Exercice 1

1. $S$ est la somme des $31$ premiers termes de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0=1$ et de raison $2$.
   Donc $S=1\times \dfrac{1-2^{31}}{1-2}=2^{31}-1$
   Réponse a
   $\quad$
2. $f'(0)=0$ car la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $0$ est horizontale.
   $f'(-3)$ est le coefficient directeur de la tangente à  la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $-3$. Cette droite passe par les points de coordonnées $(0;0)$ et $(-3;3)$.
   Donc $f'(-3)=\dfrac{3-0}{-3-0}=-1$
   Réponse c
   $\quad$
3. $f(x)=\dfrac{\e^x}{x}$
   Donc $f'(x)=\dfrac{x\e^x-\e^x}{x^2}=\dfrac{(x-1)\e^x}{x^2}$
   Réponse c
   $\quad$
4. $\dfrac{e^5\times \e^{-2}}{\e}=\dfrac{\e^{5-2}}{\e}=\dfrac{\e^3}{\e}=\e^2$
   Réponse d
   $\quad$
5. Le prix de l’action est donc multiplié par $\left(1+\dfrac{5}{100}\right)^3=1,05^3$
   Réponse b
   $\quad$

Exercice 2

Partie A : l’accord de Kyoto (1997)

1. $559\times \left(1-\dfrac{8}{100}\right) =514,28>486$.
   La France respectait déjà cet engagement en 2011.
   $\quad$
2. On appelle $N$ le nombre de mégatonnes de GES en équivalent CO$_2$ émises par la France en 2010.
   On a donc :
   $\begin{align*}N\times \left(1-\dfrac{5,6}{100}\right)=486 & \ssi 0,944N=486 \\
   &\ssi N=\dfrac{486}{0,944}
   \end{align*}$
   Donc $ N \approx 514,8$
   $\quad$

Partie B : Étude des émissions de gaz à effet de serre d’une zone industrielle

1. On a $u_0=41$
   et $u_1=\left(1-\dfrac{2}{100}\right)\times 41+0,2=40,38$
   $\quad$
2. Chaque année, il y a une réduction de $2\%$.
   Il reste donc $\left(1-\dfrac{2}{100}\right)u_n=0,98u_n$.
   $200$ tonnes soit $0,2$ milliers de tonnes supplémentaires  de GES en équivalent CO$_2$ sont générées.
   Par conséquent $u_{n+1}=0,98u_n+0,2$.
   $\quad$
3. a. On a $v_n=u_n-10$ soit $u_n=v_n+10$.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-10 \\
   &=0,98u_n+0,2-10\\
   &=0,98u_n-9,8\\
   &=0,98\left(v_n+10\right)-9,8\\
   &=0,98v_n+9,8-9,8\\
   &=0,98v_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $v_0=41-10=31$.
   $\quad$
   b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=31\times 0,98^n$
   $\quad$
   c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} u_n&=v_n+10 \\
   &=31\times 0,98^n+10
   \end{align*}$
   $\quad$
4. a. $0<0,98<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,98^n=0$.
   Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=10$.
   $\quad$
   b. Au bout d’un grand nombre d’année cette zone industrielle émettra $10$ milliers de tonnes de CO$_2$.
   $\quad$
5. a. Ligne 7 : Tant que $U>20,5$ faire
   Ligne 9 : $U$ prend la valeur $0,98\times U+0,2$
   $\quad$
   b. Cela signifie qu’il faudra attendre $54$ années avant que cette zone industrielle ait réduit au moins de moitié ses émissions de CO$_2$ par rapport à l’année 2005.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A

1. a. $f$ est dérivable sur $[0;4]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $f'(x)=3\e^{-x}+(3x-4)\left(-\e^{-x}\right) = \left((3-(3x-4)\right)\e^{-x}=(7-3x)\e^{-x}$.
   $\quad$
   b. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $7-3x$.
   Or $7-3x>0 \ssi \dfrac{7}{3} > x$.
   $7-3x=0\ssi 7=3x \ssi x=\dfrac{7}{3}$
   On obtient, par conséquent, le tableau de variations suivant :
   
