Amérique du Sud – novembre

Amérique du Sud – Novembre 2013

Correction BAC ES – Mathématiques

Vous pouvez trouver l’énoncé de ce sujet ici.

Exercice 1

  1. Affirmation fausse
    Si on diminue le budget de $6\%$ pendant $5$ ans alors on multiplie le prix par $0,94^5 \approx 0,73$. Le budget est donc diminué d’environ $27\%$.
  2. a. Affirmation vraie
    $\Delta = 10^2 – 4\times 9 = 64 > 0$.
    Il y a donc $2$ racines : $x_1 = \dfrac{-10-8}{-2} = 9$ et $x_2=\dfrac{-10+8}{-2}=1$.
    La fonction $B$ est donc positive sur $[1;9]$.
    b. Affirmation vraie
    Le maximum de $B$ est atteint pour $x=\dfrac{10}{2} = 5$.
    c. Affirmation fausse
    Calculons la valeur moyenne de $B$ sur $[2;8]$:
    $$ M=\dfrac{1}{8-2}\int_2^8(-x^2+10x-9)\text{d}x=\dfrac{1}{6} \left[ \dfrac{-x^3}{3}+5x^2-9x \right]_2^8 = \dfrac{78}{6}=13$$.
    Le bénéfice moyen est donc de $13~000€$.
  3. Affirmation fausse
    L’intervalle de confiance est $I=\left[\dfrac{210}{4000}-\dfrac{1}{\sqrt{4000}};\dfrac{210}{4000}+\dfrac{1}{\sqrt{4000}} \right] \approx [0,0367;0,0683]$
    $0,07 \notin I$.

Exercice 2

  1. a. $f'(x) = \text{e}^{-x} – x\text{e}^{-x} = (1-x)\text{e}^{-x}$.
    b. La fonction exponentielle étant positive, le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    Par conséquent sur $]-\infty;1]$, $f$ est croissante et sur $[1;+\infty[$, $f$ est décroissante.
  2. a. La fonction $f$ est continue et croissante sur l’intervalle $[-1;0]$.
    De plus $f(-1)=-\text{e} + 1 < 0$ et $f(0) = 1$. Donc $0 \in [-\text{e}+1;1]$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $[0;1]$.
    b. La calculatrice nous fournit : $-0,6 < \alpha < -0,5$.
  3. Une équation de la tangente est $y=f'(0)(x-0)+f(0) = x+1$.
  4. a. D’après la ligne $3$ du logiciel de calcul formel, on peut dire que $f’$ est croissante sur $[2;+\infty[$ et donc décroissante sur $]-\infty;2]$.
    b. La fonction $f$ est convexe quand $f”(x) \ge 0$ c’est-à-dire ici sur $[2;+\infty[$.
    Elle est concave sur $]-\infty;2]$.
    c. La fonction $f$ étant concave sur $]-\infty;2]$, sa courbe représentative est donc en-dessous de ses tangentes sur cet intervalle.
    Par conséquent $\mathcal{C}_f$ est en-dessous de $T$.
  5. a. $F'(x) = -\text{e}^{-x}(-1-x)-\text{e}^{-x}+1=x\text{e}^{-x}+1 = f(x)$.
    Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
    b. L’aire cherchée est donc :
    $$\int_0^1\left(x+1-f(x)\right)\text{d}x=\left[\dfrac{x^2}{2}+x-F(x)\right]_0^1=\dfrac{1}{2}+2\text{e}^{-1}-1 = 2\text{e}^{-1} – \dfrac{1}{2} \text{ u.a.} \approx 0,236 \text{ u.a.}$$

Exercice 3

(Enseignement obligatoire,L)

