TES/TL – Exercices – AP – Intervalles de fluctuation – Intervalles de confiance

Intervalles de fluctuation – Intervalles de confiance (AP)

Exercice 1

Le président de la fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de satisfaction de ses $14~000$ licenciés quant à l’organisation des tournois.

Antoine estime que les $80$ adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés de la FFB. Il est chargé de faire une étude au sein de son club :
les $80$ adhérents ont répondu, et $66$ ont déclaré qu’ils étaient satisfaits.

  1. Quelle est, sur cet échantillon, la fréquence observée f de personnes satisfaites de la FFB ?
    $\quad$
  2. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion $p$ de licenciés satisfaits de la FFB. Les bornes de l’intervalle seront arrondies au millième.
    $\quad$
Correction Exercice 1
  1. La fréquence observée est $f = \dfrac{66}{80}=0,825$
    $\quad$$
  2. $n=80 \pg 30$, $nf = 80 \times 0,825 = 66 \pg 5$ et $n(1-f) = 14 \pg 5$
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de $p$ est :
    $$\begin{align} I_{80} &= \left[0,825 – \dfrac{1}{\sqrt{80}};0,825 + \dfrac{1}{\sqrt{80}} \right] \\\\
    & \approx [0,712;0,837]
    \end{align}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 2

On rappelle qu’en France métropolitaine $0,6 \%$ des médecins pratiquent l’ostéopathie. Une région compte $47~000$ médecins dont $164$ médecins-ostéopathes.
On note $I$ l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ de la fréquence de médecins ostéopathes de la région.

  1. a. Vérifier que les conditions d’utilisation de cet intervalle sont remplies.
    $\quad$
    b. Justifier que $I= [0,005~3; 0,006~7]$, les bornes ayant été arrondies à $10^{-4}$ près.
    $\quad$
  2. Peut-on considérer que pour la pratique de l’ostéopathie par les médecins, cette région est représentative, privilégiée ou défavorisée par rapport à la situation en
    France métropolitaine ? Justifier la réponse.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. a. $n= 47~000 \pg 30$ , $np = 47~000 \times 0,006 = 282 \pg 5$ et $n(1-p) = 46~718 \pg 5$
    Les conditions d’utilisation de cet intervalle sont remplies.
    $\quad$
    b. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $$\begin{align} I_{47~000} &= \left[0,006-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,006 \times 0,994}}{\sqrt{47~000}};0,006+1,96\times \dfrac{\sqrt{0,006 \times 0,994}}{\sqrt{47~000}} \right] \\\\
    & \approx 0,005~3;0,006~7]
    \end{align}$$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f = \dfrac{67}{47~000} \approx 0,0014 \notin I_{47~000}$ et $0,001~4 < 0,0053$.
    La région est donc défavorisée par rapport à la situation en France métropolitaine.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Dans cette partie, les valeurs numériques sont arrondies au centième.
Dans un établissement, parmi les $224$ étudiants inscrits à la préparation à ce concours, $26 \%$ ont été admis à la session de mai 2013.

On admet que dans cette population, on a également $60 \%$ des personnes qui se présentaient pour la première fois.

Le directeur de l’établissement prétend que ce résultat, supérieur au taux de réussite global de $22 \%$, ne peut
être simplement dû au hasard et il affirme que la qualité de l’enseignement dispensé dans son établissement a permis à ses élèves de mieux réussir que l’ensemble des candidats.

  1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ du pourcentage d’étudiants admis
    dans un groupe de $224$ personnes.
    $\quad$
  2. Que penser de l’affirmation du directeur de l’établissement ? Justifier.
    $\quad$
Correction Exercice 3
  1. $n=224 \pg 30$ ,$np = 224 \times 0,22 = 49,28 \pg 5$ et $n(1-p) = 174,72 \pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $$\begin{align} I_{224} &= \left[0,22 – 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,22 \times 0,78}}{\sqrt{224}};0,22 + 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,22 \times 0,78}}{\sqrt{224}} \right] \\\\
    & \approx [0,165;0,275]
    \end{align}$$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est de $f=0,26 \in I_{224}$.
    On peut donc remettre en cause l’affirmation du directeur.
    $\quad$

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$\quad$