1. $\Delta = -23$ donc l’équation $P(x) = 0$ ne possède aucune solution.
   Il n’est donc pas possible de factoriser $P(x)$.
   $\quad$
2. $\Delta = 121$ donc l’équation $P(x) = 0$ possède deux solutions :
   $$x_1 = \dfrac{9 – \sqrt{121}}{2 \times (-5)} = \dfrac{1}{5} \text{ et } x_2 = \dfrac{9 + \sqrt{121}}{2 \times (-5)} = -2$$
   Par conséquent $P(x)=-5(x+2)\left(x-\dfrac{1}{5}\right)$.
   $\quad$
3. $\Delta = 0$ donc l’équation $P(x) = 0$ possède une unique solution :
   $$x_0 = \dfrac{2}{2 \times \dfrac{1}{3}} = 3$$
   Par conséquent $P(x)=\dfrac{1}{3}(x-3)^2$.
   $\quad$
4. Ici $a=3$, $b=-4$ et $c=1$.
   $\Delta = (-4)^2 – 4 \times 3 \times 1 = 4$.
   L’équation $P(x)=0$ possède donc deux solutions :
   $$x_1 = \dfrac{4 – \sqrt{4}}{2 \times 3} = \dfrac{1}{3} \text{ et } x_2 = \dfrac{4 + \sqrt{4}}{2 \times 3} = 1$$
   Par conséquent $P(x)=3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)(x-1)$.
   $\quad$

1. $\Delta = 576$. L’équation $A(x)= 0$ possède donc deux solutions $\dfrac{1}{5}$ et $5$.
   Puisque $a=-5 <0$, on obtient le tableau de signes suivant :
   $\quad$
2. $\Delta = -56 <0$ et $a=-3 <0$.
   Par conséquent, pour tout réel $x$, $B(x) <0$.
   $\quad$
3. $\Delta = 0$. L’équation $C(x) = 0$ possède une unique solution $\dfrac{2}{5}$. Or $a= 25 > 0$.
   On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
   $\quad$

1. On pose $A(x)=3x^2-5x+2$. $\Delta = 1$. Les racines sont $\dfrac{2}{3}$ et $1$.
   On a $a=3>0$ donc Le tableau de signes de $A(x)$ est :
   
   $\quad$
   La solution de l’inéquation est donc $\left]-\infty;\dfrac{2}{3}\right[\cup]1;+\infty[$.
   $\quad$
2. On pose $B(x) = 5x^2-4x+12$. $\Delta = -224$. Puisque $a=5>0$, on sait que $B(x) > 0$ pour tout réel $x$.
   Par conséquent aucun nombre n’est solution de l’inéquation.
   $\quad$
3. On pose $C(x) = -3x^2+4x+1$. $\Delta = 28$. Les racines de ce polynômes sont donc $\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}$ et $\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}$.
   On a $a=-3<0$. Le tableau de signes de $C(x)$ est donc :
   $\quad$
   La solution de l’inéquation est donc $\left[\dfrac{2-\sqrt{7}}{3};\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}\right]$.
   $\quad$
4. $-x^2+3x-5>-9 \ssi -x^2+3x+4 > 0$.
   On pose $D(x) = -x^2+3x+4$. $\Delta = 25$. Les racines du polynôme sont $-1$ et $4$.
   On a $a=-1<0$. Le tableau de signes de $D(x)$ est donc :
   $\quad$
   La solution de l’inéquation est donc $]-1;4[$.
   $\quad$
5. $-x^2+3x-5 \le -3 \ssi -x^2+3x – 2 \le 0$.
   On pose $E(x) = -x^2+3x-2$. $\Delta = 1$. Les racines du polynôme sont $1$ et $2$.
   On a $a=-1<0$. Le tableau de signes de $E(x)$ est donc :
   
   $\quad$
   La solution de l’inéquation est donc $]-\infty;1]\cup[2;+\infty[$.
   $\quad$

Puisque le sommet de parabole a pour coordonnées $(-2;3)$ alors l’expression de la fonction $f$ du second degré dont la représentation graphique est $\mathscr{P}$ est de la forme :
$f(x)= a(x+2)^2-3$.

On sait que le point de coordonnées $(3;0)$ appartient à la parabole.

Donc $f(3) = 0$ soit $25a – 3 = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{3}{25}$.

Ainsi $f(x) = \dfrac{3}{25}(x+2)^2-3$.

1. $\Delta = 49$ donc les racines sont $-\dfrac{2}{5}$ et $1$.
   Ainsi $h(x) = 5(x – 1)\left(x + \dfrac{2}{5}\right)$.
   $\quad$
2. Première méthode :
   L’abscisse du sommet est $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{3}{10}$.
   Son ordonnée est $\beta=h(\alpha)=\dfrac{45}{100}-\dfrac{9}{10}-2=-\dfrac{49}{20}$
   Ainsi la forme canonique est $h(x)=5\left(x – \dfrac{3}{10}\right)^2 – \dfrac{49}{20}$

   Seconde méthode:
   $$\begin{align*}
   h(x) &= 5x^2- 3x-2 \\\\
   &= 5\left(x^2-\dfrac{3}{5}x-\dfrac{2}{5}\right) \\\\
   &= 5\left(x^2-\dfrac{3}{5}x + \dfrac{9}{100}-\dfrac{9}{100}-\dfrac{2}{5}\right) \\\\
   &= 5\left(\left(x-\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{49}{100}\right) \\\\
   &= 5\left(x-\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{49}{20}
   \end{align*}$$
   $\quad$

3. Le coefficient $a=5 > 0$. Ce ne peut pas être la figure c.
   L’abscisse du sommet est $\dfrac{3}{10} > 0$. Il s’agit donc de la figure a.
   $\quad$
4. A l’aide de l’expression factorisée on trouve $A\left(-\dfrac{2}{5};0\right)$ et $D(1;0)$.
   A l’aide de l’expression développée on trouve $B(0;-2)$.
   A l’aide de la forme canonique on trouve $C\left(\dfrac{3}{10};-\dfrac{49}{20}\right)$.