  1. a.
    TES - amerique du sud - nov2013 - ex3
    b. $p_1 = p(F_0 \cap F_1) + p \left(\bar{F_1} \cap F_1 \right)$ d’après la formule des probabilités totales.
    Par conséquent $p_1 = p_0 \times 0,94 + (1-p_0)\times 0,04 = 0,9p_0 + 0,04$.
  2. a. L’algorithme affiche alors la valeur $0,9 \times 0,55 + 0,04 = 0,535$.
    b. Cet algorithme calcule le $N$-ième ($N \ge 1$) terme de la suite $(p_n)$ et donc la probabilité qu’un électeur ait une opinion favorable du président le $N$-ième mois.
  3. a. $u_{n+1}=p_{n+1}-0,4 = 0,9p_n+0,04 – 0,4 = 0,9p_n – 0,036 = 0,9(p_n-0,04) = 0,9u_n$
    $u_0 = 0,55 – 0,4 = 0,15$.
    La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $u_0 = 0,15$.
    b. On en déduit donc que $u_n = 0,15 \times 0,9^n$ et par conséquent $p_n = 0,15\times 0,9^n+0,4$.
    c. $-1 < 0,9 < 1$ donc $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} 0,9^n=0$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} p_n = 0,4$.
    Au bout d’un certain temps, la côte de popularité du président deviendra proche de $40\%$.
  4. a. $0,15 \times 0,9^n + 0,4 \le 0,45 \Leftrightarrow 0,15\times 0,9^n \le 0,05$
    $\Leftrightarrow 0,9^n \le \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow n \text{ln }0,9 \le \text{ln }\dfrac{1}{3}  \Leftrightarrow n \ge \dfrac{-\text{ln }3}{\text{ln }0,9} \approx 10,4$.
    Dans l’ensemble des entiers naturels, les solutions de l’inéquation sont les nombres entiers supérieurs ou égaux à $11$.
    b. Cela signifie donc qu’à partir de la $11^{\text{ème}}$ année, la côte de popularité sera comprise entre $40$ et $45\%$.

Exercice 3

(Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

 

  1. TES - amerique du sud - nov2013 - ex3 spé
  2. a. La matrice de transition est :
    $$ M  = \left( \begin{matrix} 0,8&0,2 \\\\0,3&0,7 \end{matrix} \right)$$
    b. $M^2  = \left( \begin{matrix} 0,8&0,2 \\\\0,3&0,7 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 0,8&0,2 \\\\0,3&0,7 \end{matrix} \right)$
    $M^2= \left( \begin{matrix} 0,8\times 0,8+0,2 \times 0,3&0,2\times 0,8 + 0,2\times 0,7 \\\\0,3\times 0,8 + 0,7 \times 0,3&0,3 \times 0,2 + 0,7\times 0,7 \end{matrix} \right)$
    $M^2= \left( \begin{matrix} 0,7&0,3 \\\\0,45&0,55 \end{matrix} \right)$
    c. On a $P_2 = P_0 \times M^2 = (0,7~~0,3)$.
  3. On a $p_{n+1}=0,8p_n+0,3q_n = 0,8p_n+0,3(1-p_n) = 0,5p_n+0,3$   (car $p_n+q_n=1$)
  4. ligne $6$ : $p$ prend la valeur $0,5p + 0,3$.

Partie B

  1. $u_{n+1}=p_{n+1}-0,6=0,5p_n+0,3-0,6=0,5p_n-0,3=0,5(p_n-0,6)=0,5u_n$.
    $u_0=1-0,6 = 0,4$.
    $(u_n)$ est donc une suite géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_0=0,4$.
  2. On a donc $u_n=0,4\times 0,5^n$ et par conséquent $p_n=0,6+0,4\times 0,5^n$.
  3. $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 0,5^n=0$ et $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}p_n = 0,6$.

Partie C

A B C D E F G H I
$7$A $16$A $21$A
$20$B $25$B $22$B $15$B
$23$F $20$F $22$F
$28$C
$32$E $38$E
$28$H $35$H $41$H
$30$D
$37$G

 

La chaîne la plus courte est donc : A – B – D – G – I : $3700$

Exercice 4

Partie A

  1. a. On choisit $15$ clients de manière aléatoire, indépendante. Chaque client a ou n’a pas eu de sinistre au cours de l’année.
    La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,3$.
    b. $P(X \ge 1) = 1 – P(X=0) = 1 – \binom{15}{0}0,3^0\times 0,75^{15} = 0,995$.
  2. a. $n=100 \ge 30$,$np = 30 \ge 5$ et $n(1-p) = 70 \ge 5$.
    L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
    $$I_{100} = \left[0,3-1,96\times\dfrac{\sqrt{0,3 \times 0,7}}{\sqrt{100}};0,3+1,96\times\dfrac{\sqrt{0,3 \times 0,7}}{\sqrt{100}}\right] = [0,210;0,390]$$
    b. La fréquence observée est $\dfrac{19}{100} = 0,19 \notin I_{100}$.
    L’expert ne peut donc pas valider l’affirmation du cabinet d’assurance.

Partie B

  1. $P(1000 \le Y \le 1500) \approx 0,775$ (à la calculatrice).
  2. $P(Y \ge 1000) = P(1000 \le Y \le 1200) + P(Y \ge 1200) = 0,341 + 0,5 \approx 0,841$.