TES/TL - Devoir commun 1 - 1er trimestre -

Exercice 1

Élèves de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et élèves de L

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, l’absence de réponse ou des réponses multiples n’apportent, ni n’enlèvent aucun point.

$\quad$

Les questions 1, 2 et 3 concernent la fonction $\boldsymbol{f}$ dont il est question ci-dessous.

On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ d’une fonction $f$ définie sur $\R$ ainsi que sa tangente au point $A$ d’abscisse $2$. On sait de plus que la tangente au point d’abscisse $-2$ est horizontale.

a) $f'(-2)=4$
b) $f'(2)=2$
c) $f'(2)=-5$
d) $f'(-2)=0$
$\quad$
L’équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$ est :
a) $y=-\e x+2\e$
b) $y=3x+2\e$
c) $y=\e x+3\e$
d) $y=-5x+4\e$
$\quad$
Parmi les quatre courbes ci-dessous, une seule a pour dérivée la fonction $f$. Laquelle?
$\quad$
Le prix d’un produit est passé de $200$ € à $100$ €. Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d’environ :
a) $50\%$
b) $25\%$
c) $29\%$
d) $71\%$
$\quad$
On donne le tableau de variation d’une fonction $h$ définie sur l’intervalle $[-1;3]$.

Dans l’intervalle $[-1;3]$, l’équation $h(x)=0$ admet
a) exactement $3$ solutions
b) exactement $2$ solutions
c) exactement $1$ solution
d) pas de solution
$\quad$

Correction Exercice 1 obligatoire

La tangente au point d’abscisse $-2$ est horizontale donc $f'(-2)=0$.
Réponse d
$\quad$
Le coefficient directeur de la droite doit être négatif. On a donc le choix entre a et d.
La droite passe par le point $A$ de coordonnées $(2;0)$.
Cela n’est possible qu’avec l’équation $y=-\e x+2\e$.
Réponse a
$\quad$
La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $]-\infty;-2]$ et décroissante sur l’intervalle $[-2;+\infty[$.
La fonction $f’$ doit donc être positive sur l’intervalle $]-\infty;-2]$ et négative sur l’intervalle $[-2;+\infty[$.
Réponse a
$\quad$
On cherche la valeur de $x$ telle que $200\times (1-x)^2=100$ soit $(1-x)^2=0,5$.
$(1-x)^2=0,5\ssi 1-x=\sqrt{0,5}$ ou $1-x=-\sqrt{0,5}$ $\ssi x=1-\sqrt{0,5}$ ou $x=1+\sqrt{0,5}$
Le pourcentage de baisse d’un prix ne peut excéder $100\%$.
Par conséquent $x=1-\sqrt{0,5} \approx 29\%$
Réponse c
Remarque : Il était possible de tester chacune des valeurs et de ne garder que celle qui convenait.
$\quad$
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à la fonction $h$ sur les intervalle $[-1;1]$ et $[1;2]$, l’équation $h(x)=0$ admet exactement $2$ solutions sur l’intervalle $[-1;2]$.
Sur l’intervalle $[2;3]$, on a $h(x) \pp -0,5$. L’équation $h(x)=0$ ne peut pas avoir de solution sur cet intervalle.
Par conséquent, l’équation $h(x)=0$ possède exactement $2$ solutions sur l’intervalle $[-1;3]$.
Réponse b
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 1

Élèves de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

L’entreprise Bonpain est une boulangerie qui fournit diverses collectivités en baguettes de pain.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Depuis 2010, le nombre de baguettes de pain fabriquées et vendues par Bonpain n’a fait qu’augmenter.
Ainsi, le nombre de baguettes de pain fabriquées et vendues par semaine en 2010 était de $200$. Il est passé à $300$ par semaine en 2012 puis à $500$ par semaine en 2014.
On admet que l’évolution du nombre de baguettes de pain fabriquées et vendues en une semaine par Bonpain peut être modélisé par une fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels).
La variable $x$ désigne le nombre d’années écoulées depuis 2010 et $f(x)$ exprime le nombre de baguettes en centaines.
La valeur $0$ de $x$ correspond donc à l’année 2010.
On cherche à déterminer la valeur des coefficients $a$, $b$ et $c$.
Sur le dessin ci-dessous on a représenté la fonction $f$.

