TS - Bac blanc 2015

Exercice 3 5 points

Candidats n’ayant pas choisi la spécialité mathématiques

Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à 0,000 1 près.

En étudiant une épidémie chez des chevaux, on a constaté que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt sur un équidé, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.

Un test a été mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont $1\%$ est porteur de la maladie.

On obtient les résultats suivants :

si un animal est sain, le test est négatif dans $95\%$ des cas.
si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans $85\%$ des cas ;

On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie.

On note :

M l’évènement : “l’animal est porteur de la maladie”;
T l’évènement : “le test est positif”.

Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.
$\quad$
Un animal est choisi au hasard.
a. Quelle est la probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ?
$\quad$
b. Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est $0,058$.
$\quad$
Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu’il soit porteur de la maladie ?
$\quad$
On choisit cinq chevaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d’assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d’animaux ayant un test positif.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?
$\quad$
b. Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des cinq animaux ait un test positif ?
$\quad$
Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de $100$ euros et le coût de l’abattage d’un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de $1~000$ euros. On suppose que le test est gratuit.
D’après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donnée par le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
Coût& 0& 100 &1~000\\ \hline
Probabilité &0,940~5 &0,058~0 & 0,001~5\\ \hline
\end{array}$$
a. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à engager.
$\quad$
b. Un éleveur possède $200$ chevaux. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir d’engager ?

Correction

$\quad$
$\quad$
a. On cherche donc la probabilité $P(M \cap T) = 0,01 \times 0,85 = 0,0085$.
La probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif est $0,0085$.
$\quad$
b. D’après la formule des probabilités totales on a :
$$\begin{align*}
P(T) & = P(M \cap T) + P\left(\overline{M} \cap T \right) \\\\
& = 0,0085 + 0,99 \times 0,05 \\\\
& = 0,058
\end{align*}$$
La probabilité que le test soit positif est bien $0,058$.
$\quad$
On cherche à calculer $P_T(M) = \dfrac{P(T \cap M)}{P(T)} = \dfrac{0,0085}{0,058} \approx 0,1466$
La probabilité qu’il soit porteur de la maladie sachant que son test est positif est $0,1466$.
$\quad$
a. On choisit cinq chevaux. Les épreuves sont aléatoires, identiques, indépendantes et ne possèdent que deux issues : $T$ et $\overline{T}$. De plus $P(T) = 0,058$.
La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(5;0,058)$.
$\quad$
b. On cherche à calculer $P(X \ge 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – (1 – 0,058)^5 \approx 0,2583$
$\quad$
a. L’espérance mathématique, qui correspond au coût moyen par animal, de cette variable aléatoire $Y$ est :
$$ E(Y) = 100 \times 0,0580 + 1000 \times 0,0015 = 7,3$$
$\quad$
b. Si l’éleveur possède $200$ chevaux, il doit prévoir d’engager $7,3 \times 200 = 1~460$ euros.