Nouvelle Calédonie – mars 2014

Correction Bac Mathématiques TES/TL – Nouvelle Calédonie – 7 mars 2014

Vous pouvez trouver l’énoncé ici

 

Exercice 1

  1. $p(G) = \dfrac{23}{40} \qquad p(R \cap G) = \dfrac{17}{40} \times \dfrac{8}{17} = \dfrac{8}{40}\qquad p(R) = \dfrac{8 + 12}{40} = \dfrac{1}{2}$.
  2. On cherche $p(F \cap A) = \dfrac{9}{40}$.
  3. On cherche $p_R(G) = \dfrac{12}{23}$
  4. Nous sommes en présence d’un tirage avec remise, aléatoire où les tirages sont indépendants.
    Il y a 2 tirages. A chaque tirage, l’élève peut étudier ou non le russe et $p(R) = \dfrac{1}{2}$.
    La variable aléatoire $X$ comptant le nombre d’élèves étudiant le russe suit donc une loi binomiale $\mathcal{B}\left(2;\dfrac{1}{2}\right)$.
    On cherche donc $P(X=1) = \displaystyle \binom{2}{1}\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$

Exercice 2

Candidat n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité mathématique ES

  1. Pour tout $n$ on a $g_n+p_n = 1$ puisqu’on prend en compte la proportion de la ville qui est inscrite au club de gymnastique et celle qui qui ne l’est pas.
  2. a. 30% des personnes inscrites au club de gymnastique l’année précédente renouvellent leur inscription au club. Pour l’année $n+1$ cela correspond donc à $0,3g_n$.
    10% des habitants de la ville qui n’étaient pas inscrits au club l’année précédente s’y inscrivent. Pour l’année $n+1$ cela correspond donc à $0,1p_n$.
    Par conséquent $g_{n+1} = 0,3g_n+0,1p_n$.b. On sait que $g_n+p_n = 1$. Donc $p_n = 1 -g_n$.
    Par conséquent : $g_{n+1} = 0,3g_n + 0,1(1-g_n) = 0,2g_n + 0,1$.
  3. $u_{n+1} = g_{n+1} – 0,125 = 0,2g_n+0,1 – 0,125 = 0,2g_n – 0,025 $
    $u_{n+1} = 0,2g_n – 0,2\times 0,125 = 0,2\left(g_n – 0,125 \right) = 0,2u_n$.
    La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison 0,2.
    Son premier terme est $u_0=0,2-0,125 = 0,075$.
  4. Le premier terme de la suite $(u_n)$ est positif et la raison appartient à $[0;1[$.
    La suite est donc décroissante.
  5. On a : $u_n=0,075 \times 0,2^n$. Par conséquent $g_n = u_n + 0,125 = 0,125 + 0,075 \times 0,2^n$.
    $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,2^n = 0$
    Par conséquent, au cours des années, la proportion de la population de la ville inscrite au club de gymnastique décroit pour se stabiliser à 12,5%.

Exercice 2

Candidat ayant suivi l’enseignement de spécialité mathématique ES

On appelle $G$ l’événement “La personne est inscrite au club de gymnastique”
et $P$ l’événement ” La personne n’est pas inscrite au club de gymnastique”.

  1.  

  2. On a donc $A = \left(
    \begin{matrix}
    0,3&0,7 \\\\
    0,1&0,9
    \end{matrix}
    \right)$
  3. Par conséquent : $E_1 = (\begin{matrix} 0,14& 0,86\end{matrix})$ et $E_2 = (\begin{matrix} 0,128& 0,872\end{matrix})$
    La deuxième année (année 1), 14% de la population de la ville est inscrite au club de gymnastique et la troisième année, 12,8% de la population y est inscrite.
  4. L’état stable $(\begin{matrix} g& p\end{matrix})$ vérifie $(\begin{matrix} g& p\end{matrix}) = (\begin{matrix} g& p\end{matrix}) \times A$ et $g+p=1$.
    Par conséquent :
    $$ \left\{
    \begin{array}{l}
    g+p=1 \\\\
    0,3g+0,1p=g\\\\
    0,7g+0,9p=p
    \end{array}
    \right.
    $$
    d’où
    $$ \left\{
    \begin{array}{l}
    p=1 – g \\\\
    0,1p=0,7g\\\\
    0,7g=0,1p
    \end{array}
    \right.
    $$
    et finalement
    $$ \left\{
    \begin{array}{l}
    p=1 – g \\\\
    1-g=7g
    \end{array}
    \right.
    $$
    soit
    $$ \left\{
    \begin{array}{l}
    p=\dfrac{7}{8} \\\\
    g = \dfrac{1}{8}
    \end{array}
    \right.
    $$
    Par conséquent, au bout d’un grand nombre d’années, $\dfrac{1}{8}$ de la population de la ville sera inscrite au club de gymnastique de la ville.