2. a. Sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{7}{3}\right]$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante.
   $f(0)=-2<0$ et $f\left(\dfrac{7}{3}\right) \approx 2,291 > 0$. $0$ appartient à $[-2;2,291]$.
   D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{7}{3}\right]$.
   Sur l’intervalle $\left[\dfrac{7}{3};4\right]$, on a $f(x) \pg f(4) > 0$.
   Donc l’équation $f(x)=0$ ne possède pas de solution sur cet intervalle.
   En conclusion, l’équation $f(x)=0$ possède exactement une solution sur l’intervalle $[0;4]$.
   $\quad$
   b. A l’aide de la calculatrice, on trouve que $0,36<\alpha<0,37$.
   $\quad$
   c. D’après les questions précédentes on a le tableau de signes suivant :
   

Partie B

1. On sait que $f(x) >0 \ssi x>\alpha$.
   Il faut donc que l’artisan produise et vende au moins $37$ jouets pour que son bénéfice soit positif.
   $\quad$
2. La fonction $f$ atteint son maximum en $\dfrac{7}{3}\approx 2,33$.
   $f(2,33) \approx 2,291$.
   L’artisan doit donc produire et vendre $233$ jouets pour réaliser un bénéfice maximum de $2~291$ euros.
   $\quad$

Partie C

1. $F$ est dérivable sur $[0;4]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $F'(x)=-3\e^{-x}-(1-3x)\e^{-2x}+2=(-3-1+3x)\e^{-x}+2=f(x)$.
   La dérivée de $F$ est donc bien $f$ sur l’intervalle $[0;4]$.
   $\quad$
2. D’après le tableau de signe, la fonction $F$ est donc décroissante sur l’intervalle $[0;\alpha]$ et croissante sur l’intervalle $[\alpha;4]$.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A

1. Le coût de production pour $450$ objets est de $24~000$ €
   $~$
2. On produit environ $640$ objets pour un coût total de $60~000$ €.
   $~$
3. a. $C'(x)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $x$.
   $C'(4,5) = 0$ (la tangente est horizontale). Le coût marginal pour une production de $450$ objets est donc de $0$ €
   $C'(6) = \dfrac{600-100}{7-5} = 250$. Le coût marginal pour une production de $600$ objets est donc de $25~000$ €.
   $~$
   b. Sur $[0;4,5]$ le coût marginal décroit mais il croît sur $[4,5;7]$. L’affirmation est donc fausse.
   $~$

Partie B

1. On a donc $r(x)=75x$. $r$ est une fonction linéaire. Sa représentation graphique passe donc par l’origine du repère.
   $r(7)= 525$. La droite passe donc par le point de coordonnées $(7;525)$.
   $~$
2. a. On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles la droite se trouve au-dessus de la courbe.
   La fourchette de rentabilité est donc pour une production comprise entre $280$ et $620$ objets.
   $~$
   b. L’écart entre la droite et la courbe est plus important pour $500$ objets que pour $600$ objets. Il est donc préférable de fabriquer $500$ objets plutôt que $600$ objets.

