Intégration (AP)

Exercice 1

On donne la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=-x^2+x$.

Calculer $I=\ds \int_0^1 f(x)\dx$.
$\quad$
Hachurer le domaine correspondant à $J=\ds \int_{0,3}^{0,6} f(x)\dx$ et calculer $J$.
$\quad$

Correction Exercice 1

On a :
$$\begin{align*} I&=\int_0^1 \left(-x^2+x\right)\dx \\
&=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1\\
&=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-0\\
&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$$
$\quad$
On obtient donc le graphique suivant :
$\quad$
Et
$$\begin{align*} I&=\int_{0,3}^{0,6} \left(-x^2+x\right)\dx \\
&=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}\right]_{0,3}^{0,6}\\
&=0,108-0,036 \\
&=0,072\end{align*}$$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

On donne la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[0;1,25]$ par $f(x)=0,8$.

Calculer $I=\ds \int_0^{1,25} f(x)\dx$.
$\quad$
Hachurer le domaine correspondant à $J=\ds \int_{0,25}^{0,75} f(x)\dx$ et calculer $J$.
$\quad$

Correction Exercice 2

On a :
$$\begin{align*} I&=\ds \int_0^{1,25} 0,8\dx \\
&=\Big[0,8x\Big]_0^{1,25}\\
&=1\end{align*}$$
$\quad$
On obtient le graphique suivant :
et
$$\begin{align*} J&=\int_{0,25}^{0,75}0,8\dx\\
&=\Big[0,8x\Big]_{0.25}^{0,75}\\
&=0,6-0,2\\
&=0,4\end{align*}$$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Déterminer la valeur exacte de la valeur moyenne $M$ de chaque fonction sur l’intervalle consiédéré.

$f(x)=2x-1$ sur $[0;4]$.
$\quad$
$f(x)=\e^x$ sur $[-1;2]$.
$\quad$
$h(x)=-x^2+x$ sur $[0;1]$.
$\quad$

Correction Exercice 3

La valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0;4]$ est :
$$\begin{align*} M&=\dfrac{1}{4-0}\int_0^4 (2x-1)\dx \\
&=\dfrac{1}{4}\times \left[x^2-x\right]_0^4 \\
&=3\end{align*}$$
$\quad$
La valeur moyenne de $g$ sur l’intervalle $[-1;2]$ est :
$$\begin{align*} M&=\dfrac{1}{2-(-1)}\int_{-1}^2 \e^x\dx \\
&=\dfrac{1}{3}\times \Big[\e^x\Big]_{-1}^2 \\
&=\dfrac{\e^2-\e^{-1}}{3}\end{align*}$$
$\quad$
La valeur moyenne de $h$ sur l’intervalle $[0;1]$ est :
$$\begin{align*} M&=\dfrac{1}{1-0}\int_0^4 (-x^2+x)\dx \\
&=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1 \\
&=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2} \\
&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Un véhicule accélère sur une ligne droite. L’augmentation de sa vitesse en fonction du temps $t$ (en secondes) est décrite par la fonction $v$ définie sur $[0;+\infty[$ par $v(t)=\dfrac{3t^2}{10}$ (en km/h).

Calculer la vitesse initiale de ce véhicule en $t=0$.
$\quad$
Calculer la vitesse du véhicule au bout de $10$ secondes.
Même question au bout de $20$ secondes.
$\quad$
Quelle a été la vitesse moyenne $V_{0-10}$ de ce véhicule pendant les $10$ premières secondes de son mouvement?
$\quad$
Quelle a été la vitesse moyenne $V_{10-20}$ de ce véhicule pendant les $10$ secondes suivantes?
$\quad$

Correction Exercice 4

Initialement la vitesse est $v(0)=\dfrac{3\times 0^2}{10}=0$ km/h.
$\quad$
Au bout de $10$ secondes la vitesse est $v(10)=\dfrac{3\times 10^2}{10}=30$ km/h.
Au bout de $20$ secondes la vitesse est $v(20)=\dfrac{3\times 20^2}{10}=120$ km/h.
$\quad$
Pendant les $10$ premières secondes de son mouvement la vitesse moyenne de ce véhicule est :
$$\begin{align*}V_{0-10}&=\dfrac{1}{10-0}\int_0^{10}\dfrac{3t^2}{10}\dt\\
&=\dfrac{1}{10}\left[\dfrac{t^3}{10}\right]_0^{10}\\
&=10\text{ km/h}\end{align*}$$
$\quad$
Pendant les $10$ secondes suivantes de son mouvement la vitesse moyenne de ce véhicule est :
$$\begin{align*}V_{10-20}&=\dfrac{1}{20-10}\int_{10}^{20}\dfrac{3t^2}{10}\dt\\
&=\dfrac{1}{10}\left[\dfrac{t^3}{10}\right]_{10}^{20}\\
&=\dfrac{800-100}{10}\\
&=70\text{ km/h}\end{align*}$$
$\quad$

[collapse]

$\quad$