a. Donner les coordonnées de $D$, $E$ et $F$ puis écrire un système d’équations correspondant à cette situation.
$\quad$
b. En déduire que le système précédent est équivalent à l’équation $MX=R$ avec :
$M=\begin{pmatrix}0&0&1\\4&2&1\\16&4&1\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $R$ une matrice colonne que l’on précisera.
$\quad$
Résoudre l’équation $MX=R$ et déterminer la valeur des coefficients $a,b$ et $c$.
$\quad$
Suivant ce modèle, déterminer le nombre de baguettes que l’entreprise fournira par semaine aux collectivités en 2016.
$\quad$

Partie B

L’un des employés de la boulangerie a pour mission de livrer divers clients quotidiennement.
Les arrêtes du graphe ci-dessous représentent les rues dans lesquelles se trouvent les clients. Les sommets représentent les intersections des rues.

Ce graphe est-il connexe? Justifier la réponse.
$\quad$
a. Expliquer pourquoi ce graphe n’est pas complet.
$\quad$
b. Combien manque-t-il d’arêtes pour avoir un graphe complet? Justifier la réponse.
$\quad$
Justifier qu’il est possible pour l’employé d’effectuer un parcours qui passe une fois et une seule par chaque rue. Puis, citer un trajet possible.
$\quad$

Correction Exercice 1 spécialité

Partie A

a. On a : $D(0;2)$, $E(2;3)$ et $F(4;5)$.
$\quad$
Cela signifie donc que :
$f(0)=0 \times a + 0\times b+c=2$
$f(2) =4 \times a + 2\times b+c=3$
$f(4) =16 \times a+ 4\times b+c=5$
On peut donc écrire le système suivant : $\begin{cases} c=2\\4a+2b+c=3\\16a+4b+c=5\end{cases}$.
$\quad$
b. En posant $M=\begin{pmatrix}0&0&1\\4&2&1\\16&4&1\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $R=\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}$
Le système précédent est équivalent à $MX=R$.
$\quad$
A l’aide de la calculatrice on trouve que la matrice $M$ est inversible d’inverse $M^{-1}=\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix}1&-2&1\\-6&8&-2\\8&0&0\end{pmatrix}$
Donc $X=M^{-1}R=\begin{pmatrix}0,125\\0,25\\2\end{pmatrix}$
Par conséquent $a=\dfrac{1}{8}$, $b=\dfrac{1}{4}$ et $c=2$
$\quad$
Ainsi $f(x)=\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{x}{4}+2$.
En 2016, on a $x=6$ et $f(6)=8$.
Selon ce modèle, l’entreprise fournira $800$ baguettes par semaines aux collectivités en 2016.
$\quad$

Partie B

La chaîne $A-B-C-E-F-D-G$ permet de relier entre eux tous les sommets. Le graphe est donc connexe.
$\quad$
a. Les sommets $A$ et $E$, par exemple, ne sont pas liés. Le graphe n’est donc pas complet.
$\quad$
b. Le sommet $A$ n’est pas relié directement aux sommets $E$,$F$ et $G$.
Le sommet $B$ n’est pas relié directement aux sommets $F$ et $G$.
Le sommet $C$ n’est pas relié directement au sommet $G$.
Le sommet $D$ est relié directement avec tous les sommets suivants.
Le sommet $E$ n’est pas relié directement avec le sommet $G$.
Le sommet $F$ est relié directement avec le sommet $G$.
Il manque donc $8$ arêtes à ce graphe pour qu’il soit complet.
$\quad$
Déterminons le degré de chacun des sommets :
$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G\\
\hline
\text{Degré}&2&4&5&5&4&4&2\\
\hline
\end{array}$
Dans ce graphe connexe, exactement $2$ sommets ont des degrés impairs.
D’après le théorème d’Euler, il existe donc une chaîne Eulérienne.
Un trajet possible est : $C-B-A-C-E-D-F-G-D-B-E-F-C-D$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Dans cet exercice, les résultats seront, si nécessaire, arrondis à l’unité.

Une ville a décidé de lancer le programme “Printemps fleuri”. Il s’agit de planter dans tous les espaces verts de la ville des bulbes de plantes, de façon à avoir la ville la plus fleurie possible au printemps.
En 2011, les jardiniers de la ville ont planté $3~600$ bulbes. Le programme consiste à planter toujours plus de bulbe : à partir de 2012, $3\%$ de bulbes seront plantés par an.

