TS – autour fonction ln – Ex 2

\textbf{Exercice 2}

Correction

1. On ne peut étudier cette équation que sur $I = ]0;+\infty[$.
   On appelle $f_n$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f_n(x) = \ln x – x^n$.
   $f_n$ est dérivable sur $I$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $f_n'(x) = \dfrac{1}{x} – nx^{n-1} = \dfrac{1 – nx^n}{x}$.
   Sur $I$, $f_n'(x)$ est donc du signe de $1 – nx^n$.
   Or, sur $I$, $1- nx^n \ge 0 \Leftrightarrow nx^n \le 1 \Leftrightarrow x^n \le \dfrac{1}{n} \Leftrightarrow x \le \left(\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$.
   On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
   
   $\lim\limits_{x \to 0} \ln x = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to 0} x^n = 0$ donc $\lim\limits_{x \to 0} f_n(x) = -\infty$
   $f_n(x) = x^n \left(\dfrac{\ln x}{x^n} – 1\right)$
   $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f_n(x) = -\infty$
   Et $f_n\left(\left(\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}} \right) = \dfrac{1}{n} \ln \dfrac{1}{n} – \dfrac{1}{n} = -\dfrac{1}{n}(\ln n + 1) < 0$.
   $\quad$
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, l’équation $\ln x = x^n$ ne possède aucune solution.
   $\quad$
2. $\e^x = x^n \Leftrightarrow 1 = x^n \e^{-x}$
   On appelle $f_n$ la fonction définie sur $\R$ par $f_n(x) = x^n \e^{-x}$
   $f_n$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   $f_n'(x) = nx^{n-1}\e^{-x}-x^n\e^{-x} = x^{n-1}\e^{x}(n – x)$.
   Nous allons maintenant examiner les cas où $n$ est pair ou impair.
   Si $\boldsymbol{n}$ est pair
   
   $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^{-x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f_n(x) = +\infty$
   $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e^x}{x^n} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$
   Sur l’intervalle $]-\infty;0]$, la fonction $f_n$ est continue (car dérivable) et strictement croissante.
   Son intervalle image est $[0;+\infty$ et $1 \in [0;+\infty[$.
   D’après le théorème de la bijection, l’équation $f_n(x)=1$ admet une unique solution sur $]-\infty;0]$.
   $\quad$
   Si $n\e^{-1} < 1 $ alors la fonction $f_n$ admet un maximum inférieur à $1$ et l’équation $f_n(x) = 1$ n’admet aucune solution.
   $n\e^{-1} < 1 \Leftrightarrow n < \e$ et $n$ pair $\Leftrightarrow n = 2$.
   Si $n = 2$ l’équation $f_n(x) = 1$ ne possède donc aucune solution sur $[0;+\infty[$.
   Sinon, en appliquant de nouveau le théorème de la bijection sur chacun des intervalles $[0;n]$ et $[n;+\infty[$, l’équation $f_n(x) = 1$ possède $2$ nouvelles solutions.
   $\quad$
   Si $n=2$, l’équation $\e^x = x^n$ ne possède qu’une seule solution sur $\R$.
   Si $n \ge 4$ et $n$ pair, l’équation $\e^x = x^n$ possède 3 solutions sur $\R$.
   $\quad$
   Si $\boldsymbol{n}$ est impair
   
   $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^{-x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f_n(x) = +\infty$
   $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e^x}{x^n} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$
   Si $n\e^{-1} < 1 $ alors la fonction $f_n$ admet un maximum inférieur à $1$ et l’équation $f_n(x) = 1$ n’admet aucune solution.
   $n\e^{-1} < 1 \Leftrightarrow n < \e$ et $n$ impair $\Leftrightarrow n = 1$.
   $\quad$
   Si $n=1$ l’équation $\e^x = x^n$ n’admet aucune solution sur $\R$.
   Si $n \ge 3$ et $n$ impair, en appliquant le théorème de la bijection sur les intervalles $]-\infty;n]$ et $[n;+\infty[$ l’équation $\e^x = x^n$ possède deux solutions sur $\R$.
   $\quad$
3. Puisque $n^2$ et $2^n$ sont positifs, résolvons l’inéquation :
   $\begin{align*} \dfrac{n^2}{2^n} \ge 1 & \Leftrightarrow \ln \dfrac{n^2}{2^n} \ge 0 \\\\
   & \Leftrightarrow 2\ln n – n\ln 2 \ge 0 \\\\
   & \Leftrightarrow \dfrac{\ln n}{n} \ge \dfrac{\ln 2}{2}
   \end{align*}$
   On appelle $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$.
   Cette fonction est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle et dont le dénominateur ne s’annule pas.
   $f'(x) =\dfrac{1 – \ln x}{x^2}$
   On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
   
   Regardons maintenant les premières valeurs de $n$
   $\quad$
   Si $n = 1$, $f(1) = 0 < \dfrac{\ln 2}{2}$ donc $n^2 < 2^n$.
   Si $n = 2$, $f(2) = \dfrac{\ln 2}{2}$ donc $n^2 = 2^n$.
   Si $n = 3$, $f(3) = \dfrac{\ln 3}{3} > \dfrac{\ln 2}{2}$ donc $n^2 > 2^n$.
   Si $n = 4$, $f(4) = \dfrac{\ln 4}{4} = \dfrac{\ln 2}{2}$ donc $n^2 < 2^n$.
   Puisque sur l’intervalle $[\e;+\infty[$ la fonction $f$ est strictement décroissante et que $f(4) = \dfrac{\ln 2}{2}$ alors pour tout $n > 4$, $f(n) < \dfrac{\ln 2}{2}$.
   $\quad$
   Par conséquent, pour tout $n \ge 5$, $n^2 < 2^n$.