Correction Bac Mathématiques TES/TL – Pondichery – 7 avril 2014

Vous pouvez trouver l’énoncé obligatoire ici et l’énoncé spécialité ES ici.

Exercice 1

1. $h'(1)$ correspond au coefficient directeur de la tangente $T$.
   Par conséquent $h'(1) = \dfrac{-2 – 3}{0 – (-1)} = -5$.
   L’affirmation est donc fausse.
   
2. La fonction $f”$ est donc négative sur l’intervalle $[1;4]$. Par conséquent la fonction $f$ est concave sur cet intervalle.
   L’affirmation est donc fausse.
3. $\text{e}^{5\text{ln }2}\times \text{e}^{7\text{ln }4} = \text{e}^{5\text{ln }2} \times \text{e}^{7 \times \text{ln }2} = \text{e}^{5\text{ln }2} \times \text{e}^{14\text{ln }2} = \text{e}^{19\text{ln }2}$.
   Prenons le logarithme de cette expression. On obtient $19\text{ln }2$.
   De plus $\text{ln }\left(2^{19}\right) = 19\text{ln } 2$.
   Or $\text{ln } a = \text{ln } b \Leftrightarrow a = b$.
   Par conséquent les 2 membres sont bien égaux.
   L’affirmation est donc vraie.
4. L’aire grisée est égale à $\displaystyle \int_1^2g(x)\text{d}x = G(2) – G(1) = 5 – 1 = 4 \text{ u.a}$.
   L’affirmation est donc vraie.

Exercice 2 (candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L)

1. $u_1 = 0,4u_0 + 120 = 166$ et $u_2 = 0,4u_1 + 120 = 186,4$.
   Dans la mesure où il s’agit de nombre d’oiseaux il faut arrondir ces résultats à l’unité. Par conséquent $u_2 = 186$.
2. a. Dans le premier algorithme, la nouvelle valeur de $U$ n’est pas calculée correctement. Il faut multiplié la précédente valeur de $U$ par $0,4$ et non par $0,6$.
   Dans le deuxième algorithme, à chaque tour de boucle, la variable $U$ est initialisée à $115$. En sortant de la boucle on calcule donc $u_1$ et non $u_n$.
   b. On a, du fait des prévisions des spécialistes, $u_{n+1} = 0,4u_n+120$.
3. a. $v_{n+1} = u_{n+1} – 200 = 0,4u_n+120-200 = 0,4u_n-80 $
   $v_{n+1}= 0,4u_n – 0,4\times 200 = 0,4(u_n – 200) = 0,4v_n$.
   Par conséquent $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,4$.
   Son premier terme est $v_0 = u_0 – 200 = 115 – 200 = -85$.
   b. On en déduit donc que $v_n = -85\times 0,4^n$
   c. On sait que $v_n = u_n – 200$. Par conséquent $u_n = v_n+200$.
   donc $u_n = 200 – 85\times 0,4^n  $.
   d. $u_{n+1} – u_n = -85\times 0,4^{n+1} + 85\times 0,4^n $
   $u_{n+1} – u_n= 85 \times 0,4^n (-0,4 + 1) = 85 \times 0,6 \times 0,4^n > 0$.
   La suite $(u_n)$ est donc croissante
   $0 < 0,4 < 1$. Par conséquent $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 0,4^n = 0$.
   Donc  $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} u_n = 200$.
   On a donc une suite croissante dont la limite est $200$.
   La capacité d’accueil prévue est par conséquent suffisante.
4. On cherche à calculer $S = 20(u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5)$.
   Or $u_0 = 115$, $u_1 = 166$, $u_2=186$, $u_3 = 194$, $u_4 = 198$ et $u_5 = 199$.
   Par conséquent $u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 = 1058$.
   Le total des subventions perçues par le centre entre le $1^\text{er}$ janvier 2013 et le 31 décembre 2018 est donc de $S = 20\times 1058 = 21160$ €.

Exercice 2 (candidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

1. 
2. $v_0 = 1-u_0 = 0,55$.
   $u_1 = 0,9u_0+0,15v_0 = 0,9\times 0,45 + 0,15\times 0,55 = 0,4875$.
   $v_1=0,1u_0+0,85v_0 = 0,1 \times 0,45 + 0,85 \times 0,55 = 0,5125$. (On pouvait aussi écrire $v_1 = 1 – u_1$)
3. ligne 5 : Affecter à $V$ la valeur $0,55$
   ligne 8 : Affecter ç $V$ la valeur $1-U$
4. a. $w_{n+1} = u_{n+1} – 0,6 = 0,75u_n+0,15 – 0,6 = 0,75u_n-0,45$
   $w_{n+1} = 0,75u_n-0,75\times 0,6 = 0,75w_n$.
   La suite $(w_n)$ est donc géométrique de raison $0,75$.
   b. Son premier terme est $w_0 = u_0-0,6 = 0,45 – 0,6 = -0,15$.
   Par conséquent $w_n = -0,15 \times 0,75^n$.
   $-1 < 0,75 < 1$. Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,75^n = 0$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} w_n = 0$.
   On en déduit donc, puisque $w_n = u_n – 0,6$, que $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=0,6$.
   Cela signifie par conséquent, qu’au bout d’un certain nombre d’année, l’entreprise U possèdera $60\%$ du marché.