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0=3~600$, $u_n$ donnant le nombre de bulbes plantés durant l’année 2011$+n$.

a. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$?
$\quad$
b. En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Combien de bulbes ont été plantés en 2016?
$\quad$
Déterminer à partir de quelle année, la ville plantera plus de $5~500$ bulbes par an.
$\quad$
On propose l’algorithme suivant :
Variables :
$\quad$ $U$ est un réel
$\quad$ $A$ et $n$ sont des entiers naturels
Initialisation :
$\quad$ Affecter à $U$ la valeur $3~600$
$\quad$ Affecter à $n$ la valeur $0$
$\quad$ Saisir $A$
Traitement :
$\quad$ Tant que $U<A$
$\qquad$ $U$ prend la valeur $1,03\times U$
$\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
$\quad$ Fin tant que
Sortie :
$\quad$ Afficher $n$
$\quad$
On sasit en entrée le nombre $A=4~000$.
Recopier et compléter le tableau suivant en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
Quel nombre obtient-on en sortie?
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
U&3~600&3~708&\ldots\\
\hline
N&0& & \\
\hline
\text{Test }U<A&\text{Vrai}& & \\
\hline
\end{array}$
$\quad$
$\quad$
a. exprimer $1+1,03+1,03^2+\ldots+1,03^n$ en fonction de $n$.
$\quad$
b. On pose $S_n=u_0+u_1+u_2+\ldots+u_n$.
Montrer que $S_n=120~000\times \left(1,03^{n+1}-1\right)$.
$\quad$
c. En déduire le nombre total de bulbes plantés entre l’année 2011 et l’année 2025 (années 2011 et 2025 comprises).
$\quad$

Correction Exercice 2

a. $u_{n+1}=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)u_n=1,03u_n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_0=3~600$.
$\quad$
b. Par conséquent $u_n=3~600\times 1,03^n$ pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
En 2016, $n=5$ donc $u_5=3~600\times 1,03^5\approx 4~595$.
$\quad$
On veut déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n > 5~500$.
On doit donc résoudre l’inéquation :
$\begin{align*} u_n > 5~500 &\ssi 3~600 \times 1,03^n > 5~500\\
&\ssi 1,03^n > \dfrac{55}{36} \\
&\ssi n \ln 1,03 > \ln \dfrac{55}{36} \\
&\ssi n > \dfrac{\ln \dfrac{55}{36}}{\ln 1,03} \\
&\ssi n \pg 15
\end{align*}$
Remarque : Si la fonction $\ln$ n’a pas encore été vue, on peut répondre à la question en remarquant que la raison de la suite géométrique est strictement supérieure à $1$ et que $u_{14} \approx 5~445$ et $u_{15}\approx 5~609$.
$\quad$
On obtient le tableau suivant :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
U&3~600&3~708&3~819&3~933&4~052\\
\hline
N&0&1 &2&3&4 \\
\hline
\text{Test }U<A&\text{Vrai}& \text{Vrai}&\text{Vrai}&\text{Vrai}&\text{Faux} \\
\hline
\end{array}$
On obtient donc en sortie le nombre $4$.
$\quad$
a. $1+1,03+1,03^2+\ldots+1,03^n$ correspond à la somme des $n+1$ premiers termes de la suite géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $1$.
Par conséquent :
$\begin{align*} 1+1,03+1,03^2+\ldots+1,03^n&= \dfrac{1-1,03^{n+1}}{1-1,03} \\
&=\dfrac{1,03^{n+1}-1}{0,03}
\end{align*}$
$\quad$
b. Ainsi $S_n=3~600 \times \dfrac{1,03^{n+1}-1}{0,03} = 120~000\left(1,03^{n+1}-1\right)$.
$\quad$
c. On souhaite donc calculer $S_{14}=120~000\left(1,03^{15}-1\right) \approx 66~956$.
Entre 2011 et 2025, environ $66~956$ bulbes seront plantés.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Une agence touristique propose des formules week-end à Rome au départ de Paris pour lesquelles le transport et l’hôtel sont compris. Les clients doivent choisir entre deux formules : “avion+hôtel” ou “train+hôtel” et peuvent compléter ou non leur formule par une option “visites guidées”.

