Exercices – Suites géométriques – AP

Exercice 1 – Pour commencer

La suite $\left(u_n\right)$ est un suite géométrique de raison $1,12$ et de premier terme $u_0=250$.

Calculer les $3$ premiers termes de la suite.
$\quad$
Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
$\quad$
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Calculer $u_{10}$.
$\quad$

Correction Exercice 1

$u_0=250$ $\quad$ $u_1=250\times 1,12=280$ $\quad$ $u_2=280\times 1,12=313,6$
$\quad$
$\left(u_n\right)$ est un suite géométrique de raison $1,12$ et de premier terme $u_0=250$.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=1,12u_n$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=250\times 1,12^n$.
$\quad$
$u_{10}=250\times 1,12^{10} \approx 776,46$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2 – Montrer qu’une suite est géométrique

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=3^n\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^{n+2}$.

Calculer les $3$ premiers termes de la suite.
$\quad$
Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique et préciser la raison et le premier terme.
$\quad$
Refaire les question 1. et 2. avec la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=\dfrac{3^{n+1}}{4}$.
$\quad$

Correction Exercice 2

$u_0=3^0\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^{0+2}=1\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^2=\dfrac{4}{25}$.
$u_1=3^1\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^{1+2}=3\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^3=\dfrac{24}{125}$.
$u_2=3^2\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^{2+2}=9\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^4=\dfrac{144}{625}$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=3^{n+1}\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^{n+1+2} \\
&=3\times 3^n\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^{n+2}\times \dfrac{2}{5} \\
&=\dfrac{6}{5}\times 3^n\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^{n+2} \\
&=\dfrac{6}{5}u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{6}{5}$ et de premier terme $u_0=\dfrac{4}{25}$.
$\quad$
$v_0=\dfrac{3^{0+1}}{4}=\dfrac{3}{4}$
$v_1=\dfrac{3^{1+1}}{4}=\dfrac{9}{4}$
$v_2=\dfrac{3^{2+1}}{4}=\dfrac{27}{4}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{3^{n+1+1}}{4} \\
&=3\times \dfrac{3^{n+1}}{4} \\
&=3v_n \end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $3$ et de premier terme $v_0=\dfrac{3}{4}$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3 – Rechercher un seuil

Anne a acheté une voiture d’une valeur de $28~000$ euros.
Chaque année, sa voiture perd $16\%$ de sa valeur.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la valeur, en euro, de la voiture après $n$ années de baisse.

Déterminer $u_1$.
$\quad$
Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$?
$\quad$
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
À partir de combien d’années la valeur de revente de cette voiture deviendra-t-elle inférieure à $5~000$ €? (on pourra construire un tableau de valeurs en utilisant le mode table de la calculatrice.)
$\quad$
À partir de combien d’années la valeur de revente de cette voiture deviendra-t-elle inférieure à $10$ €?
$\quad$

Correction Exercice 3

On a $u_1=u_0\times \left(1-\dfrac{16}{100}\right)=28~000\times 0,84=23~520$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$u_{n+1}=u_n\times \left(1-\dfrac{16}{100}\right)=0,84u_n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,84$ et de premier terme $u_0=28~000$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=28~000\times 0,84^n$.
$\quad$
On a $u_{9} \approx 5~830 > 5~000$ et $u_{10} \approx 4~897 < 5~000$
La valeur de revente de la voiture deviendra inférieur à $5~000$ € après $10$ ans.
$\quad$
On a $u_{45} \approx 10,96 > 10$ et $u_{46} \approx 9,2<10$.
La valeur de revente de la voiture deviendra inférieure à $10$ € après $46$ ans.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 4 – Calculer une somme

Rappeler la formule permettant de calculer la somme des termes d’une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $1$ : $$1+q+q^2+q^3+\ldots+q^n= \ldots\ldots$$
$\quad$
Calculer les sommes suivantes :
$S_1=1+3+9+27+81+\ldots+59~049$
$\quad$
$S_2=2+10+50+250+1~250+\ldots+156~250$
$\quad$
$S_3=1+0,2+0,2^2+0,2^3+\ldots+0,2^{10}$
$\quad$

Correction Exercice 4

$1+q+q^2+q^3+\ldots+q^n= \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} S_1&=1+3+9+27+81+\ldots+59~049 \\
&=3^0+3^1+3^2+3^3+3^4+\ldots 3^{10} \\
&=\dfrac{1-3^{11}}{1-3} \\
&=88~573
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} S_2&=2+10+50+250+1~250+\ldots+156~250 \\
&=2\times 5^0+2\times 5+2\times 5^2+2\times 5^3+\ldots 2\times 5^7 \\
&=2\times \dfrac{1-5^8}{1-5} \\
&=195~312 \end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} S_3&=1+0,2+0,2^2+0,2^3+\ldots+0,2^{10} \\
&=0,2^0+0,2^1+0,2^2+0,2^3+\ldots +0,2^{10} \\
&=\dfrac{1-0,2^{11}}{1-0,2} \\
&=\dfrac{1-0,2^{11}}{0,8} \\
&=\dfrac{1-0,2^{11}}{\dfrac{4}{5}} \\
&=\dfrac{5}{4}\times \left(1-0,2^{11}\right)\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$