Métropole – septembre

Métropole – Septembre 2013

Correction Bac ES – mathématiques

Vous pouvez trouver l’énoncé du sujet ici.

Exercice 1

Partie A

  1. TES - métropole - sept2013 - ex1
  2. a. $E\cap F$ : “La personne choisie est une femme qui écoute les explications”.
    $p(E \cap F) = 0,35 \times 0,6 = 0,21$
    b. $p(E) = p(E\cap F) + p(E\cap H)$ (ces $2$ événements sont disjoints, on peut donc utiliser la formule des probabilités totales)
    $p(E) = 0,21 + 0,65 \times 0,3 = 0,405$.
    c. On cherche $p_E(H) = \dfrac{p(E\cap H)}{p(E)} = \dfrac{0,195}{0,405}\approx 0,48$.

Partie B

  1. Les $60$ appels sont indépendants, aléatoires et identiques. A chaque appel, il y a $2$ issues : $E$ et $\bar{E}$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=60$ et $p=0,12$.
  2. On cherche $P(X=5) = \binom{60}{5}\times 0,12^5 \times (1-0,12)^{55} \approx 0,12$.
  3. On cherche $P(X \ge 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – (1-012)^{60} \approx 0,99953$.

Exercice 2

(Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et TL)

  1. Réponse c Les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ sont en-dessous de la courbe sur $]1;3[$.
  2. Réponse d $-3\times 1 + 5 = 2$ donc les coordonnées de $A$ vérifient l’équation fournie. L’ordonnée à l’origine de cette droite est $5$ et la droite tracée passe effectivement par le point de coordonnées $(0;5)$.
  3. Réponse b La fonction est convexe sur $]1;2[$ donc $f’$ est croissante sur cet intervalle.
  4. Réponse b Si on considère l’aire comprise entre les $2$ droites d’équations $x=0$ et $x=2$, l’axe des abscisses et la courbe, alors cette aire est inférieure à la somme des aires du rectangle de largeur $1$ et de hauteur $4$ et du rectangle de largeur $1$ et de hauteur $2$. Donc l’aire est inférieure à $6$.
    Cette surface contient également au moins $3$ carrés de côté $1$.
  5. Réponse b $f$ est positive sur $]-1;2[$ donc $F'(x) = f(x) \ge 0$. $f$ est donc croissante sur $]-1;2[$.

Exercice 2

(Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

  1. TES - métropole - sept2013 - ex2
  2. On obtient ainsi la matrice de transition $M=\left( \begin{matrix} 0,8& 0,2 \\\\0,1&0,9 \end{matrix} \right)$.
  3. On cherche donc, tout d’abord, $P_3 = P_0 \times M^3 = (0,30475\quad 0,69525)$.
    Par conséquent en $2011$, $30,475\%$ des étudiants de la promotion $2008$ travaillaient à l’étranger.
  4. Les coefficients de la matrice $M$ étant tous non nuls, cette situation possède un état stable $(x~~y)$ tel que $(x~~y) = (x~~y) \times M$ avec $x+y=1$.
    Par conséquent : $\left\{ \begin{array}{l} x=0,8x+0,1y \\\\y=0,2x+0,9y \\\\x+y=1 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0,2x=0,1y \\\\0,1y=0,2x \\\\x=1-y \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0,2 – 0,2y=0,1y \\\\x=1 – y \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=\dfrac{2}{3} \\\\x=\dfrac{1}{3} \end{array} \right.$
    L’état stable est donc $\left(\dfrac{1}{3}~~\dfrac{2}{3} \right)$.
    Cela signifie par conséquent qu’au bout d’uncertain temps \dfrac{1}{3} des étudiants travaillera à l’étranger et les $\dfrac{2}{3}$ en France.

Partie B

  1. Construisons le tableau des degrés des sommets
    Sommet A B C D E F G
    Degré $2$ $3$ $3$ $4$ $4$ $4$ $5$

    Tous les sommets ne sont pas de degré pair et il y a $3$ sommets de degré impair. Il n’existe donc pas de chaîne Eulérienne pour ce graphe. Par conséquent il n’est pas possible de réaliser un trajet d’un lycée à un autre en ne parcourant toutes les rues qu’une seule fois.