Exercice 4

Partie A

1. $\quad$
   $\begin{align*} P&=H \times C \\\\
   & = \begin{pmatrix} 8&10&14 \\6&6&10 \\12&10&18 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 25\\20\\15\end{pmatrix} \\\\
   &= \begin{pmatrix} 8 \times 25 + 10 \times 20 + 14 \times 15 \\6 \times 25 + 6 \times 20 + 10 \times 15 \\ 12 \times 25 + 10 \times 20 + 18 \times 15 \end{pmatrix} \\\\
   &=\begin{pmatrix} 610\\420\\770\end{pmatrix}
   \end{align*}$
   $\quad$
2. Les coefficients de la matrice $P$ correspondent aux coûts de production des différents modèles de planches de surf.
   $\quad$
3. $Q=\begin{pmatrix}32\\12\\40\end{pmatrix}$
   $\quad$
4. Les coefficients de $Q$ correspondent au nombre total d’heures nécessaires pour la conception de chacun des modèles.
   $\quad$
5. On appelle $a$, $b$ et $c$ les coûts horaires des postes $1$, $2$ et $3$.
   Ainsi  :
   – pour le modèle $1$ le coût est $8a+10b+14c$;
   – pour le modèle $2$ le coût est $6a+6b+10c$;
   – pour le modèle $3$ le coût est $12a+10b+18c$.
   On veut donc que :
   $\begin{cases} 8a+10b+14c=500 \\
   6a+6b+10c=350 \\
   12a+10b+18c=650
   \end{cases}$
   $\quad$
6. Ainsi les réels $a$, $b$ et $c$ doivent être solutions du système $H \times \begin{pmatrix} a \\b\\c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 500\\350\\650 \end{pmatrix}$.
   Donc $A=H$ et $B=\begin{pmatrix} 500\\350\\650 \end{pmatrix}$.
   $\quad$
7. On a ainsi $\begin{pmatrix} a \\b\\c \end{pmatrix} =H^{-1} \times \begin{pmatrix} 500\\350\\650 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 \\12,5 \\12,5 \end{pmatrix}$.
   Donc $a=25$, $b= 12,5$ et $c=12,5$
   $\quad$

Exercice 1    5 points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

1. La somme $S=1+2+2^2+2^3+\ldots+2^{30}$ est égale à :
   a. $-1+2^{31}$
   $\quad$
   b. $1-2^{31}$
   $\quad$
   c. $-1+2^{30}$
   $\quad$
   d. $1-2^{30}$
   $\quad$
2. La représentation graphique d’une fonction f définie et dérivable sur $\R$ est tracée ci-dessous ainsi que les tangentes respectives aux points d’abscisses $-3$ et $0$.
   
   a. $f'(0)=-1$
   $\quad$
   b. $f'(-1)=0$
   $\quad$
   c. $f'(-3)=-1$
   $\quad$
   d. $f'(-3)=3$
   $\quad$
3. L’expression de la fonction dérivée de $f(x)=\dfrac{\e^x}{x}$ est :
   a. $\dfrac{\e^x}{x^2}$
   $\quad$
   b. $\dfrac{\e^x-1}{x^2}$
   $\quad$
   c. $\dfrac{(x-1)\e^x}{x^2}$
   $\quad$
   d. $\dfrac{x\e^x-1}{x^2}$
   $\quad$
4. L’expression $\dfrac{\e^5\times \e^2}{\e}$ est égale à :
   a. $\e^3-\e$
   $\quad$
   b. $\dfrac{\e^{-10}}{\e}$
   $\quad$
   c. $\e^{10}$
   $\quad$
   d. $\e^2$
   $\quad$
5. Le prix d’une action augmente chaque mois de $5\%$ pendant $3$ mois consécutif. Après les $3$ mois, elle sera multipliée par :
   a. $1,15$
   $\quad$
   b. $1,05^3$
   $\quad$
   c. $1,45$
   $\quad$
   d. $3\times 1,05$
   $\quad$

Exercice 2    5 points

Partie A : L’accord de Kyoto (1997)

Le principal gaz à effet de serre (GES) est le dioxyde de carbone, noté CO$_2$. En 2011, la France a émis $486$ mégatonnes de GES en équivalent CO$_2$ contre $559$ mégatonnes en 1990.

1. Dans l’accord de Kyoto, la France s’est engagée à réduire ses GES de $8\%$ entre 1990 et 2012.
   Peut-on dire qu’en 2011 la France respectait déjà cet engagement ? Justifier la réponse.
   $\quad$
2. Sachant que les émissions de 2011 ont marqué une baisse de $5,6\%$ par rapport à 2010, calculer le nombre de mégatonnes en équivalent CO$_2$ émises par la France en 2010.
   Arrondir le résultat à $0,1$.
   $\quad$

Partie B : Étude des émissions de gaz à effet de serre d’une zone industrielle.

