Intégration – QCM

Pour chaque question, donner la (ou les) bonne(s) réponse(s).

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=2+\dfrac{3}{x}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité $2$ cm.
L’aire sous la courbe $\mathscr{C}_f$ sur l’intervalle $[1;5]$ est :
a. $5+\ln(15)-\ln(3)$ unités d’aire
b. $8+3\ln(5)$ unités d’aire
c. $51,2$ cm$^2$
d. $4\ln\left(5^3\e^8\right)$ cm$^2$
$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;+\infty[$, on a $\dfrac{3}{x}>0$. Donc $f(x)>0$.
La fonction est continue sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions continues sur cet intervalle.
Ainsi l’aire sous la courbe $C_f$ sur l’intervalle $[1;5]$ est :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds \int_1^5 f(x)\dx \\
&=\Big[2x+3\ln(x)\Big]_1^5 \\
&=10+3\ln(5)-\left(2+3\ln(1)\right) \\
&=10+3\ln(5)-2\\
&=8+3\ln(5)\text{ u.a.}\end{align*}$
Or $1\text{ u.a}=2^2$ cm$^2$
Donc :
$\begin{align*}\mathscr{A}&=4\left[8+3\ln(5)\right] \\
&=4\left(\ln\left(\e^8\right)+\ln\left(5^3\right)\right) \\
&=4\ln\left(5^3\e^8\right)\text{ cm}^2\end{align*}$
Réponse b. et c.
$\quad$

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$\quad$
On considère un repère orthogonal $(O ; I, J)$ tel que
$OI = 2$ cm et $OJ = 3$ cm. Alors :
a. $1$ unité d’aire $= 1$ cm$^2$
b. $1$ unité d’aire $= 9$ cm$^2$
c. $1$ unité d’aire $= 6$ cm$^2$
d. $1$ unité d’aire $= 5$ cm$^2$
$\quad$

Correction Question 2

$1$ unité d’aire $=2\times 3$ cm$^2$
donc $1$ unité d’aire $=6$ cm$^2$
Réponse c
$\quad$

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$\quad$
Une primitive de la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par : $f(x) = 1-2\ln(x)$ est :
a. $F(x)=3x-2x\ln(x)$
b. $F(x)=x\left(3-\ln(x)\right)$
c. $F(x)=-\dfrac{2}{x}$
d. $F(x)=x-\dfrac{2}{x}$
$\quad$

Correction Question 3

Les réponses c. et d. ne peuvent pas convenir puisque la fonction dérivée de la fonction inverse n’est pas la fonction $\ln$.
Dérivons maintenant les expressions des réponses a. et b.
On considère la fonction $F$ définie sur $]0;+\infty[$ par $F(x)=3x-2x\ln(x)$.
La fonction $F$ est dérivable en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
$\begin{align*} F'(x)&=3-2\ln(x)-2x\times \dfrac{1}{x} \\
&=3-2\ln(x)-2 \\
&=1-2\ln(x)\\
&=f(x)\end{align*}$
Donc $F$ est une primitive de la fonction $f$.
$\quad$
On considère la fonction $G$ définie sur $]0;+\infty[$ par $G(x)=x\left(3-\ln(x)\right)$.
La fonction $G$ est dérivable en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
$\begin{align*} G'(x)&=1\times \left(3-\ln(x)\right)+x\times \dfrac{-1}{x} \\
&=3-\ln(x)-1\\
&=2-\ln(x)\end{align*}$
Donc $G$ n’est pas une primitive de $f$.
Réponse a
$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x\e^{x^2}$.
Alors $\ds \int_{-3}^3 f'(x)\dx=$ :
a. $6\e^9-6^{-9}$
b. $0$
c. $12\e^9$
d. $2\e^9$
$\quad$

Correction Question 4

On a :
$\begin{align*} \ds \int_{-3}^3 f'(x)\dx&= f(3)-f(-3) \\
&=6\e^9-\left(-6\e^{9}\right) \\
&=12\e^9\end{align*}$
Réponse c
$\quad$

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$\quad$
La valeur moyenne sur $[-2;1]$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=3x^2$ est :
a. $9$
b. $3$
c. $-7$
d. $-\dfrac{7}{3}$
$\quad$

Correction Question 5

La valeur moyenne cherchée est :
$\begin{align*} m&=\dfrac{1-(-2)}\ds \int_{-2}^1 3x^2\dx \\
&=\dfrac{1}{3}\Big[x^3\Big]_{-2}^1 \\
&=\dfrac{1^3-(-2)^3}{3} \\
&=\dfrac{1+8}{3} \\
&=3\end{align*}$
Réponse b
$\quad$

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$\quad$
Soient $f$ et $g$ les fonction définies sur $\R$ par : $f(x)=x^2+8x-7$ et $g(x)=-x^2+2x+13$.
L’aire du domaine situé entre $C_f$ et $C_g$ sur $[-5;2]$ est :
a. $\ds \int_{-5}^2\left(f(x)-g(x)\right)\dx$
b. $\ds \int_{-5}^2\left(g(x)-f(x)\right)\dx$
c. $\dfrac{77}{3}$
d. $\dfrac{343}{7}$
$\quad$

