Tle – Exercices – Intégration – QCM

Intégration – QCM

Pour chaque question, donner la (ou les) bonne(s) réponse(s).

  1. Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=2+\dfrac{3}{x}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité $2$ cm.
    L’aire sous la courbe $\mathscr{C}_f$ sur l’intervalle $[1;5]$ est :
    a. $5+\ln(15)-\ln(3)$ unités d’aire
    b. $8+3\ln(5)$ unités d’aire
    c. $51,2$ cm$^2$
    d. $4\ln\left(5^3\e^8\right)$ cm$^2$
    $\quad$
    Correction Question 1

    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;+\infty[$, on a $\dfrac{3}{x}>0$. Donc $f(x)>0$.
    La fonction est continue sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions continues sur cet intervalle.
    Ainsi l’aire sous la courbe $C_f$ sur l’intervalle $[1;5]$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds \int_1^5 f(x)\dx \\
    &=\Big[2x+3\ln(x)\Big]_1^5 \\
    &=10+3\ln(5)-\left(2+3\ln(1)\right) \\
    &=10+3\ln(5)-2\\
    &=8+3\ln(5)\text{ u.a.}\end{align*}$
    Or $1\text{ u.a}=2^2$ cm$^2$
    Donc :
    $\begin{align*}\mathscr{A}&=4\left[8+3\ln(5)\right] \\
    &=4\left(\ln\left(\e^8\right)+\ln\left(5^3\right)\right) \\
    &=4\ln\left(5^3\e^8\right)\text{ cm}^2\end{align*}$
    Réponse b. et c.
    $\quad$

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    $\quad$
  2. On considère un repère orthogonal $(O ; I, J)$ tel que
    $OI = 2$ cm et $OJ = 3$ cm. Alors :
    a. $1$ unité d’aire $= 1$ cm$^2$
    b. $1$ unité d’aire $= 6$ cm$^2$
    c. $1$ unité d’aire $= 6$ cm$^2$
    d. $1$ unité d’aire $= 5$ cm$^2$
    $\quad$
    Correction Question 2

    $1$ unité d’aire $=2\times 3$ cm$^2$
    donc $1$ unité d’aire $=6$ cm$^2$
    Réponse c
    $\quad$

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    $\quad$
  3. Une primitive de la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par : $f(x) = 1-2\ln(x)$ est :
    a. $F(x)=3x-2x\ln(x)$
    b. $F(x)=x\left(3-\ln(x)\right)$
    c. $F(x)=-\dfrac{2}{x}$
    d. $F(x)=x-\dfrac{2}{x}$
    $\quad$
    Correction Question 3

    Les réponses c. et d. ne peuvent pas convenir puisque la fonction dérivée de la fonction inverse n’est pas la fonction $\ln$.
    Dérivons maintenant les expressions des réponses a. et b.
    On considère la fonction $F$ définie sur $]0;+\infty[$ par $F(x)=3x-2x\ln(x)$.
    La fonction $F$ est dérivable en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
    $\begin{align*} F'(x)&=3-2\ln(x)-2x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=3-2\ln(x)-2 \\
    &=1-2\ln(x)\\
    &=f(x)\end{align*}$
    Donc $F$ est une primitive de la fonction $f$.
    $\quad$
    On considère la fonction $G$ définie sur $]0;+\infty[$ par $G(x)=x\left(3-\ln(x)\right)$.
    La fonction $G$ est dérivable en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
    $\begin{align*} G'(x)&=1\times \left(3-\ln(x)\right)+x\times \dfrac{-1}{x} \\
    &=3-\ln(x)-1\\
    &=2-\ln(x)\end{align*}$
    Donc $G$ n’est pas une primitive de $f$.
    Réponse a
    $\quad$

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    $\quad$


$\quad$

  1. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x\e^{x^2}$.
    Alors $\ds \int_{-3}^3 f'(x)\dx=$ :
    a. $6\e^9-6^{-9}$
    b. $0$
    c. $12\e^9$
    d. $2\e^9$
    $\quad$
    Correction Question 4

    On a :
    $\begin{align*} \ds \int_{-3}^3 f'(x)\dx&= f(3)-f(-3) \\
    &=6\e^9-\left(-6\e^{9}\right) \\
    &=12\e^9\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$

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    $\quad$
  2. La valeur moyenne sur $[-2;1]$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=3x^2$ est :
    a. $9$
    b. $3$
    c. $-7$
    d. $-\dfrac{7}{3}$
    $\quad$
    Correction Question 5

    La valeur moyenne cherchée est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1-(-2)}\ds \int_{-2}^1 3x^2\dx \\
    &=\dfrac{1}{3}\Big[x^3\Big]_{-2}^1 \\
    &=\dfrac{1^3-(-2)^3}{3} \\
    &=\dfrac{1+8}{3} \\
    &=3\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$

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    $\quad$
  3. Soient $f$ et $g$ les fonction définies sur $\R$ par : $f(x)=x^2+8x-7$ et $g(x)=-x^2+2x+13$.
    L’aire du domaine situé entre $C_f$ et $C_g$ sur $[-5;2]$ est :
    a. $\ds \int_{-5}^2\left(f(x)-g(x)\right)\dx$
    b. $\ds \int_{-5}^2\left(g(x)-f(x)\right)\dx$
    c. $\dfrac{77}{3}$
    d. $\dfrac{343}{7}$
    $\quad$
    Correction Question 6

