Nouvelle Calédonie – Bac ES

Mathématiques – Novembre 2013

Vous pouvez trouver l’énoncé du sujet ici.

Exercice 1

1. $f'(x) = 2x-14 + \dfrac{20}{x} = \dfrac{2x^2-14x+20}{x}$
2. Sur $[1;10]$, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2x^2-14x+20$ car $x>0$.
   $\Delta = (-14)^2-4\times 20 \times 2 = 196 – 160 = 36 > 0$
   Il y a donc $2$ racines : $x_1 = \dfrac{14-6}{4}=2$ et $x_2=\dfrac{14+6}{4}=5$.
   
   $f(2) = -9 + 20\text{ln }2$
   $f(5)= -30 + 20\text{ln }5$
   $f(10) = -25 + 20\text{ln }10$.
3. $f(2) \approx 4,9$
   $f(5) \approx 2,2$
   $f(10) \approx 21,1$
   Sur l’intervalle $[1;2]$, $f$ est continue et strictement croissante. De plus $3\in [2;f(2)]$.
   D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=3$ possède une unique solution sur $[1;2]$.
   Sur l’intervalle $[2;5]$, $f$ est continue et strictement décroissante. De plus $3\in[f(5);f(2)]$.
   D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=3$ possède une unique solution sur $[2;4]$.
   Sur l’intervalle $[5;10]$, $f$ est continue et strictement décroissante. De plus $3\in[f(5);f(10)]$.
   D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=3$ possède une unique solution sur $[5;10]$.
   L’équation $f(x)=3$ possède donc $3$ solutions sur l’intervalle $[1;10]$.

Exercice 2

1. Réponse A. $f'(x) = 2\text{e}^{2x+\text{ln }2}$ donc $f(‘x)=4\text{e}^{2x+\text{ln }2} > 0$ pour tout $x$.
   La fonction $f$ est donc concave.
2. Réponse C. Si $F(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x+\text{ln }2}$ alors $F'(x) = \dfrac{1}{2}\times 2 \text{e}^{2x+\text{ln }2}= \text{e}^{2x+\text{ln }2} = f(x)$
   $F$ est un primitive de $f$ sur $\R$.
3. Réponse D. Sur $[0; \text{ln }2]$, $f(x) \ge 2$.

Exercice 3

(Enseignement obligatoire – L)

Première partie

1. $6000 \times \dfrac{2,25}{100} = 135$. Pour $2014$, les intérêts s’élèvent à $135$ €
   Au $1^{\text{er}}$ janvier $2015$, elle aura donc sur son livret $6000+135 +900 = 7035$ €.
2. Chaque année, son livret lui rapporte $2,25\%$ d’intérêt.
   Par conséquent, après intérêt, elle a : $\left(1+\dfrac{2,25}{100}\right) M_n = 1,0225M_n$.
   Elle verse au $1^{\text{er}}$ janvier $900$ €.
   Donc $M_{n+1} = 1,0225M_n+900$.

Deuxième partie

1.  a. $G_{n+1} = M_{n+1} + 40000 = 1,0225M_n+900+40000=1,0225M_n+40900$
   $G_{n+1} = 1,0225(M_n+40000) = 1,0225G_n$.
   Donc $(G_n)$ est une suite géométrique de raison $1,0225$ et de premier terme :
   $G_0 = 6000+40000 = 46000$.
   b. On a donc $G_n = 46000 \times 1,0225^n$.
   Par conséquent $46000 \times 1,0225^n = M_n + 40000$.
   D’où $ M_n = 46000 \times 1,0225 – 40000$.
   c. On cherche la valeur de $n$ telle que $46000 \times 1,0225^n-40000 > 19125$
   Soit $46000 \times 1,0225^n > 59125$ d’où $1,0225^n > \dfrac{473}{368}$.
   Par conséquent $n\text{ln } 1,0225 > \text{ln }\dfrac{473}{368}$.
   Donc $n > \dfrac{\text{ln }\dfrac{473}{368}}{\text{ln }1,0225} \approx 11,3$.
   Le plafond sera donc attient la $12^\text{ème}$ année soit  en $2026$.
2. a. Il faut changer les lignes :
   4 Initialisation : Affecter à MONTANT la valeur $5000$
   8 Affecter à MONTANT la valeur $1,0225x+1000$
   b. On peut écrire :
   Tant que MONTANT < 19125
   $\quad$ Affecter à MONTANT la valeur $1,0225x+900$
   $\quad$ Affecter à ANNEE la valeur ANNEE + $1$
   $\quad$ Afficher “En”
   $\quad$ Afficher ANNEE
   $\quad$ Afficher “vous disposez de ”
   $\quad$ Afficher MONTANT

