TS – Bac Blanc 2014 – Ex 4 obligatoire

 Exercice 4           5 points

 Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\Ouv$.

On note $\C$ l’ensemble des nombres complexes.

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

  1.  Proposition : Pour tout entier naturel $n$ : $(1+\ic)^{4n} = (-4)^n$.
    $\quad$
  2. Soit (E) l’équation $(z-4)\left(z^2-4z+8\right)=0$, où $z$ désigne un nombre complexe.
    Proposition : Les points dont les affixes sont les solutions, dans $\C$ de (E) sont les sommets d’un triangle d’aire 8.
    $\quad$
  3. Proposition : Pour tout nombre complexe $z$, $\text{Re} \left(z^2\right) = \left(\text{Re}(z)\right)^2$.
    $\quad$
  4. Proposition : Pour tout nombre complexe $z$, si $|1+\ic z| = [1 – \ic z|$, alors la partie imaginaire de $z$ est nulle.
    $\quad$
  5. Proposition : L’ensemble des solutions dans $\C$ de l’équation $\displaystyle \dfrac{z-2}{z-1} = z$ est $\{1-\ic\}$.

Correction

  1. Proposition vraie
    $|1+\ic| = \sqrt{2}$ et $\text{arg}(1+\ic) = \dfrac{\pi}{4}$. Par conséquent $1+\ic = \sqrt{2}\text{e}^{\ic\dfrac{\pi}{4}}$.
    Donc $(1+\ic)^4 = \sqrt{2}^{~4}\text{e}^{4\ic\dfrac{\pi}{4}} = 4\text{e}^{\ic\pi} = -4$.
    Par conséquent $(1+\ic)^{4n} = (-4)^n$.
    $\quad$
  2. Proposition fausse
    Les solutions de $(z-4)\left(z^2-4z+8 \right) = 0$ sont celles de $z-4=0$ ainsi que de $z^2-4z+8=0$.
    $z-4=0\Leftrightarrow z =4$ Soit A le point d’affixe $4$.
    $z^2-4z+8=0 : \Delta = -16$. Les solutions sont donc $z_1 = \dfrac{4 – 4i}{2} = 2 – 2i$ et $z_2 = 2 + 2i$. Soit B le point d’affixe $2 – 2i$ et C celui d’affixe $2 + 2i$. A est un point de l’axe des réels, médiatrice de [BC]. Le triangle ABC est par conséquent isocèle en A. La hauteur issue de A a donc une longueur de 2. De plus BC = 4.
    L’aire du triangle ABC est donc : $\mathscr{A}_{ABC} = \dfrac{4 \times 2}{2} = 4$.
    $\quad$
  3. Proposition fausse
    Prenons par exemple $z=i$ alors $z^2=-1$. Donc $\text{Re}(z^2) = -1$ alors que $\left(\text{Re}(z)\right)^2 = \left(\text{Re}(\ic)\right)^2 = 0^2 = 0$
    $\quad$
  4. Proposition vraie
    Posons $z=x+\ic y$ alors $|1+\ic z| = |1-y + \ic x| = \sqrt{(1-y)^2 + x^2}$ et $|1-\ic z| = |1+y -\ic x| = \sqrt{(1+y)^2+x^2}$.
    Par conséquent si $|1+\ic z| =|1-\ic z|$ alors, en élevant au carré chacune des racines carrées on obtient :
    $$(1-y)^2+x^2 = (1+y)^2+x^2 \Leftrightarrow 1 -2y+y^2=1+2y+y^2 \Leftrightarrow -y=y \Leftrightarrow y=0$$
    $\quad$
  5. Proposition fausse
    $\dfrac{z-2}{z-1} = z \Leftrightarrow z-2 = z^2 – z\quad ,z \ne 1 \Leftrightarrow z^2 -2z + 2 = 0 \quad ,z\ne 1$
    Calculons le discriminant : $\Delta = (-2)^2 – 8 = -4$. L’équation possède donc 2 solutions :
    $$ z_1=\dfrac{2 – 2\ic}{2} = 1 – \ic \qquad \text{et} \qquad z_2 = 1 + \ic$$.