TS - Bac blanc - mathématiques

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l’intervalle $]0~;~ +\infty[$ par

\[f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x}.\]

Étude d’une fonction auxiliaire
a. Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur $[0~;~ +\infty[$ par
\[g(x) = x^2\text{e}^x – 1.\]
Étudier le sens de variation de la fonction $g$.
$\quad$
b. Démontrer qu’il existe un unique réel $a$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$ tel que $g(a) = 0$.
Démontrer que $a$ appartient à l’intervalle $[0,703~;~0,704[$.
$\quad$
c. Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0~;~ +\infty[$.
$\quad$
Étude de la fonction $f$
a. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
$\quad$
b. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur l’intervalle $]0~;~ +\infty[$.
Démontrer que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
$\quad$
c. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l’intervalle $]0~;~ +\infty[$.
$\quad$
d. Démontrer que la fonction $f$ admet pour minimum le nombre réel $$m = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}$$
$\quad$
e. Justifier que $3,43 < m < 3,45$.

$\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 2 5 points

Commun à tous les candidats

Dans une usine, on utilise deux machines A et B pour fabriquer des pièces.

La machine A assure $40 \%$ de la production et la machine B en assure $60 \%$.
On estime que $10\%$ des pièces issues de la machine A ont un défaut et que $9\%$ des pièces issues de la machine B ont un défaut.
On choisit une pièce au hasard et on considère les évènements suivants :
• $A$ : “La pièce est produite par la machine A”
• $B$ : “La pièce est produite par la machine B”
• $D$ : “La pièce a un défaut”.
• $\overline{D}$, l’évènement contraire de l’évènement $D$.
$\quad$
a. Traduire la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
$\quad$
b. Calculer la probabilité que la pièce choisie présente un défaut et ait été fabriquée par la machine A.
$\quad$
c. Démontrer que la probabilité $P(D)$ de l’évènement $D$ est égale à $0,094$.
$\quad$
d. On constate que la pièce choisie a un défaut.
Quelle est la probabilité que cette pièce provienne de la machine A ?
$\quad$
On estime que la machine A est convenablement réglée si $90\%$ des pièces qu’elle fabrique sont conformes.
On décide de contrôler cette machine en examinant $n$ pièces choisies au hasard ($n$ entier naturel) dans la production de la machine A. On assimile ces $n$ tirages à des tirages successifs indépendants et avec remise.
On note $X_{n}$ le nombre de pièces qui sont conformes dans l’échantillon de $n$ pièces.
a. Justifier que la variable aléatoire $X_{n}$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
$\quad$
b. Calculer en fonction de $n$ la probabilité que toutes les pièces soient conformes.
$\quad$
c. Donner la valeur de $n$ à partir de laquelle la probabilité que toutes les pièces soient conformes est inférieure à 0,5.
$\quad$
d. On donne l’algorithme suivant, où “binom($n,k$) correspond au coefficient binomial $\displaystyle \binom{n}{k}$ :
Variables :
$\quad$ $k$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.
$\quad$ $s$ est un nombre réel.
Entrée :
$\quad$ Demander à l’utilisateur la valeur de $n$.
Initialisation :
$\quad$ Affecter à $s$ la valeur $0$.
Traitement :
$\quad$ Pour $k$ allant de $0$ à $n$
$\quad$ $\qquad$ Affecter à $s$ la valeur $s+$ binom$(n,k)\times 0,9^k \times 0,1^{n-k}$.
$\quad$ Fin de boucle.
Sortie :
$\quad$ Afficher $s$.
$\quad$
Modifier cet algorithme pour qu’il affiche la valeur de $m$ à partir de laquelle $P(X \le m) \ge 0,9$.

$\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats

Partie A : Restitution organisée de connaissance

On admet le résultat suivant :

Pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $a$ strictement positif, $\displaystyle (1+a)^n \ge 1+na$.

Lorsque $q > 1$, montrer que $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} q^n = +\infty$.

$\quad$

Partie B

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{1}& =&\dfrac{1}{2}\\\\
u_{n+1} &=& \dfrac{n+1}{2n}u_{n}
\end{array}\right.\]

Calculer $u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$.
$\quad$
a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ est strictement positif.
$\quad$
b. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
$\quad$
c. Que peut-on en déduire pour la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose \[v_{n} = \dfrac{u_{n}}{n}.\]
a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme $v_{1}$.
$\quad$
b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[u_{n} = \dfrac{n}{2^n}.\]
$\quad$
Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1~;~+\infty[$ par $f(x) = \ln x – x \ln 2$.
a. Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
$\quad$
b. En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

$\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 4 5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\Ouv$.

On note $\C$ l’ensemble des nombres complexes.

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Proposition : Pour tout entier naturel $n$ : $(1+\ic)^{4n} = (-4)^n$.
$\quad$
Soit (E) l’équation $(z-4)\left(z^2-4z+8\right)=0$, où $z$ désigne un nombre complexe.
Proposition : Les points dont les affixes sont les solutions, dans $\C$ de (E) sont les sommets d’un triangle d’aire 8.
$\quad$
Proposition : Pour tout nombre complexe $z$, $\text{Re} \left(z^2\right) = \left(\text{Re}(z)\right)^2$.
$\quad$
Proposition : Pour tout nombre complexe $z$, si $|1+\ic z| = [1 – \ic z|$, alors la partie imaginaire de $z$ est nulle.
$\quad$
Proposition : L’ensemble des solutions dans $\C$ de l’équation $\displaystyle \dfrac{z-2}{z-1} = z$ est $\{1-\ic\}$.

$\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 4 5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On pose $A= \begin{pmatrix}
-3&2\\\\
0&-3\\\\
\end{pmatrix}$ et $N= \begin{pmatrix} 0&2\\\\ 0&0\\\\\end{pmatrix}$
a. Exprimer $A$ en fonction de $I$, matrice identité d’ordre 2, et de $N$.
$\quad$
b. Déterminer la matrice $N^2$ et en déduire une expression de $A^2$ en fonction de $I$ et de $N$.
$\quad$
c. Montrer alors que, pour tout entier naturel, $k$ non nul on a : $A^k =(-3)^kI+k(-3)^{k-1}N$.
$\quad$
On considère l’équation $\qquad (E) : 23x -26y = 1$ $\quad$ où $x$ et $y$ désignent deux entiers relatifs.
a. Sans faire de calcul, justifier que cette équation possède au moins une solution.
$\quad$
b. Déterminer, à l’aide de l’algorithme d’Euclide, une solution de l’équation $(E)$.
$\quad$
c. Résoudre alors l’équation $(E)$.
$\quad$
d. En déduire un entier $a$ tel que $0 \le a \le 25$ et $23a~ \equiv ~1 ~~\text{mod}(26)$.

$\quad$

Correction