  2. Nous allons utiliser l’algorithme de Dijkstra
    A B C D E F G
    $0$(A) $16$(A) $30$(A)
    $52$(B) $56$(B)
    $66$(D) $62$(D) $59$(D) $90$(D)
    $83$(F) $86$(F) $84$(F)
    $75$(C) $89$(F)
    $89$(E) $92$(E)

    Le plus court chemin pour aller de A à G est A-B-F-G. Il nécessite $84$ minutes.

 Exercice 3

Partie A

  1. $f'(x) = \text{e}^{0,2x-1} + 0,2x\text{e}^{0,2x-1} = (0,2x+1)\text{e}^{0,2x-1}$
  2. $f'(x)$ est du signe de $(0,2x+1)$. Or $0,2x+1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  -5$.
    Donc $f$ est croissante sur $[-5;30]$ et décroissante sur $[-10;-5]$.
  3. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[0;20]$.
    $f(0)=5$ et $f(20) = 5 + 20\text{e}^{3} \approx 406,7$.
    Par conséquent $80 \in [5;5+20\text{e}^{3}]$.
    D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x) = 80$ possède donc une unique solution sur $[0;20]$.
    Et $13,5 < \alpha < 13,7$.
  4. a. $I = F(10) – F(5) = 25\text{e} + 50 – 25 = 25 + 25\text{e}$
    b. La valeur moyenne de $f$ sur $[5;10]$ est $m = \dfrac{I}{10-5}\approx 18,59$

Partie B

  1. $f(0) = 5$. En $2010$, $5$ magasins utilisent son enseigne.
  2. D’après la partie A, $13,5 < \alpha < 13,7$. C’est donc à partir de la $14^{\text{ème}}$ année que la chaîne possédera $80$ boutiques.
  3. Le chiffre annuel moyen pour le styliste sur la période $2015-2020$ est donc :
    $18,59 \times 2~500 \times 300 = 19~942~500€$.

Exercice 4

  1. En $2013$ le nombre d’exposants sera donc de $0,9 \times 110 + 30 = 129$.
  2. D’une année sur l’autre $90\%$ des exposants reviennent. Donc, l’année $n+1$, on aura $0,9u_n$ exposants de l’année $n$. On y ajoute les $30$ nouvelles demandes.
    Donc $u_{n+1} = 0,9u_n+30$.
  3. $$\quad$$ $ \begin{array}{l l} \text{Variables :}&u \text{ est un nombre réel} \\\\ &n \text{ est un nombre entier naturel} \\\\\text{Initialisation :}& \text{Affecter à }u \text{la valeur }110 \\\\ & \text{Affecter à }n \text{la valeur }2012 \\\\\text{Traitement}& \text{Tant que } u \le 220 \\\\ & \quad \text{Affecter à }u \text{ la valeur }0,9u+30 \\\\ & \quad \text{Affecter à }n \text{ la valeur }n+1 \\\\ & \text{Fin tant que} \\\\\text{Sortie :}&\text{Afficher }n\end{array} $
  4. a. $v_{n+1}=u_{n+1}-300 = 0,9u_n+30-300=0,9u_n-270=0,9(u_n-300)=0,9v_n$.
    $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $0,9$.
    b. $v_0 = 110 – 300 = -190$.
    Par conséquent $v_n=-190 \times 0,9^n$.
    Et $u_n = v_n+300 = -190 \times 0,9^n + 300$.
    c. On résout donc l’inéquation $-190 \times 0,9^n+300 \ge 220 \Leftrightarrow -190 \times 0,9^n \ge -80 \Leftrightarrow 0,9^n \le \dfrac{8}{19}$ $ \Leftrightarrow n\text{ ln }0,9 \le \text{ln }\dfrac{8}{19} \Leftrightarrow n \ge \dfrac{\text{ln }\dfrac{8}{19}}{\text{ln }0,9}$ donc $n \ge 9$.
    C’est donc à partir de $2021$ que l’organisateur ne pourra pas accepter toutes les demandes.
  5. $u_{n+1}-u_n = -190 \times 0,9^{n+1}  + 190 \times 0,9^n = -190 \times 0,9^n(0,9-1) = 19 \times 0,9^n$.
    La suite $(u_n)$ est donc croissante.
    De plus, puisque $-1 < 0,9 < 1$ on a $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 0,9^n = 0$.
    Donc $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} u_n = 300$.
    L’organisateur a donc raison de proposer ce nombre.