TS – Bac blanc 2015 – Ex 3 spé

Exercice 3     5 points

Candidats ayant choisi la spécialité mathématiques

  1.  On considère l’équation (E) : $11x – 7y = 5$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
    a. Justifier, en énonçant un théorème, qu’il existe un couple d’entiers relatifs $(u~;~v)$ tels que $11u – 7v = 1$. Trouver un tel couple.
    $\quad$
    b. En déduire une solution particulière de l’équation (E).
    $\quad$
    c. Résoudre l’équation (E).
    $\quad$
    d. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $\Oij$, on considère la droite $D$ d’équation cartésienne $11x -7y – 5 = 0$. On note $\mathscr{C}$ l’ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan tels que $0\leqslant x\leqslant 50$ et $0\leqslant y\leqslant 50$.
    Déterminer le nombre de points de la droite $D$ appartenant à l’ensemble $\mathscr{C}$ et dont les coordonnées sont des nombres entiers.
    $\quad$
  2. On considère l’équation (F) : $11x^2 – 7y^2 = 5$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
    a. Démontrer que si le couple $(x~;~y)$ est solution de (F), alors $x^2\equiv 2y^2$ (mod $5$).
    $\quad$
    b. Soient $x$ et $y$ des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants:
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
    \text{Modulo } 5, x \text{ est congru à} & 0&1&2&3&4\\\\ \hline
    \text{Modulo } 5, x^2 \text{ est congru à}  &&&&&\\\\ \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
    \text{Modulo} 5, y \text{ est congru à} & 0&1&2&3&4\\\\ \hline
    \text{Modulo} 5, 2y^2 \text{ est congru à}  &&&&&\\\\ \hline
    \end{array}$$
    Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de $x^2$ et de $2y^2$ par $5$?
    $\quad$
    c. En déduire que si le couple $(x~;~y)$ est solution de (F), alors $x$ et $y$ sont des multiples de $5$.
    $\quad$
  3. Démontrer que si $x$ et $y$ sont des multiples de 5, alors le couple $(x~;~y)$ n’est pas solution de (F). Que peut-on en déduire pour l’équation (F)?

Correction

  1. a. Les nombres $11$ et $7$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $11u – 7v = 1$.
    $\quad$
    $11 \times 2 – 7 \times 3 = 22 – 21 = 1$.
    Le couple $(2;3)$ est donc solution de cette équation.
    $\quad$
    b. Par conséquent $(10;15)$ est une solution particulière de (E).
    $\quad$
    c. Soit $(x;y)$ un autre couple de solution.
    On a ainsi : $11 \times 10 – 7 \times 15 = 5$ et $11x – 7y = 5$
    Par différence, on obtient : $11(10 – x) – 7(15 – y) = 0$ soit $11(10 – x) = 7(15 – y)$.
    $11$ et $7$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss, il existe alors un entier relatif $k$ tel que :
    $10 – x = 7k$ et $15 – y = 11k$.
    Soit $x = 10 – 7k$ et $y=15 – 11k$.
    $\quad$
    Réciproquement : soit $k$ un entier relatif, vérifions que $(10 – 7k;15 – 11k)$ est bien solution de (E).
    $11(10 – 7k) – 7(15 – 11k) = 110 – 77k – 105 + 77k = 5$.
    Les solutions de (E) sont donc les couples $(10 – 7k;15 – 11k)$ pour $k \in \Z$.
    $\quad$
    d. Une équation de $D$ est $11x-7y = 5$.
    D’après la question précédente, on cherche donc les valeurs de $k$ telles que :
    $0 \le 10 – 7k \le 50$ et $0 \le 15 – 11k \le 50$
    Soit $-10 \le -7k \le 40$ et $-15 \le -11k \le 35$
    D’où $\dfrac{10}{7} \ge k \ge \dfrac{-40}{7}$ et $\dfrac{15}{11} \ge k \ge \dfrac{-35}{11}$
    Par conséquent $-3 \le k \le 1$ : $5$ points à coordonnées entières appartiennent à $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  2. a. Si $(x;y)$ est solution de (F) alors $11x^2 – 7y^2 = 5$
    Par conséquent, $x^2 – 2y^2 \equiv 0 ~~[5]$ d’où $x^\equiv 2y^2 ~~[5]$.
    $\quad$
    b. $\quad$
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
    \text{Modulo } 5, x \text{ est congru à} & 0&1&2&3&4\\\\ \hline
    \text{Modulo } 5, x^2 \text{ est congru à} & 0& 1& 4 &4 & 1\\\\ \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
    \text{Modulo} 5, y \text{ est congru à} & 0&1&2&3&4\\\\ \hline
    \text{Modulo} 5, 2y^2 \text{ est congru à}  &0&2&3&3&2\\\\ \hline
    \end{array}$$
    Les valeurs possibles des restes de $x^2$ et $2y^2$ dans la division euclidienne par $5$ sont $0$ et $0$.
    $\quad$
    c. Cela signifie donc qu’il existe deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que $x^2 = 5a$ et $2y^2 = 5b$.
    Donc, d’après le théorème de Gauss, $5$ divise $x$ et, puisque $2$ et $5$ sont premiers entre eux, $5$ divise également $y$.
    $x$ et $y$ sont par conséquent des multiples de $5$.
    $\quad$
    d. Si $x$ et $y$ sont des multiples de $5$ alors il existe deux entiers relatifs $x’$ et $y’$ tels que $x=5x’$ et $y=5y’$.
    On remplace ces valeurs dans l’équation (F) : $25 \times 11 x’ – 25 \times 7y’ = 5$
    Ce qui est équivalent à $5 \times 11x’ – 5\times 7y’ = 1$
    Ou encore $5(11x’ – 7y’) = 1$.
    Mais $1$ n’est pas un multiple de $5$.
    $\quad$
    Si $x$ et $y$ sont des multiples de $5$, il n’y a donc pas de solution à l’équation (F).
    $\quad$
    Mais d’après la question précédente, si $(x;y)$ est solution de (F) alors $x$ et $y$ sont des multiples de $5$.
    L’équation (F) ne possède pas de solution.