TS – Bac Blanc 2014 – Ex 4 spécialité

Exercice 4       5 points

 Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. On pose $A= \begin{pmatrix}
    -3&2\\\\
    0&-3\\\\
    \end{pmatrix}$ et $N= \begin{pmatrix} 0&2\\\\ 0&0\\\\\end{pmatrix}$
    a. Exprimer $A$ en fonction de $I$, matrice identité d’ordre 2, et de $N$.
    $\quad$
    b. Déterminer la matrice $N^2$ et en déduire une expression de $A^2$ en fonction de $I$ et de $N$.
    $\quad$
    c. Montrer alors que, pour tout entier naturel, $k$ non nul on a : $A^k =(-3)^kI+k(-3)^{k-1}N$.
    $\quad$
  2. On considère l’équation $\qquad (E) : 23x -26y = 1$ $\quad$ où $x$ et $y$ désignent deux entiers relatifs.
    a. Sans faire de calcul, justifier que cette équation possède au moins une solution.
    $\quad$
    b. Déterminer, à l’aide de l’algorithme d’Euclide, une solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    c. Résoudre alors l’équation $(E)$.
    $\quad$
    d. En déduire un entier $a$ tel que $0 \le a \le 25$ et $23a~ \equiv ~1 ~~\text{mod}(26)$.

Correction

  1. a. On a $A = -3I + N$.
    $\quad$
    b. Montrons que $N^2 = O_2$
    $\begin{array}{c|c}
    & \begin{matrix}
    0&2\\\\
    0&0
    \end{matrix}\\\\
    \hline
    \begin{matrix}
    0&2\\\\
    0&0
    \end{matrix} & \begin{matrix}
    0&0\\\\
    0&0
    \end{matrix}\\\\
    \end{array}$
    Par conséquent $A^2 = \left(-3I+N)\right)^2 = \left(-3I+N)\right) \times \left(-3I+N)\right) = 9I – 3N – 3N + N^2 = 9I – 6N$
    $\quad$
    c. Initialisation : $A^1 = -3I + N$ et $(-3)^1I + 1\times(-3)^0N = -3I + N$.
    La propriété est vraie au rang 1.
    $\quad$
    Hérédité : supposons la propriété vraie au rang $k : A^k = (-3)^kI + k(-3)^{k-1}N$.
    On a alors :
    $$A^{k+1} = A^k \times A = \left((-3)^kI + k(-3)^{k-1}N \right) \times \left(-3I + N \right) = (-3)^{k+1} + (-3)^kN + k(-3)^kN = (-3)^{k+1} + (k+1)(-3)^kN$$
    La propriété est vraie au rang $k+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang 1. En la supposant vraie au rang $k$ elle est encore vraie au rang $k+1$. Par conséquent pour tout entier $k$ non nul, on a $A^k =(-3)^kI + k(-3)^{k-1}N$.
    $\quad$
  2. a. $23$ et $26$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, l’équation $(E)$ possède donc au moins une solution.
    $\quad$
    b. $$26 = 23 + 3 \quad \text{donc} \quad 3 = 26 – 23$$
    $$23 = 7 \times 3 + 2 \quad \text{donc} \quad 2 = 23 – 7\times 3 = 23 – 7 \times 26 + 7 \times 23 = 8 \times 23 – 7\times 26$$
    $$3 = 2 + 1 \quad \text{donc} \quad 1 = 3 – 2 = 26 – 23 – 8 \times 23 + 7 \times 26 = -9 \times 23 + 8 \times 26 = -9\times 23 – (-8)\times 26$$
    Un couple solution de $(E)$ est donc $(-9;-8)$.
    $\quad$
    c. Soit $(x;y)$ un autre couple solution. on a donc :
    $$ \begin{cases} 23 \times(-9) – 26 \times (-8) = 1 \\\\
    23x – 26y = 1
    \end{cases}$$
    Par différence : $23(-9-x) – 26(-8 – y) = 0$ ~~soit~~ $23(-9-x) = 26(-8 – y)$
    $23$ et $26$ sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que $-9-x = 26k$ et $-8 – y=23k$.
    Par conséquent $x=-9-26k$ et $y=-8-23k$.
    Réciproquement : si $x=-9-26k$ et $y=-8-23k$ avec $k \in \Z$ alors :
    $$23(-9-26k)-26(-8-23k) = 23(-9)-26(-8) = 1$$.
    Les solutions de $(E)$ sont donc les couples $(-9-26k;-8-23k)$ pour tout $k\in\Z$.
    $\quad$
    d. Soit $(x,y)$ un couple solution de $(E)$ alors $23x-26y=1$ soit $23x \equiv 1 ~~ \text{mod}(26)$. On cherche donc les valeurs de $k$ telles que $0 \le -9-26k \le 25$ soit $ 9 \le -26k \le 34$ d’où $\dfrac{-34}{26} \le k \le \dfrac{-9}{26}$.
    Par conséquent $k=-1$.
    Donc $a = -9+26 = 17$.