Correction Question 6

$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[-5;2]$ donc $f-g$ et $g-f$ le sont aussi.
Il faut déterminer le signe de $f(x)-g(x)$ sur $[-5;2]$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(x)-g(x)&=x^2+8x-7-\left(-x^2+2x+13\right) \\
&=x^2+8x-7+x^2-2x-13\\
&=2x^2+6x-20 \\
&=2\left(x^2+3x-10\right)\\
&=2(x-2)(x+5)\end{align*}$
$f(x)-g(x)$ est un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=2>0$ et les racines sont $2$ et $-5$.
Par conséquent $f(x)-g(x)\pp 0$ sur $[-5;2]$.
Ainsi l’aire du domaine situé entre $C_f$ et $C_g$ sur $[-5;2]$ est :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds \int_{-5}^2 \left(g(x)-f(x)\right)\dx \\
&=\int_{-5}^2\left(-2x^2-6x+20\right) \dx \\
&=\left[-\dfrac{2}{3}x^3-3x^2+20x\right]_{-5}^2 \\
&=-\dfrac{16}{3}-12+40-\left(\dfrac{250}{3}-75-100\right) \\
&=-\dfrac{266}{3}+203\\
&=\dfrac{343}{3}\end{align*}$
Réponse b. et c.
$\quad$

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$\quad$
Les primitives sur $\R$ de $x\mapsto \e^{-0,2x}$ sont :
a. $x\mapsto \dfrac{1}{-0,2}\e^{-0,2x}$
b. $x\mapsto -5\e^{-0,2x}+k$ avec $k$ réel
c. $x\mapsto -0,2\e^{-0,2x}$
d. $x\mapsto -0,2\e^{-0,2x}+k$ avec $k$ réel
$\quad$

Correction Question 7

Les primitives sur $\R$ de $x\mapsto \e^{-0,2x}$ sont de la forme $x\mapsto \dfrac{1}{-0,2}\e^{-0,2x}+k$ avec $k$ réel.
Si $k=0$ alors on obtient la fonction définie sur $\R$ $x\mapsto \dfrac{1}{-0,2}\e^{-0,2x}$
De plus on a $\dfrac{1}{-0,2}=-5$.
Ainsi les primitives sur $\R$ de $x\mapsto \e^{-0,2x}$ sont de la forme $x\mapsto -5\e^{-0,2x}+k$ avec $k$ réel.
Réponse a. et b.
$\quad$

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$\quad$
Une primitive sur $\R$ de $x\mapsto 3(x-2)(x+5)$ est :
a. $x\mapsto 6x\left(\dfrac{x^2}{2}-2x\right)\left(\dfrac{x^2}{2}+5x\right)$
b. $x\mapsto 6x+9$
c. $x\mapsto x^3+\dfrac{9}{2}x^2-30x+7$
d. $x\mapsto x\left(x^2+\dfrac{9}{2}x-30\right)$
$\quad$

Correction Question 8

On note $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=3(x-2)(x+5)$.
Ainsi
$\begin{align*}f(x)&=3\left(x^2+3x-10\right) \\
&=3x^2+9x-30\end{align*}$
La fonction $f$ est continue sur $\R$ en tant que polynôme.
Les primitives de la fonction $f$ sont donc les fonctions $F$ définies par $F(x)=x^3+\dfrac{9}{2}x^2-30x+k$ où $k$ est un réel.
Si on développe l’expression a. on obtient un polynôme de degré $5$. Cette réponse ne convient donc pas.
Si on développe l’expression d. on obtient $x^2+\dfrac{9}{2}x^2-30x$.
Réponse c. et d.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=1-x\e^{-x^2/2}$.
La valeur moyenne de $f$ sur $[-2;0]$ est :
a. $\dfrac{3-\e^{-2}}{2}$
b. $\dfrac{-3+\e^{-2}}{2}$
c. $3+\e^{-2}$
d. $1,43$
$\quad$

Correction Question 9

La valeur moyenne de $f$ sur $[-2;0]$ est :
$\begin{align*} m&=\ds \dfrac{1}{0-(-2)}\int_{-2}^0 f(x)\dx \\
&=\dfrac{1}{2}\left[x+\e^{-x^2/2}\right]_{-2}^0 \\
&=\dfrac{1}{2}\left(1-\left(-2+\e^{-2}\right)\right) \\
&=\dfrac{3-\e^{-2}}{2}\end{align*}$
Réponse a.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Une primitive de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{2x^2-x+3}{x}$ est :
a. $F(x)=\dfrac{\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+3x}{\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{8}{3}}$
b. $F(x)=-\dfrac{3}{x^2}$
c. $F(x)=2x-1$
d. $F(x)=x^2-x+3\ln(x)+1$
$\quad$

Correction Question 10

Pour tout réel $x$ appartenant à $]0;+\infty[$ on a :
$\begin{align*} f(x)&=\dfrac{2x^2-x+3}{x} \\
&=2x-1+\dfrac{3}{x}\end{align*}$
Ainsi les primitives de la fonction $f$ sont définies par $F(x)=x^2-x+3\ln(x)+k$ où $k$ est un réel.
Réponse d.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le nombre $\ds \int_1^4\left(2x-1+\dfrac{3}{x}\right)\dx$ est égal à :
a. $6\ln(2)+12$
b. $\ln(2)+2$
c. $-6\ln(2)-12$
d. $\ln(2)-72$
$\quad$

Correction Question 11

On a :
$\begin{align*} I&=\ds \int_1^4\left(2x-1+\dfrac{3}{x}\right)\dx \\
&=\left[x^2-x+3\ln(x)\right]_1^4 \\
&=16-4+3\ln(4)-\left(1^2-1+3\ln(1)\right) \\
&=12+3\ln(4)\\
&=12+3\ln\left(2^2\right) \\
&=12+6\ln(2)\end{align*}$
Réponse a.
$\quad$

[collapse]

$\quad$