TS – Bac blanc 2015 – Ex 4

Exercice 4    5 points

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct $\Ouv$ (unité : $1~$cm).

Vous ferez une figure que vous compléterez au fur et à mesure des questions.

On considère les points A, B, C, D, S et $\Omega$ d’affixes respectives
$$a = -2 + 4\text{i}, \quad b = -4 + 2\text{i}, \quad c = 4 + 2\ic, \quad d = -2 – 4\ic, \quad s = -5 + 5\text{i} \quad \text{et} \quad \omega = -2 + 2\text{i}.$$

Soit $h$ la transformation qui à tout point M affixe $z$ associe le point M’ d’affixe $z’$ telle que :
$$z’ = 3z + 10 – 10\ic$$

  1. a. Déterminer le point invariant, c’est-à-dire le point dont l’affixe $z$ est telle que $z’ = z$.
    $\quad$
    b. Déterminer les images respectives des points A et B par $h$.
    $\quad$
  2. Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
    $\quad$
  3. Démontrer que la droite (S$\Omega$) est la médiatrice du segment [AB].
    $\quad$
  4. Soit P le milieu du segment [AC].
    a. Déterminer l’affixe $p$ du point P.
    $\quad$
    b. Démontrer que $\dfrac{\omega – p}{d – b} = – \dfrac{1}{2}\text{i}$. En déduire une mesure de l’angle $\left(\vec{\text{BD}}~;~\vec{\text{P}\Omega}\right)$.
    $\quad$
  5. a. Démontrer que les points S, B et D sont alignés.
    $\quad$
    b. Soit Q le milieu du segment [BD].
    Que représente le point $\Omega$ pour le triangle PQS ?

Correction

  1. a. $z’= z \Leftrightarrow 3z + 10 – 10\ic = z \Leftrightarrow 2z = -10 +10\ic \Leftrightarrow z = -5 +5\ic$
    Le point S est donc invariant.
    b. $z’_A = 3(-2 + 4\ic) + 10 – 10\ic = -6 + 12\ic + 10 – 10\ic = 4 + 2\ic = c$. L’image de A est donc C.
    $z’_B = 3(-4 + 2\ic) + 10 – 10\ic = -12 + 6\ic + 10 – 10\ic = -2 – 4\ic = d$. L’image de B est donc D.
    $\quad$
  2. $|a| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}$. On vérifie qu’on obtient également $|b|=|c|=|d| = \sqrt{20}$.
    Les points A, B, C et D appartiennent donc au cercle de centre O et de rayon $\sqrt{20}$.
    $\quad$
  3. SA $= |a-s| = |-2 + 4\ic + 5 – 5\ic| = |3 – \ic| = \sqrt{10}$
    SB $= |b- s| = |-4 + 2\ic + 5 – 5\ic| = |1 + 3\ic| = \sqrt{10} =$ SA.
    Le point S appartient donc à la médiatrice de [AB].
    $\quad$
    $\Omega$A $= |a – \omega | = |-2 + 4\ic + 2 – 2\ic| = |2\ic| = 2$
    $\Omega$B $= |b – \omega | = |-4 + 2\ic + 2 – 2\ic| = |-2| = 2 = \Omega$B
    Le point $\Omega$ appartient donc également à la médiatrice de [AB].
    (S$\Omega$) est bien la médiatrice de [AB].
    $\quad$
  4. a. $p = \dfrac{a+c}{2} = \dfrac{-2 + 4\ic + 4 + 2\ic}{2} = \dfrac{2 + 6\ic}{2} = 1 + 3\ic$
    $\quad$
    b.
    $$\begin{align*}
    \dfrac{\omega – p}{d – b} & = \dfrac{-2 + 2\ic – 1 – 3\ic}{-2 – 4\ic + 4 – 2\ic} \\\\
    &=\dfrac{-3 – \ic}{2 – 6\ic} \\\\
    &=\dfrac{(-3 – \ic)(2 + 6\ic)}{4 + 36} \\\\
    &=\dfrac{-6 – 18\ic – 2\ic + 6}{40} \\\\
    &=\dfrac{-20\ic}{40}\\\\
    &=-\dfrac{1}{2}\ic\\
    \end{align*}$$
    $ \left(\vec{\text{BD}},\vec{\text{P}\Omega}\right) =$ arg $\left(\dfrac{\omega – p}{d – b} \right) = -\dfrac{\pi}{2} \quad (2\pi)$
    Les droites (BD) et (P$\Omega$) sont donc perpendiculaires.
    $\quad$
  5. a. L’affixe de $\vec{\text{SB}}$ est : $b – s = -4 + 2\ic + 5 – 5\ic = 1 – 3\ic$
    L’affixe de $\vec{\text{SD}}$ est : $d – s = -2 – 4\ic + 5 – 5\ic = 3 – 9\ic = 3(1 – 3\ic)$
    On a donc $\vec{\text{SD}} = 3\vec{\text{SB}}$
    Les vecteurs sont colinéaires et les points S, B et D sont alignés.
    $\quad$
    b. On appelle $q$ l’affixe de Q.
    $q = \dfrac{b+d}{2} = \dfrac{-4 + 2\ic -2 – 4\ic}{2} = \dfrac{-6 – 2\ic}{2} = -3 – \ic$.
    $\quad$
    L’affixe de $\vec{\text{AB}}$ est $-4 + 2\ic – (-2 + 4\ic) = -2 – 2\ic$.
    L’affixe de $\vec{\text{QP}}$ est $1 + 3\ic + 3 + \ic = 4 + 4\ic$.
    Ainsi $\vec{\text{QP}} = -2\vec{\text{AB}}$
    Les droites (QP) et (AB) sont par conséquent parallèles. Or on a démontré que (S$\Omega$) était la médiatrice de [AB]. Cela signifie donc que (S$\Omega$) et (QP) sont perpendiculaires.
    De plus, d’après les questions 4.b. et 5.a., on peut dire que (P$\Omega$) et (SQ) sont perpendiculaires.
    $\Omega$ est donc le point d’intersection de deux hauteurs du triangle PQS.
    $\quad$
    TS - BB2015 - ex4c