Partie B

1. a. On pose $M = \left( \begin{matrix} 1&1&1 \\\\ 27&9&3 \\\\ 125&25&5 \end{matrix} \right)$ et $Y = \left( \begin{matrix} 1\\\\ 17,4 \\\\ 73 \end{matrix} \right)$.
   On a bien alors $MX = Y$.
   b. Puisque $M$ est inversible on obtient $X = M^{-1}Y = \left( \begin{matrix} 0,5 \\\\ 0,4 \\\\ 0,1 \end{matrix} \right)$.
   Par conséquent $a=0,5$ , $b= 0,4$ et $c=0,1$.
2. On calcule alors $C(8000) = 0,5\times 8^3+0,4\times 8^2+0,1 \times 8 + 10 = 292,4$.
   Le coût annuel serait alors de $29240$€.

Exercice 3

Partie A

1. 
2. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $$p(A) = p(G\cap A) + p(\bar{G} \cap A) = 0,07 \times 1 + 0,93 \times 0,04 = 0,1072$$
3. On cherche donc $p_A(G) = \dfrac{p(A\cap G)}{p(A) }= \dfrac{0,07}{0,1072} \simeq 0,653$.

Partie B

1. $P(7 \le X \le 21) = P( \mu – 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \simeq 0,954 \simeq 0,95$.
2. On cherche donc $P(X \ge 10) = 0,5 + P(10 \le X \le \mu) \simeq 0,873$

Partie C

$n= 200 \ge 30$, $np = 200 \times 0,22 = 44 \ge 5$ et $n(1-p) = 200 \times 0,78 = 156 \ge 5$.
Un intervalle de fluctuation au seuil de $95 \%$ est donc :
$$I_{200} = \left[0,22 – 1,96\sqrt{\dfrac{0,22\times 0,78}{200} };0,22 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,22\times 0,78}{200} } \right] \approx [0,163;0,277]$$.
La fréquence observée est $f = \dfrac{28;200} = 0,14$. Or $f \notin I_{200}$.
Ce résultat remet donc en cause l’affirmation de la mutuelle.

Exercice 4

Partie A

1. a. On cherche $f(1) =10$. $100$ litres de sorbet coûte donc $1000$€.
   b. $r(x) = 10x$ : fonction linéaire de coefficient directeur égal à $10$.
   c. Il faut que la droite $D$ soit au-dessus de la courbe $C$. Cela signifie que $x > 1$.
   L’artisan doit donc produire au minimum $100$ litres de sorbet.
2. a. $\displaystyle \int_1^3 f(x)\text{d}x = \int_1^3 (10x^2 – 20x\text{ln }x)\text{d}x = \int_1^3 10x^2\text{d}x – \int_1^3 20x\text{ln }x\text{d}x$.
   Par conséquent $\displaystyle \int_1^3 f(x)\text{d}x =\left[\dfrac{10}{3}x^3\right]_1^3 – 90\text{ln }3 + 40 = 90 – \dfrac{10}{3} – 90\text{ln }3 + 40$
   Finalement $\displaystyle \int_1^3 f(x)\text{d}x =\dfrac{380}{3} – 90\text{ln }3$.
   b. La valeur moyenne est $V =\displaystyle \dfrac{1}{3 – 1} \int_1^3 f(x)\text{d}x =\dfrac{190}{3} – 45\text{ln }3$.
   Cela coûtera donc en moyenne pour l’entreprise environ $1390$ €.

Partie B

1. $B'(x) = 2\times 10x + 10 + 20\text{ln }x + 20x\times \dfrac{1}{x} =  -20x + 10 + 20\text{ln }x + 20 = -20x + 20\text{ln } x + 30$.
2. a. La fonction B’ est continue et strictement décroissante sur $[1;3]$.
   De plus $B'(1) = 10 > 0$ et $B'(3) \simeq -8,03 < 0$.
   Par conséquent, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $B'(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$ et $\alpha \simeq 2,35$.
   b. Cela signifie donc que $B'(x) > 0$ sur $[1;\alpha[$, $B(\alpha) = 0$ et que $B'(x) <0$ sur $]\alpha;3]$.
   
3. $B(\alpha) \simeq B(2,35) \simeq 8,43$. Or $B(\alpha)$ est le maximum de la fonction $B$.
   Par conséquent l’artisan ne pourra réaliser que $843$ euros de bénéfice.
   Il ne peut donc pas continuer ainsi s’il souhaite un bénéfice d’au moins $850$ euros.