Une étude a produit les données suivantes :

$40\%$ des clients optent pour la formule “avion+hôtel” et les autres pour la formule “train+hôtel”.
Parmi les clients ayant choisi la formule “train+hôtel”, $50\%$ choisissent l’option visites guidées.
$12\%$ des clients ont choisi la formule “avion+hôtel” et l’option visites guidées.

On interroge au hasard un client de l’agence ayant souscrit à une formule week-end à Rome et on note :

$A$ l’événement : le client interrogé a choisi la formule “avion+hôtel”;
$T$ l’événement : le client interrogé a choisi la formule “train+hôtel”;
$V$ l’événement : le client interrogé a choisi l’option “visites guidées”.

Partie A

a. Que vaut $P(A\cap V)$?
$\quad$
b. Calculer la probabilité $P_A(V)$.
$\quad$
c. Représenter la situation par un arbre pondéré.
$\quad$
a. Montrer que la probabilité que le client ait choisi l’option “visites guidées” est égale à $0,42$.
$\quad$
b. Calculer la probabilité que le client interrogé ait pris l’avion sachant qu’il n’a pas choisi l’option “visites guidées”. Arrondir le résultat au millième.
$\quad$
L’agence pratique les prix suivants :
formule “avion+hôtel” : $510$ €
formule “train+hôtel” : $390$ €
option “visites guidées” : $100$ €
Quel chiffre d’affaires l’agence obtient-elle en moyenne avec $50$ clients qui choisissent un week-end à Rome?
$\quad$

Partie B

On s’intéresse de plus près à l’option “visites guidées”, choisie par les clients avec une probabilité de $0,42$.
On choisit au hasard dix dossiers de clients interrogés.
On admet que le nombre de dossiers est suffisamment grand pour que ces choix soient assimilés à des tirages indépendants avec remise.
Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de dossiers pour lesquels l’option “visites guidées” a été choisie.

Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
$\quad$
Déterminer la probabilité qu’exactement $4$ des dossiers choisis soient des dossiers avec option “visites guidées”. On donnera une valeur arrondie au millième.
$\quad$
Déterminer la probabilité qu’au moins un dossier choisi comprenne l’option “visites guidées”. On donnera une valeur arrondie au millième.
$\quad$

Correction Exercice 3

Partie A

a. $12\%$ des clients ont choisi la formule “avion+hôtel” et l’option visites guidées. Donc $P(A\cap V)=0,12$.
$\quad$
b. $P_A(V)=\dfrac{P(A\cap V)}{P(A)}=\dfrac{0,12}{0,4}=0,3$.
$\quad$
c. On obtient l’arbre pondéré suivant :
a. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(V)&=P(A\cap V)+P(T\cap V) \\
&=0,12+0,3 \\
&=0,42
\end{align*}$
$\quad$
b. On veut calculer $P_{\overline{V}}(A)=\dfrac{P\left(\overline{V}\cap A\right)}{P\left(\overline{V}\right)}$ $ =\dfrac{0,4\times 0,7}{1-0,42}\approx 0,483$
$\quad$
La probabilité pour qu’un client choisisse la formule “Avion+hôtel+visites guidées”, au coût de $610$ €, est de $0,12$.
La probabilité pour qu’un client choisisse la formule “Avion+hôtel sans visites guidées”, au coût de $510$ €, est de $0,4 \times 0,7=0,28$.
La probabilité pour qu’un client choisisse la formule “Train+hôtel+visites guidées”, au coût de $490$ €, est de $0,6\times 0,5=0,3$.
La probabilité pour qu’un client choisisse la formule “Train+hôtel sans visites guidées”, au coût de $390$ €, est de $0,6\times 0,5=0,3$.
Le chiffre d’affaire moyen obtenu avec $50$ clients est donc de :
$50\times (610 \times 0,12+510\times 0,28+490\times 0,3+390\times 0,3)=24~000$ €.
$\quad$

Partie B

Il y a $10$ tirages aléatoires, indépendants, identiques présentant chacun deux issues : $V$ et $\overline{V}$.
De plus $P(V)=0,42$.
Par conséquent la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,42$.
$\quad$
On veut calculer $P(X=4)=\displaystyle \binom{10}{4}0,42^4\times 0,56^6\approx 0,249$
$\quad$
On veut déteminer $P(X\pg 1) =1-P(X=0)=1-0,56^{10}\approx 0,997$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;4]$ par $f(x)=(3x-4)\e^{-x}+2$.
On donne ci-dessous la courbe $\mathscr{C}$ représentative de cette fonction.

