TES/TL – Exercices – Intégration (AP)

Intégration (AP)

Exercice 1

On donne les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x)=-x^2+6x$ et $g(x)=(x-3)^2+1$.

  1. Résoudre dans $\R$ l’équation $f(x)=g(x)$.
    $\quad$
  2. En déduire les coordonnées des points d’intersection des deux courbes.
    $\quad$
  3. Calculer l’aire du domaine hachuré.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)=g(x)&\ssi -x^2+6x=\left(x-3\right)^2+1 \\
    &\ssi -x^2+6x=x^2-6x+9+1\\
    &\ssi -x^2+6x=x^2-6x+10\\
    &\ssi 2x^2-12x+10=0 \end{align*}$
    Le discriminant de ce polynôme est $\Delta =(-12)^2-4\times 2\times 10=64=8^2>0$.
    Les solutions de cette équation sont donc $x_1=\dfrac{12-8}{4}=1$ et $x_2=\dfrac{12+8}{4}=5$.
    $\quad$
  2. De plus $f(1)=5$ et $f(5)=5$.
    Le point $A$ a donc pour coordonnées $(1;5)$ et le point $B$ a pour coordonnées $(5;5)$.
    $\quad$
  3. $f(x)\pg g(x) \ssi -2x^2+12x-10\pg 0 \ssi x\in[1;5]$.
    Les fonctions $f$ et $g$ sont continues sur $\R$ en tant que polynômes.
    Par conséquent l’aire du domaine hachuré est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds\int_1^5\left(f(x)-g(x)\right)\dx \\
    &=\int_1^5\left(-2x^2+12x-10\right)\dx \\
    &=\left[-\dfrac{2}{3}x^3+6x^2-10x\right]_1^5 \\
    &=\dfrac{50}{3}-\left(-\dfrac{14}{3}\right) \\
    &=\dfrac{64}{3} \text{u.a.}\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 2

On donne les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$définies sur $\R$ par $f(x)=-x^2+6x$ et $g(x)=x+4$.

  1. Calculer l’aide du domaine hachuré.
    $\quad$
  2. Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[0;6]$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. On détermine dans un premier temps les coordonnées des points d’intersection des deux courbes.
    $\begin{align*} f(x)=g(x)&\ssi -x^2+6x=x+4 \\
    &\ssi -x^2+5x-4=0\end{align*}$
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
    $\Delta = 5^2-4\times (-1)\times (-4)=9=3^2>0$
    Les solutions de l’équation $-x^2+5x-4=0$ sont donc $x_1=\dfrac{-5-3}{-2}=4$ et $x_2=\dfrac{-5+3}{-2}=1$.
    Or $f(1)=5$ et $f(4)=8$.
    Le coefficient principal du polynôme $-x^2+5x-4$ est $-1<0$. Il est par conséquent positif sur l’intervalle $[1;4]$.
    On en déduit donc que sur l’intervalle $[1;4]$ on a $f(x)\pg g(x)$.
    Les fonctions $f$ et $g$ sont continues sur $\R$ en tant que polynômes.
    L’aire du domaine hachuré est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds \int_1^4\left(f(x)-g(x)\right)\dx \\
    &=\int_1^4 \left(-x^2+5x-4\right)\dx \\
    &=\left[-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{5}{2}x^2-4x\right]_1^4 \\
    &=\dfrac{8}{3}-\left(-\dfrac{11}{6}\right) \\
    &=\dfrac{9}{2} \text{ u.a.}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0;6]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{6-0}\ds\int_0^6 f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{6}\int_0^6\left(-x^2+6x\right)\dx \\
    &=\dfrac{1}{6}\left[-\dfrac{1}{3}x^3+3x^2\right]_0^6 \\
    &=\dfrac{36}{6}\\
    &=6\end{align*}$
    $\quad$

 

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$\quad$

Exercice 3

Ne pas confondre “dériver” et “déterminer une primitive”!

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2-2\right)\e^x$.

  1. Déterminer l’expression algébrique de la fonction dérivée de $f$.
    $\quad$
  2. Montrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\left(x^2-2x\right)\e^x$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Étudier les variations de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  4. Calculer $I=\ds \int_2^5 f(x)\dx$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Si on note : $u(x)=x^2-2$ et $v(x)=\e^x$ pour tout réel $x$
    alors $u'(x)=2x$ et $v'(x)=\e^x$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\e^x+\left(x^2-2\right)\e^x \\
    &=\left(2x+x^2-2\right)\e^x \\
    &=\left(x^2+2x-2\right)\e^x
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Si on note $u(x)=x^2-2x$ et $v(x)=\e^x$ pour tout réel $x$
    alors $u'(x)=2x-2$ et $v'(x)=\e^x$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=(2x-2)\e^x+\left(x^2-2x\right)\e^x \\
    &=\left(2x-2+x^2-2x\right)\e^x \\
    &=\left(x^2-2\right)\e^x \\
    &=f(x)\end{align*}$
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Nous allons étudier le signe de $f'(x)=\left(x^2+2x-2\right)\e^x$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2+2x-2$.
    $\Delta =2^2-4\times 1\times (-2)=12>0$.
    Les racines de ce polynômes sont : $x_1=\dfrac{-2-\sqrt{12}}{2}=-1-\sqrt{3}$ et $x_2=\dfrac{-2+\sqrt{12}}{2}=-1+\sqrt{3}$.
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Par conséquent :
    $\bullet$ $f'(x) \pg 0$ sur $\left]-\infty;-1-\sqrt{3}\right]\cup\left[-1+\sqrt{3};+\infty\right[$
    $\bullet$ $f'(x)\pp 0$ sur $\left[-1-\sqrt{3};-1+\sqrt{3}\right]$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur $\left]-\infty;-1-\sqrt{3}\right]\cup\left[-1+\sqrt{3};+\infty\right[$ et décroissante sur $\left[-1-\sqrt{3};-1+\sqrt{3}\right]$.
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} I&=\ds \int_2^5 f(x)\dx \\
    &=F(5)-F(2) \\
    &=15\e^5\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$