $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    $\quad$
  2. Montrer que $f'(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}$.
    $\quad$
  3. Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de la fonction $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. Pour tout $x\in \R^*$ on a $f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{4}{x^2} \\
    &=\dfrac{x^2-4}{x^2} \\
    &=\dfrac{x^2-2^2}{x^2} \\
    &=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Un carré étant toujours positif le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $(x-2)(x+2)$.
    $x-2=0 \ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$
    $x+2=0\ssi x=-2$ et $x+2>0 \ssi x>-2$.
    On obtient ainsi le tableau de signe de $f'(x)$ et le tableau de variation de $f$ suivant :

    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)= \dfrac{x+1}{x-3}$.

  1. Donner l’ensemble de définition et de dérivabilité de $f$.
    $ \quad$
  2. Déterminer l’expression algébrique de $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    $\quad$
  3. Déterminer les variations de $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. La fonction est définie pour toutes les valeurs de $x$ telles que $x-3\neq 0$.
    L’ensemble de définition de $f$ est donc $\mathscr{D}_f=]-\infty;3[\cup]3;+\infty[$.
    La fonction $f$ est un quotient de fonctions polynomiales. Elle est donc dérivable sur son ensemble de définition.
    L’ensemble de dérivabilité est donc $\mathscr{D}_{f’}=\mathscr{D}_f=]-\infty;3[\cup]3;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $f(x)$ est de la forme $\dfrac{u(x)}{v(x)}$
    avec $u(x)=x+1$ donc $u'(x)=1$
    et $v(x)=x-3$ donc $v'(x)=1$.
    Pour tout réel $x \in ]-\infty;3[\cup]3;+\infty[$ on a donc :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1\times (x-3)-1\times (x+1)}{(x-3)^2} \\
    &=\dfrac{x-3-x-1}{(x-3)^2} \\
    &=\dfrac{-4}{(x-3)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Un carré étant toujours positif, on a donc $f'(x)<0$.
    On obtient ainsi le tableau de variation suivant :

    $\quad$

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$\quad$

 

Exercice 3

  1. Réduire au même dénominateur l’expression suivante et étudier son signe.
    $$A(x)=3+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}$$
    $\quad$
  2. Réduire au même dénominateur l’expression suivante :
    $$B(x)=x^2-3x+\dfrac{2}{x}$$
    $\quad$
  3. Montrer que $B(x)$ peut s’écrire sous la forme $B(x)=\dfrac{(x-1)\left(x^2-2x-2\right)}{x}$ et étudier le signe de l’expression $B(x)$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. $\quad$
    $\begin{align*} A(x)&=3+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}\\
    &=\dfrac{3x^2}{x^2}+\dfrac{x}{x^2}-\dfrac{2}{x^2} \\
    &=\dfrac{3x^2-x-2}{x^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} B(x)&=x^2-3x+\dfrac{2}{x} \\
    &=\dfrac{x^3-3x^2+2}{x}\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} C(x)&=\dfrac{(x-1)\left(x^2-2x-2\right)}{x} \\
    &=\dfrac{x^3-2x^2-2x-^2-x^2+2x+2}{x} \\
    &=\dfrac{x^3-3x^2+2}{x} \\
    &=B(x)\end{align*}$
    $\quad$
    On étudie donc le signe de :
    $\bullet$ $x-1$
    $\quad$ $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $\bullet$ $x^2-2x-2$
    $\quad$ $\Delta=(-2)^2-4\times 1\times (-2)=12>0$
    $\quad$ Il y a donc deux racines réelles :
    $\quad$ $x_1=\dfrac{2-\sqrt{12}}{2}=1-\sqrt{3}$ et $x_2=\dfrac{2+\sqrt{12}}{2}=1+\sqrt{3}$
    $\quad$ On a $a=1>0$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

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