Aucune justification graphique ne sera acceptée.

Partie A :

On désigne par $f’$ la dérivée de la fonction $f$.
a. Montrer qu’on a, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[0;4]$, $f'(x)=(7-3x)\e^{-x}$.
$\quad$
b. Étudier le signe de $f’$ sur l’intervalle $[0;4]$ puis dresser le tableau de variation de $f$ sur cet intervalle.
Toutes les valeurs du tableaux seront données à $10^{-3}$ près.
$\quad$
a. Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;4]$.
$\quad$
b. Donner, à l’aide de la calculatrice, un encadrement de $\alpha$ à $0,01$ près.
$\quad$
c. En déduire le tableau de signes de $f$ sur l’intervalle $[0;4]$.
$\quad$

Les parties B et C sont indépendantes l’une de l’autre mais elles sont toutes les deux en lien avec la partie A.

Partie B

La fonction $f$ ci-dessus modélise en réalité les bénéfices réalisés par un artisan qui produit et vend de petits jouets en bois. (On suppose que tous les jouets produits sont vendus).
Pour $x$ centaines de jouets, le bénéfice est de $f(x)$ milliers d’euros.
En vous servant de la partie A, répondre aux questions suivantes :

Combien de jouets au minimum l’artisan doit-il produire et vendre pour que son bénéfice soit positif?
$\quad$
Combien de jouets doit-il produire et vendre pour avoir un bénéfice maximum? Quel est alors ce bénéfice? (Arrondir à l’euro près).
$\quad$

Partie C

On considère la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;4]$ par $F(x)=(1-3x)\e^{-x}+2x$.

Montrer que $F$ a pour dérivée $f$ sur l’intervalle $[0;4]$.
$\quad$
En déduire les variations de $F$ sur l’intervalle $[0;4]$.
$\quad$

Correction Exercice 4

Partie A

a. $f$ est dérivable sur $[0;4]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$f'(x)=3\e^{-x}-(3x-4)\e^{-x} = (3-3x+4)\e^{-x}=(7-3x)\e^{-x}$.
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $7-3x$.
Or $7-3x>0 \ssi \dfrac{7}{3} > x$.
On obtient, par conséquent, le tableau de variation suivant :
a. Sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{7}{3}\right]$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante.
$f(0)=-2<0$ et $f\left(\dfrac{7}{3}\right) \approx 2,291 > 0$. $0$ appartient à $[-2;2,291]$.
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{7}{3}\right]$.
Sur l’intervalle $\left[\dfrac{7}{3};4\right]$, on a $f(x) \pg f(4) > 0$.
Donc l’équation $f(x)=0$ ne possède pas de solution sur cet intervalle.
En conclusion, l’équation $f(x)=0$ possède exactement une solution sur l’intervalle $[0;4]$.
$\quad$
b. A l’aide de la calculatrice, on trouve que $0,36<\alpha<0,37$.
$\quad$
c. D’après les questions précédentes on a le tableau de signes suivant :

Partie B

On sait que $f(x) >0 \ssi x>\alpha$.
Il faut donc que l’artisan produise et vende au moins $37$ jouets pour que son bénéfice soit positif.
$\quad$
La fonction $f$ atteint son maximum en $\dfrac{7}{3}\approx 2,33$.
$f(2,33) \approx 2,291$.
L’artisan doit donc produire et vendre $233$ jouets pour réaliser un bénéfice maximum de $2~291$ euros.
$\quad$

Partie C

$F$ est dérivable sur $[0;4]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$F'(x)=-3\e^{-x}-(1-3x)\e^{-2x}+2=(-3-1+3x)\e^{-x}+2=f(x)$.
La dérivée de $F$ est donc bien $f$ sur l’intervalle $[0;4]$.
$\quad$
D’après le tableau de signe, la fonction $F$ est donc décroissante sur l’intervalle $[0;\alpha]$ et croissante sur l’intervalle $[\alpha;4]$.
$\quad$

[collapse]