    $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[-5;2]$ donc $f-g$ et $g-f$ le sont aussi.
    Il faut déterminer le signe de $f(x)-g(x)$ sur $[-5;2]$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f(x)-g(x)&=x^2+8x-7-\left(-x^2+2x+13\right) \\
    &=x^2+8x-7+x^2-2x-13\\
    &=2x^2+6x-20 \\
    &=2\left(x^2+3x-10\right)\\
    &=2(x-2)(x+5)\end{align*}$
    $f(x)-g(x)$ est un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=2>0$ et les racines sont $2$ et $-5$.
    Par conséquent $f(x)-g(x)\pp 0$ sur $[-5;2]$.
    Ainsi l’aire du domaine situé entre $C_f$ et $C_g$ sur $[-5;2]$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds \int_{-5}^2 \left(g(x)-f(x)\right)\dx \\
    &=\int_{-5}^2\left(-2x^2-6x+20\right) \dx \\
    &=\left[-\dfrac{2}{3}x^3-3x^2+20x\right]_{-5}^2 \\
    &=-\dfrac{16}{3}-12+40-\left(\dfrac{250}{3}-75-100\right) \\
    &=-\dfrac{266}{3}+203\\
    &=\dfrac{343}{3}\end{align*}$
    Réponse b. et c.
    $\quad$

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    $\quad$
  4. Les primitives sur $\R$ de $x\mapsto \e^{-0,2x}$ sont :
    a. $x\mapsto \dfrac{1}{-0,2}\e^{-0,2x}$
    b. $x\mapsto -5\e^{-0,2x}+k$ avec $k$ réel
    c. $x\mapsto -0,2\e^{-0,2x}$
    d. $x\mapsto -0,2\e^{-0,2x}+k$ avec $k$ réel
    $\quad$
    Correction Question 7

    Les primitives sur $\R$ de $x\mapsto \e^{-0,2x}$ sont de la forme $x\mapsto \dfrac{1}{-0,2}\e^{-0,2x}+k$ avec $k$ réel.
    Si $k=0$ alors on obtient la fonction définie sur $\R$ $x\mapsto \dfrac{1}{-0,2}\e^{-0,2x}$
    De plus on a $\dfrac{1}{-0,2}=-5$.
    Ainsi les primitives sur $\R$ de $x\mapsto \e^{-0,2x}$ sont de la forme $x\mapsto -5\e^{-0,2x}+k$ avec $k$ réel.
    Réponse a. et b.
    $\quad$

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    $\quad$
  5. Une primitive sur $\R$ de $x\mapsto 3(x-2)(x+5)$ est :
    a. $x\mapsto 6x\left(\dfrac{x^2}{2}-2x\right)\left(\dfrac{x^2}{2}+5x\right)$
    b. $x\mapsto 6x+9$
    c. $x\mapsto x^3+\dfrac{9}{2}x^2-30x+7$
    d. $x\mapsto x\left(x^2+\dfrac{9}{2}x-30\right)$
    $\quad$
    Correction Question 8

    On note $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=3(x-2)(x+5)$.
    Ainsi
    $\begin{align*}f(x)&=3\left(x^2+3x-10\right) \\
    &=3x^2+9x-30\end{align*}$
    La fonction $f$ est continue sur $\R$ en tant que polynôme.
    Les primitives de la fonction $f$ sont donc les fonctions $F$ définies par $F(x)=x^3+\dfrac{9}{2}x^2-30x+k$ où $k$ est un réel.
    Si on développe l’expression a. on obtient un polynôme de degré $5$. Cette réponse ne convient donc pas.
    Si on développe l’expression d. on obtient $x^2+\dfrac{9}{2}x^2-30x$.
    Réponse c. et d.
    $\quad$

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    $\quad$
  6. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=1-x\e^{-x^2/2}$.
    La valeur moyenne de $f$ sur $[-2;0]$ est :
    a. $\dfrac{3-\e^{-2}}{2}$
    b. $\dfrac{-3+\e^{-2}}{2}$
    c. $3+\e^{-2}$
    d. $1,43$
    $\quad$
    Correction Question 9

    La valeur moyenne de $f$ sur $[-2;0]$ est :
    $\begin{align*} m&=\ds \dfrac{1}{0-(-2)}\int_{-2}^0 f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{2}\left[x+\e^{-x^2/2}\right]_{-2}^0 \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(1-\left(-2+\e^{-2}\right)\right) \\
    &=\dfrac{3-\e^{-2}}{2}\end{align*}$
    Réponse a.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Une primitive de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{2x^2-x+3}{x}$ est :
    a. $F(x)=\dfrac{\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+3x}{\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{8}{3}}$
    b. $F(x)=-\dfrac{3}{x^2}$
    c. $F(x)=2x-1$
    d. $F(x)=x^2-x+3\ln(x)+1$
    $\quad$
    Correction Question 10

    Pour tout réel $x$ appartenant à $]0;+\infty[$ on a :
    $\begin{align*} f(x)&=\dfrac{2x^2-x+3}{x} \\
    &=2x-1+\dfrac{3}{x}\end{align*}$
    Ainsi les primitives de la fonction $f$ sont définies par $F(x)=x^2-x+3\ln(x)+k$ où $k$ est un réel.
    Réponse d.
    $\quad$

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    $\quad$
  8. Le nombre $\ds \int_1^4\left(2x-1+\dfrac{3}{x}\right)\dx$ est égal à :
    a. $6\ln(2)+12$
    b. $\ln(2)+2$
    c. $-6\ln(2)-12$
    d. $\ln(2)-72$
    $\quad$
    Correction Question 11

    On a :
    $\begin{align*} I&=\ds \int_1^4\left(2x-1+\dfrac{3}{x}\right)\dx \\
    &=\left[x^2-x+3\ln(x)\right]_1^4 \\
    &=16-4+3\ln(4)-\left(1^2-1+3\ln(1)\right) \\
    &=12+3\ln(4)\\
    &=12+3\ln\left(2^2\right) \\
    &=12+6\ln(2)\end{align*}$
    Réponse a.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$