Dérivation – Révisions TES

Exercice 1

Dans chacun des cas, déterminer l’expression de $f'(x)$.

$f(x)=4x^3-5x^2+x-1$
$\quad$
$f(x)=5x^3+\dfrac{1}{x}+3\sqrt{x}$
$\quad$
$f(x)=\left(x^2+1\right)\left(x^3-2x\right)$
$\quad$

Correction Exercice 1

$f(x)=4x^3-5x^2+x-1$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Donc :
$\begin{align*} f'(x)&=4\times 3x^2-5\times 2x+1 \\
&=12x^2-10x+1
\end{align*}$
$\quad$
$f(x)=5x^3+\dfrac{1}{x}+3\sqrt{x}$
La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que sommes de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Donc :
$\begin{align*} f'(x)&=5\times 3x^2-\dfrac{1}{x^2}+3\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\
&=15x^2-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3}{2\sqrt{x}}
\end{align*}$
$\quad$
$f(x)=\left(x^2+1\right)\left(x^3-2x\right)$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Donc :
$\begin{align*} f'(x)&=2x\left(x^3-2x\right)+\left(x^2+1\right)\times \left(3x^2-2\right) \\
&=2x^4-4x^2+3x^4-2x^2+3x^2-2\\
&=5x^4-3x^2-2
\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Dans chacun des cas, déterminer l’expression de $f'(x)$.

$f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$
$\quad$
$f(x)=-x+2+\dfrac{2}{3x}$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{1}{x+x^2}$
$\quad$

Correction Exercice 2

$f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$
La fonction $f$ est dérivable sur $]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
Donc :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1)^2} \\
&=\dfrac{2x+2-2x+1}{(x+1)^2}\\
&=\dfrac{3}{(x+1)^2}
\end{align*}$
$\quad$
$f(x)=-x+2+\dfrac{2}{3x}=-x+2+\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{x}$
La fonction $f$ est dérivable sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Donc :
$\begin{align*} f'(x)&=-1+\dfrac{2}{3}\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) \\
&=-1-\dfrac{2}{3x^2}
\end{align*}$
$\quad$
$f(x)=\dfrac{1}{x+x^2}$
$x+x^2=x(x+1)$.
La fonction $f$ est dérivable sur $]-\infty;-1[\cup]-1;0[\cup]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
$f$ est de la forme $\dfrac{1}{u}$. Sa dérivée est donc de la forme $-\dfrac{u’}{u^2}$
Donc :
$f'(x)=-\dfrac{1+2x}{\left(x+x^2\right)^2}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-2x$.

Étudier les variations de $f$.

$\quad$

Correction Exercice 3

La fonction $f $est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=3\times \dfrac{x^2}{3}-2\times \dfrac{x}{2}-2 = x^2-x-2$.

On étudie le signe de ce trinôme.
Son discriminant est $\Delta = (-1)^2-4\times 1\times (-2)=9>0$.
Il possède donc $2$ racines réelles : $x_1=\dfrac{1-\sqrt{9}}{2}=-1$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{9}}{2}=2$.
Le coefficient principal est $a=1>0$.
On obtient donc le tableau de variation suivant :

La fonction $f$ est donc croissante sur les intervalles $]-\infty;-1]$ et $[2;+\infty[$ et décroissante sur l’intervalle $[-1;2]$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty;2[\cup]2;+\infty[$ par $f(x)=x+2+\dfrac{4}{x-2}$.

Déterminer une équation de la droite $(T)$ tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $-2$.

$\quad$

Correction Exercice 4

La fonction $f$ est dérivable sur $]-\infty;2[\cup]2;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.

Une équation de la droite $(T)$ est $y=f'(-2)\times \left(x-(-2)\right)+f(-2)$ soit $y=f'(-2)\times (x+2)+f(-2)$.

Or :

$\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{4\times 1}{(x-2)^2}\\
&=1-\dfrac{4}{(x-2)^2}
\end{align*}$

Ainsi $f'(-2)=\dfrac{3}{4}$ et $f(-2)=-1$

Une équation de $(T)$ est donc $y=\dfrac{3}{4}(x+2)-1\ssi y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{2}-1\ssi y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ respectivement par $$f(x)=x^2-2x+3 \quad \text{et} \quad g(x)=-2x^2+10x-9$$

Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$.
$\quad$
On appelle $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $\Oij$ .
Tracer ces deux courbes.
$\quad$
Montrer que les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ possède un point commun en lequel elles admettent une même tangente $(T)$.
Construire cette tangente sur le graphique précédent.
$\quad$

Correction Exercice 5

On a $f(x)=x^2-2x+3$.
Il s’agit d’un polynôme du second degré avec $a=1$, $b=-2$ et $c=3$.
L’abscisse du sommet a pour abscisse $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=1$.
Puisque $a>0$, il s’agit d’un minimum.
La fonction $f$ est donc décroissante sur l’intervalle $]-\infty;1]$ et croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
$\quad$
On a $g(x)=-2x^2+10x-9$.
Il s’agit d’un polynôme du second degré avec $a=-2$, $b=10$ et $c=-9$.
L’abscisse du sommet a pour abscisse $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=2,5$.
Puisque $a<0$, il s’agit d’un maximum.
La fonction $g$ est donc croissante sur l’intervalle $]-\infty;2,5]$ et décroissante sur l’intervalle $[2,5;+\infty[$.
$\quad$
$\quad$
On va résoudre l’équation :
$\begin{align*} f(x)=g(x)&\ssi x^2-2x+3=-2x^2+10x-9 \\
&\ssi 3x^2-12x+12=0\\
&\ssi 3\left(x^2-4x+4\right)=0 \\
&\ssi 3(x-2)^2=0 \\
&\ssi x=2
\end{align*}$
Les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ on donc un point commun $A$ d’abscisse $2$.
De plus $f(2)=3$.
Ainsi le point $A$ a pour coordonnées $(2;3)$.
$\quad$
Les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur $\R$ en tant que fonctions polynômes.
Déterminons les expressions de $f'(x)$ et $g'(x)$.
Pour tout réel $x$ on a :
$f'(x)=2x-2$ et $g'(x)=-2\times 2x+10=-4x+10$
Ainsi $f'(2)=4-2=2$ et $g'(2)=-8+10=2$.
Les tangentes au point $A$ des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ ont donc le même coefficient directeur : elles sont confondues.
$\quad$
Une équation de $(T)$ est donc $y=f(2)(x-2)+f(2) \ssi y=2(x-2)+3\ssi y=2x-1$.
$\quad$

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$\quad$