TS - Bac blanc 2015

Exercice 1 5 points

On considère la suite de nombres réels $\left(a_{n}\right)$ définie sur $\N$ par :

\[a_{0} = – 1,~a_{1} = \dfrac{1}{2}~\text{et, pour tout entier naturel}~n,~ a_{n+2} = a_{n+1} – \dfrac{1}{4}a_{n}.\]

Calculer $a_{2}$ et en déduire que la suite $\left(a_{n}\right)$ n’est ni arithmétique ni géométrique.
$\quad$
On définit la suite $\left(b_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ :
\[b_{n} = a_{n+1} – \dfrac{1}{2}a_{n}.\]
a. Calculer $b_{0}$.
$\quad$
b. Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $b_{n}$.
$\quad$
c. En déduire que la suite $\left(b_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
d. Exprimer $b_{n}$ en fonction de $n$.
$\quad$
On définit la suite $\left(c_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ :
\[c_{n} = \dfrac{a_{n}}{b_{n}}.\]
a. Calculer $c_{0}$.
$\quad$
b. En utilisant l’égalité $a_{n+1} = b_{n} + \dfrac{1}{2}a_{n}$, exprimer $c_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et de $b_{n}$.
$\quad$
c. En déduire que pour tout $n$ de $\N,~ c_{n+1} = c_{n} + 2$.
$\quad$
d. Exprimer $c_{n}$ en fonction de $n$.
$\quad$
Montrer que pour tout entier naturel $n$
\[a_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}.\]
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, on pose : $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} a_{k} = a_{0} + a_{1} + \cdots + a_{n}$.
Démontrer par récurrence que pour tout $n$ de $\N$ :
\[S_{n} = 2 – \dfrac{2n + 3}{2^n}.\]

Correction

$a_2 = a_1 – \dfrac{1}{4}a_0 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$
$\quad$
$a_1-a_0 = \dfrac{3}{2}$ et $a_2-a_1 = \dfrac{1}{4}$. La suite $(a_n)$ n’est donc pas arithmétique.
$\quad$
$\dfrac{a_1}{a_0} = -\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{3}{2}$. La suite $(a_n)$ n’est donc pas géométrique.
$\quad$
a. $b_0 = a_1- \dfrac{1}{2}a_0 = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \times (-1) = 1$
$\quad$
b. $$\begin{align*}
b_{n+1} & =a_{n+2} – \dfrac{1}{2}a_{n+1} \\\\
& = a_{n+1} – \dfrac{1}{4}a_n – \dfrac{1}{2}a_{n+1} \\\\
& = \dfrac{1}{2}a_{n+1} – \dfrac{1}{4}a_{n} \\\\
& = \dfrac{1}{2}\left(a_{n+1}-\dfrac{1}{2}a_n\right) \\\\
&=\dfrac{1}{2}b_n\\
\end{align*}$$
c. La suite $(b_n)$ est donc géométrique de premier terme $b_0 = 1$ et de raison $q= \dfrac{1}{2}$.
$\quad$
d. On a donc, pour tout entier naturel $n$, $b_n = b_0 \times q^n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = \dfrac{1}{2^n}$.
$\quad$
a. $c_0=\dfrac{a_0}{b_0} = -1$
$\quad$
b.
$$\begin{align*}
c_{n+1} & = \dfrac{a_{n+1}}{b_{n+1}} \\\\
&=\dfrac{b_n + \dfrac{1}{2}a_n}{\dfrac{1}{2}b_n} \\\\
& = \dfrac{2b_n + a_n}{b_n} \\\\
&= 2 + \dfrac{a_n}{b_n}
\end{align*}$$
$\quad$
c. On obtient ainsi que $c_{n+1} = 2 + c_n$
$\quad$
d. La suite $(c_n)$ est ainsi arithmétique de premier terme $c_0 = -1$ et de raison $r=2$.
Donc $c_n = -1 + 2n$ pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
On a $c_n =\dfrac{a_n}{b_n} \Leftrightarrow -1 + 2n = \dfrac{a_n}{\dfrac{1}{2^n}} \Leftrightarrow a_n = \dfrac{1}{2^n} (2n – 1) \Leftrightarrow a_n = \dfrac{2n-1}{2^n}$
$\quad$
Initialisation : Si $n=0$ on a $S_0 = a_0 = -1$ $\qquad$et $\qquad$ $2 – \dfrac{2\times 0 + 3}{2^0} = 2 – 3 = -1$
La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $S_n = 2 – \dfrac{2n+3}{2^n}$.
$$\begin{align*}
S_{n+1} &= S_n + a_{n+1} \\\\
& = 2 – \dfrac{2n+3}{2^n} + \dfrac{2(n+1) – 1}{2^{n+1}} \\\\
& = 2 – \dfrac{2n+3}{2^n} + \dfrac{2n+1}{2^{n+1}} \\\\
& = 2 – \dfrac{2(2n+3)-2n-1}{2^{n+1}} \\\\
& = 2 – \dfrac{4n+6-2n-1}{2^{n+1}} \\\\
& = 2 -\dfrac{2n + 5}{2^{n+1}} \\\\
& = 2 – \dfrac{2(n+1) + 3}{2^{n+1}}
\end{align*}$$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.
par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $S_n = 2 – \dfrac{2n+3}{2^n}$.