Un plan de réduction des émissions de gaz à effet de serre (GES) a été mis en place dans une zone industrielle. On estime que, pour les entreprises déjà installées sur le site, les mesures de ce plan conduisent à une réduction des émissions de $2\%$ d’une année sur l’autre et que, chaque année, les
implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent 200 tonnes de GES en équivalent CO$_2$.
En 2005, cette zone industrielle a émis $41$ milliers de tonnes de CO$_2$
au total. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de milliers de tonnes de CO$_2$ émis dans cette zone industrielle au cours de l’année 2005$+n$.

1. Déterminer $u_0$ et $u_1$
   $\quad$
2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=0,98\times u_n+0,2$.
   $\quad$
3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=u_n-10$.
   a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,98$. Préciser son premier terme.
   $\quad$
   b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
   $\quad$
   c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=31\times \left(0,98\right)^n+10$.
   $\quad$
4. a. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
   b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$
5. À l’aide de l’algorithme ci-dessous, on se propose de déterminer l’année à partir de laquelle la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO$_2$, par rapport à l’année 2005.
   a. Recopier et compléter les lignes $7$ et $9$ de l’algorithme.
   $\begin{array}{|ll|}
   \hline
   1& \textbf{Variables}\\
   2&\quad U \text{ est du type nombre}\\
   3&\quad n \text{ est du type nombre entier}\\
   4& \textbf{Début Algorithme}\\
   5&\quad U \text{ prend la valeur } 41\\
   6&\quad n \text{ prend la valeur } 0\\
   7&\quad \text{Tant que } (\ldots \ldots ) \text{ faire}\\
   8&\qquad \text{Début Tant que}\\
   9&\qquad U \text{ prend la valeur } \ldots\\
   10&\qquad n \text{ prend la valeur } n+1\\
   11&\quad \text{Fin Tant que}\\
   12&\quad \text{Afficher } n\\
   13& \textbf{Fin Algorithme}\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. L’algorithme affiche $54$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

Exercice 3     5 points

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;4]$ par $f(x)=(3x-4)\e^{-x}+2$.
On donne ci-dessous la courbe $\mathscr{C}$ représentative de cette fonction.

Aucune justification graphique ne sera acceptée.

Partie A :

1. On désigne par $f’$ la dérivée de la fonction $f$.
   a. Montrer qu’on a, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[0;4]$, $f'(x)=(7-3x)\e^{-x}$.
   $\quad$
   b. Étudier le signe de $f’$ sur l’intervalle $[0;4]$ puis dresser le tableau de variation de $f$ sur cet intervalle.
   Toutes les valeurs du tableaux seront données à $10^{-3}$ près.
   $\quad$
2. a. Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;4]$.
   $\quad$
   b. Donner, à l’aide de la calculatrice, un encadrement de $\alpha$ à $0,01$ près.
   $\quad$
   c. En déduire le tableau de signes de $f$ sur l’intervalle $[0;4]$.
   $\quad$

Les parties B et C sont indépendantes l’une de l’autre mais elles sont toutes les deux en lien avec la partie A.

Partie B

La fonction $f$ ci-dessus modélise en réalité les bénéfices réalisés par un artisan qui produit et vend de petits jouets en bois. (On suppose que tous les jouets produits sont vendus).
Pour $x$ centaines de jouets, le bénéfice est de $f(x)$ milliers d’euros.
En vous servant de la partie A, répondre aux questions suivantes :

1. Combien de jouets au minimum l’artisan doit-il produire et vendre pour que son bénéfice soit positif?
   $\quad$
2. Combien de jouets doit-il produire et vendre pour avoir un bénéfice maximum? Quel est alors ce bénéfice? (Arrondir à l’euro près).
   $\quad$

Partie C

On considère la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;4]$ par $F(x)=(1-3x)\e^{-x}+2x$.

1. Montrer que $F$ a pour dérivée $f$ sur l’intervalle $[0;4]$.
   $\quad$
2. En déduire les variations de $F$ sur l’intervalle $[0;4]$.
   $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats de L et candidats de ES n’ayant pas choisi la spécialité mathématiques

Une entreprise fabrique chaque jour des objets. Cette production ne peut dépasser $700$ objets par jour. On modélise le coût total de production par une fonction $C$. Lorsque $x$ désigne le nombre d’objets fabriqués, exprimé en centaines,$C(x )$ , le coût total correspondant, est exprimé en
centaines d’euros. La courbe représentative de la fonction $C$ est donnée ci-dessous.

