TS - Bac Blanc 2014

Exercice 2 5 points

Commun à tous les candidats

Dans une usine, on utilise deux machines A et B pour fabriquer des pièces.

La machine A assure $40 \%$ de la production et la machine B en assure $60 \%$.
On estime que $10\%$ des pièces issues de la machine A ont un défaut et que $9\%$ des pièces issues de la machine B ont un défaut.
On choisit une pièce au hasard et on considère les évènements suivants :
• $A$ : “La pièce est produite par la machine A”
• $B$ : “La pièce est produite par la machine B”
• $D$ : “La pièce a un défaut”.
• $\overline{D}$, l’évènement contraire de l’évènement $D$.
$\quad$
a. Traduire la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
$\quad$
b. Calculer la probabilité que la pièce choisie présente un défaut et ait été fabriquée par la machine A.
$\quad$
c. Démontrer que la probabilité $P(D)$ de l’évènement $D$ est égale à $0,094$.
$\quad$
d. On constate que la pièce choisie a un défaut.
Quelle est la probabilité que cette pièce provienne de la machine A ?
$\quad$
On estime que la machine A est convenablement réglée si $90\%$ des pièces qu’elle fabrique sont conformes.
On décide de contrôler cette machine en examinant $n$ pièces choisies au hasard ($n$ entier naturel) dans la production de la machine A. On assimile ces $n$ tirages à des tirages successifs indépendants et avec remise.
On note $X_{n}$ le nombre de pièces qui sont conformes dans l’échantillon de $n$ pièces.
a. Justifier que la variable aléatoire $X_{n}$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
$\quad$
b. Calculer en fonction de $n$ la probabilité que toutes les pièces soient conformes.
$\quad$
c. Donner la valeur de $n$ à partir de laquelle la probabilité que toutes les pièces soient conformes est inférieure à 0,5.
$\quad$
d. On donne l’algorithme suivant, où “binom($n,k$) correspond au coefficient binomial $\displaystyle \binom{n}{k}$ :
Variables :
$\quad$ $k$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.
$\quad$ $s$ est un nombre réel.
Entrée :
$\quad$ Demander à l’utilisateur la valeur de $n$.
Initialisation :
$\quad$ Affecter à $s$ la valeur $0$.
Traitement :
$\quad$ Pour $k$ allant de $0$ à $n$
$\quad$ $\qquad$ Affecter à $s$ la valeur $s+$ binom$(n,k)\times 0,9^k \times 0,1^{n-k}$.
$\quad$ Fin de boucle.
Sortie :
$\quad$ Afficher $s$.
$\quad$
Modifier cet algorithme pour qu’il affiche la valeur de $m$ à partir de laquelle $P(X \le m) \ge 0,9$.

Correction

a.

b. On cherche donc à calculer $p(A\cap D) = 0,4 \times 0,1 = 0,04$
$\quad$
c. $p(D) = p((A\cap D)\cup(B\cap D))$ \quad Ces 2 évènements forment une partition de $D$.
$\quad$
Par conséquent, d’après la formule des probabilités totales: $$p(D) = p(A\cap D) + p(B \cap D) = 0,04 + 0,6 \times 0,09 = 0,094$$
$\quad$
d. On cherche à calculer $p_D(A) = \dfrac{p(A\cap D)}{p(D)} = \dfrac{0,04}{0,094} = \dfrac{20}{47}$
$\quad$
a. Une pièce possède 2 états : elle a un défaut ou elle n’en a pas. Les $n$ pièces sont choisies au hasard et les tirages sont aléatoires, indépendants et identiques.
Par conséquent la variable aléatoire $X_n$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,9$.
$\quad$
b. Si On cherche la probabilité $\displaystyle P(X=n) = \binom{n}{n}0,9^n = 0,9^n$
$\quad$
c. On cherche donc la valeur de $n$ telle que $0,9^n < 0,5 \Leftrightarrow n\text{ln}~ 0,9 < \text{ln}~ 0,5 $
Or $0 < 0,9 <1$ donc $\ln 0,9 < 0$.

Par conséquent $n\ln 0,9 < \ln 0,5 \Leftrightarrow n > \dfrac{\text{ln}~ 0,5}{\text{ln}~ 0,9} \Leftrightarrow n \ge 7$

La probabilité que toutes les pièces soient conformes est inférieure à 0,5 dès que $n \ge 7$.
$\quad$
d.
Variables :
$\quad$ $k$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.
$\quad$ $s$ est un nombre réel.
Entrée :
$\quad$ Demander à l’utilisateur la valeur de $n$.
Initialisation :
$\quad$ Affecter à $s$ la valeur $0$.
$\quad$ Affecter à $k$ la valeur $0$.
Traitement :
$\quad$ Tant que $s$ < 0,9
$\quad$ $\qquad$ Affecter à $k$ la valeur $k+1$.
$\quad$ $\qquad$ Affecter à $s$ la valeur $s+$ binom$(n,k)\times 0,9^k \times 0,1^{n-k}$.
$\quad$ Fin Tant que.
Sortie :
$\quad$ Afficher $k$.