Exercice 3

(Enseignement de spécialité)

1. a.
   
   b. La matrice de transition est : $M = \left( \begin{matrix} 0,86&0,14 \\\\0,06 & 0,94 \end{matrix} \right)$
2. $E_1 = (0,7~~0,3) \left( \begin{matrix} 0,86&0,14 \\\\0,06 & 0,94 \end{matrix} \right) = (0,62~~0,38)$
   En $2011$, le parti Hirondelle aura $62\%$ des voix et le parti Phénix $38\%$.
   $E_4 = (0,7~~0,3)\left( \begin{matrix} 0,86&0,14 \\\\0,06 & 0,94 \end{matrix} \right)^4 = (0,46~~0,54)$.
   En $2014$, le parti Hirondelle aura $46\%$ des voix et le parti Phénix $54\%$.
3. a. $h_{n+1} = 0,86h_n+0,06p_n=0,86h_n+0,06(1-h_n)=0,8h_n+0,06$ car $h_n+p-n=1$.
   b. $u_{n+1} = h_{n+1}-0,3 = 0,8h_n+0,06-0,3 = 0,8h_n-0,24=0,8(h_n-0,3)=0,8u_n$.
   La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $0,8$.
   Son premier terme est $u_0=0,7-0,3=0,4$.
   c. Par conséquent $u_n=0,4\times 0,8^n$. d’où $h_n = 0,3 + 0,4 \times 0,8^n$.
4. On cherche donc la valeur de $n$ telle que $h_n < 0,32$
   Soit $0,3 + 0,4 \times 0,8^n < 0,32$
   Donc $0,4 \times 0,8^n < 0,02$
   Par conséquent $0,8^n<0,05$
   Donc $n\text{ln }0,8 < \text{ln }0,05$.
   Finalement $n > \dfrac{\text{ln }0,05}{\text{ln }0,8} \approx 13,4$.
   La probabilité qu’un électeur choisi au hasard vote pour le parti Hirondelle sera strictement inférieure à $0,32$ au bout de $14$ ans.

Exercice 4

1. 
2. On cherche donc $p(E_1\cap \bar{A}) = 0,24 \times 0,44 = 0,1232$.
3. $p(\bar{A}) = p(E_0 \cap \bar{A}) + p(E_0 \cap \bar{A})$ d’après la formule des probabilités totales.
   $p(\bar{A}) = 0,44 \times 1 + 0,1232 + 0,28 \times 0,27 = 0,6388$.
4. On cherche donc $p_A(E_{2+}) = \dfrac{p(A\cap E_{2+})}{p(A)} = \dfrac{0,28 \times 0,73}{1-0,6388} \approx 0,5659$.

Exercice 5

1. a. La proportion des copies de l’échantillon ayant obtenu une note supérieure ou égale à $10$ est de $\dfrac{78}{160} = 0,4875$.
   b. L’intervalle de confiance est $I = \left[0,4875 – \dfrac{1}{\sqrt{160}};0,4875+\dfrac{1}{\sqrt{160}} \right]$.
   Soit $I = [0,4084;0,5666]$.
   c. On veut donc que $\dfrac{2}{\sqrt{n}} < 0,04$ soit $\dfrac{1}{\sqrt{n}} < 0,02$ d’où $\sqrt{n} > 50$ et $n > 50^2$.
   Il faut donc que l’échantillon comporte au moins $2500$ copies pour que l’amplitude soit inférieure à $0,04$.
2. a. On veut que l’intervalle contienne $95\%$ des moyennes des candidats et soit centré en $10,5$.
   On peut donc prendre l’intervalle $J = [10,5-1,96 \times 2;10,5 + 1,96 \times 2]$.
   Soit $J = [6,58;14,42]$.
   b. $P(X > 12) = 1 – P(X \le 12) = 1 – 0,7734 = 0,2266$.
   c. LE graphique a la forme d’une distribution en cloche.
   On constate des irrégularités juste avant les notes $8$, $10$, $12$, $14$, $16$ qui correspondent aux notes à partir desquelles les élèves peuvent être rattrapés pour soit passer à l’oral du $2^\text{nd}$ groupe soit pour obtenir leur baccalauréat, soit pour obtenir une mention.