Partie A 

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes en arrondissant au mieux. On laissera apparents les traits de construction sur la figure ci-dessus.

1. Quel est le coût total de production pour $450$ objets ?
   $\quad$
2. Combien d’objets sont produits pour un coût total de $60~000$ euros ?
   $\quad$
3. On considère que le coût marginal est donné par la fonction $C’$ dérivée de la fonction $C$.
   a. Estimer le coût marginal pour une production de $450$ objets puis $600$ objets.
   $\quad$
   b. Que pensez-vous de l’affirmation : « le coût marginal est croissant sur l’intervalle $[0 ;7]$ » ?
   $\quad$

Partie B :

Le prix de vente de chacun de ces objets est $75$ euros.

1. On note $r$ la fonction « recette ». Pour tout nombre réel $x$ dans l’intervalle $[0 ;7]$ , $r(x)$ est le prix de vente, en centaines d’euros, de $x$ centaines d’objets. Représenter la fonction $r$ dans le repère ci-dessus.
   $\quad$
2. En utilisant les représentations graphiques ci-dessus, répondre aux questions qui suivent.
   a. En supposant que tous les objets produits sont vendus, quelle est, pour l’entreprise, la fourchette maximale de rentabilité ? Justifier la réponse.
   $\quad$
   b. Que penser de l’affirmation : « il est préférable pour l’entreprise de fabriquer $500$ objets plutôt que $600$ objets » ?
   $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats de ES ayant choisi la spécialité mathématiques

Un constructeur de planches de surf fabrique 3 modèles. La conception de chaque modèle nécessite le passage par 3 postes de travail. Le tableau 1 indique le nombre d’heures nécessaire par modèle et par poste pour réaliser les planches et le tableau 2 indique le coût horaire par poste de travail.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Tableau }1&\text{Poste }1&\text{Poste }2&\text{Poste }3\\
\hline
\text{Modèle }1&8\text{ h}&10\text{ h}&14\text{ h} \\
\hline
\text{Modèle }2&6\text{ h}&6\text{ h}&10\text{ h} \\
\hline
\text{Modèle }3&12\text{ h}&10\text{ h}&17\text{ h} \\
\hline
\end{array}$

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Tableau }2&\\
\hline
\text{Poste 1}&25 \text{€/h}\\
\hline
\text{Poste 2}&20 \text{€/h}\\
\hline
\text{Poste 3}&15 \text{€/h}\\
\hline
\end{array}$

Soit $H$ et $C$ les deux matrices suivantes : $H=\begin{pmatrix}8&10&14\\6&6&10\\12&10&18\end{pmatrix}$ et $C=\begin{pmatrix}25\\20\\15\end{pmatrix}$

1. Donner la matrice produit $P=H\times C$.
   $\quad$
2. Que représente les coefficients de la matrice $P$?
   $\quad$
3. Donner la matrice produit $Q=H\times \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.
   $\quad$
4. Que représente les coefficients de la matrice Q?
   $\quad$
5. Après une étude de marché, le fabricant souhaite que les prix de revient par modèle soient les suivants :
   Modèle 1 : $500$ € ; Modèle 2 : $350$ € ; Modèle 3: $650$ €. Il cherche à déterminer les nouveaux coûts horaires par poste, notés $a$, $b$ et $c$, permettant d’obtenir ces prix de revient. Montrer que les réels $a$, $b$ et $c$ doivent être solution du système$\begin{cases} 8a+10b+14c=500\\6a+6b+10c=350\\12a+10b+18c=650\end{cases}$
   $\quad$
6. On pose $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$. Écrire ce système sous la forme $AX = B$ où $A$ et $B$ sont des matrices
   que l’on précisera.
   $\quad$
7. On admet que la matrice $A$ est inversible. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, le triplet $(a ,b , c)$ solution du système.
   $\quad$