Exercice 3

  1. Affirmation vraie : $G'(x) = \text{ln }x + \dfrac{x}{x} – 1 = \text{ln }x = g(x)$
  2. Affirmation fausse : $\displaystyle \int_{0}^{1}(x^2+1)\text{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3} + x \right]_0 ^1 = \dfrac{4}{3}$
  3. Affirmation fausse : $E(X) = \dfrac{0+1}{2}$.
  4. Affirmation vraie : $n=100 \ge 30$, $np = 51 \ge 5$ et $n(1-p) = 49 \ge 5$
    Par conséquent un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion de garçons est :
    $$I_{100} = \left[ 0,51 – 1,96\sqrt{\dfrac{0,51\times 0,49}{100}};0,51 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,51\times 0,49}{100}} \right] \approx [0,412;0,608] $$

Exercice 4

  1. $f'(x) = -\text{e}^x+(3-x)\text{e}^x = (2-x)\text{e}^x$
    et $f”(x) = -\text{e}^x + (2-x)\text{e}^x = (1-x)\text{e}^x$.
  2. La fonction exponentielle est strictement positive par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2-x$, qui est strictement négative sur $]2;5]$..
    Donc sur $[2;5]$, la fonction $f$ est strictement décroissante.
  3. La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur $[2;5]$.
    De plus $f(2) = \text{e}^2+1 > 0$ et $f(5)=-2\text{e}^5+1 < 0$
    D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur $[2;5]$.
    De plus $f(3) = 1 > 0$ et $f(4) = -\text{e}^4+1<0$. Donc $\alpha \in ]3;4[$.
  4. a. Une équation de la tangente $T$ est $y=f'(3)(x-3)+f(3)$ soit $y = -\text{e}^3(x-3)+1$
    c’est-à-dire $y = -\text{e}^3x+3\text{e}^3+1$.b. L’ordonnée de ce point est nulle par conséquent $-\text{e}^3x+3\text{e}^3+1 = 0$ soit $x = \dfrac{1 + 3\text{e}^3}{\text{e}^3}$.c. Le signe de $f”(x)$ ne dépend que de celui de $1-x$, qui est négative sur $[2;5]$.
    Par conséquent $f$ est concave sur cet intervalle.d. La courbe se trouve donc au-dessous de ces tangentes.
    En particulier $f(\alpha) < -\text{e}^3\alpha+3\text{e}^3+1$
    Donc $ 0 < -\text{e}^3\alpha+3\text{e}^3+1$
    Par conséquent $\alpha < \dfrac{1 + 3\text{e}^3}{\text{e}^3}$
    et finalement $ \alpha < 3 + \dfrac{1}{\text{e}^3}$.
  5. a.
    $b-a$ $b-a>r$ $m$ $f(m)$ $f(m)>0$ $a$ $b$
    Initialisation 3 3,05
    étape 1 0,05 oui 3,025 0,485 oui 3,025 3,05
    étape 2 0,025 oui 3,0375 0,218 oui 3,0375 3,05
    étape 3 0,0125 oui 3,04375 0,082 oui 3,04375 3,05

    b. A la fin de l’étape 3, la différence $b-a$ est inférieure à $r$.
    L’algorithme affichera donc 3,04375 et 3,05.