TS - Bac blanc 2015

Exercice 1 5 points

On considère la suite de nombres réels $\left(a_{n}\right)$ définie sur $\N$ par :

\[a_{0} = – 1,~a_{1} = \dfrac{1}{2}~\text{et, pour tout entier naturel}~n,~ a_{n+2} = a_{n+1} – \dfrac{1}{4}a_{n}.\]

Calculer $a_{2}$ et en déduire que la suite $\left(a_{n}\right)$ n’est ni arithmétique ni géométrique.
$\quad$
On définit la suite $\left(b_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ :
\[b_{n} = a_{n+1} – \dfrac{1}{2}a_{n}.\]
a. Calculer $b_{0}$.
$\quad$
b. Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $b_{n}$.
$\quad$
c. En déduire que la suite $\left(b_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
d. Exprimer $b_{n}$ en fonction de $n$.
$\quad$
On définit la suite $\left(c_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ :
\[c_{n} = \dfrac{a_{n}}{b_{n}}.\]
a. Calculer $c_{0}$.
$\quad$
b. En utilisant l’égalité $a_{n+1} = b_{n} + \dfrac{1}{2}a_{n}$, exprimer $c_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et de $b_{n}$.
$\quad$
c. En déduire que pour tout $n$ de $\N,~ c_{n+1} = c_{n} + 2$.
$\quad$
d. Exprimer $c_{n}$ en fonction de $n$.
$\quad$
Montrer que pour tout entier naturel $n$
\[a_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}.\]
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, on pose : $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} a_{k} = a_{0} + a_{1} + \cdots + a_{n}$.
Démontrer par récurrence que pour tout $n$ de $\N$ :
\[S_{n} = 2 – \dfrac{2n + 3}{2^n}.\]

$\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = \ln \left(1 +\text{e}^{x}\right) – \dfrac{3}{4}x.\]

La courbe $(\mathscr{C})$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d’un repère orthogonal est donnée en annexe.

Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

Partie A

a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
$\quad$
b. Montrer que pour tout réel $x,~ f(x) = \ln \left(\text{e}^{-x} + 1\right) +\dfrac{1}{4}x$.
$\quad$
c. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
$\quad$
a. Étudier la position relative de (D) d’équation $y = \dfrac{1}{4}x$ et de $(\mathscr{C})$.
$\quad$
b. Déterminer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) – \dfrac{1}{4}x$.
Interpréter graphiquement ce résultat.
Tracer la droite (D).
$\quad$
a. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
Montrer que pour tout $x$ réel, $f'(x) = \dfrac{\text{e}^x – 3}{4\left(\text{e}^x + 1\right)}$.
$\quad$
b. En déduire les variations de la fonction $f$.
$\quad$

Partie B

Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe $(\mathscr{C})$.

On note (T) la tangente à la courbe $(\mathscr{C})$ au point d’abscisse $0$.

Calculer le coefficient directeur de (T) puis construire (T) sur le graphique.
$\quad$
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Soient $M$ et $N$ deux points de la courbe $(\mathscr{C})$ d’abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite $(MN)$ est parallèle à la droite (T).

$\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 3 5 points

Candidats n’ayant pas choisi la spécialité mathématiques

Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à 0,000 1 près.

En étudiant une épidémie chez des chevaux, on a constaté que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt sur un équidé, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.

Un test a été mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont $1\%$ est porteur de la maladie.

On obtient les résultats suivants :

si un animal est sain, le test est négatif dans $95\%$ des cas.
si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans $85\%$ des cas ;

On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie.

On note :

M l’évènement : “l’animal est porteur de la maladie”;
T l’évènement : “le test est positif”.

Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.
$\quad$
Un animal est choisi au hasard.
a. Quelle est la probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ?
$\quad$
b. Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est $0,058$.
$\quad$
Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu’il soit porteur de la maladie ?
$\quad$
On choisit cinq chevaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d’assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d’animaux ayant un test positif.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?
$\quad$
b. Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des cinq animaux ait un test positif ?
$\quad$
Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de $100$ euros et le coût de l’abattage d’un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de $1~000$ euros. On suppose que le test est gratuit.
D’après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donnée par le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
Coût& 0& 100 &1~000\\ \hline
Probabilité &0,940~5 &0,058~0 & 0,001~5\\ \hline
\end{array}$$
a. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à engager.
$\quad$
b. Un éleveur possède $200$ chevaux. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir d’engager ?

$\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 3 5 points

Candidats ayant choisi la spécialité mathématiques

On considère l’équation (E) : $11x – 7y = 5$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
a. Justifier, en énonçant un théorème, qu’il existe un couple d’entiers relatifs $(u~;~v)$ tels que $11u – 7v = 1$. Trouver un tel couple.
$\quad$
b. En déduire une solution particulière de l’équation (E).
$\quad$
c. Résoudre l’équation (E).
$\quad$
d. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $\Oij$, on considère la droite $D$ d’équation cartésienne $11x -7y – 5 = 0$. On note $\mathscr{C}$ l’ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan tels que $0\leqslant x\leqslant 50$ et $0\leqslant y\leqslant 50$.
Déterminer le nombre de points de la droite $D$ appartenant à l’ensemble $\mathscr{C}$ et dont les coordonnées sont des nombres entiers.
$\quad$
On considère l’équation (F) : $11x^2 – 7y^2 = 5$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
a. Démontrer que si le couple $(x~;~y)$ est solution de (F), alors $x^2\equiv 2y^2$ (mod $5$).
$\quad$
b. Soient $x$ et $y$ des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
\text{Modulo } 5, x \text{ est congru à} & 0&1&2&3&4\\\\ \hline
\text{Modulo } 5, x^2 \text{ est congru à} &&&&&\\\\ \hline
\end{array}$$
$\quad$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
\text{Modulo } 5, y \text{ est congru à} & 0&1&2&3&4\\\\ \hline
\text{Modulo } 5, 2y^2 \text{ est congru à} &&&&&\\\\ \hline
\end{array}$$
Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de $x^2$ et de $2y^2$ par $5$?
$\quad$
c. En déduire que si le couple $(x~;~y)$ est solution de (F), alors $x$ et $y$ sont des multiples de $5$.
$\quad$
Démontrer que si $x$ et $y$ sont des multiples de 5, alors le couple $(x~;~y)$ n’est pas solution de (F). Que peut-on en déduire pour l’équation (F)?

$\quad$

Correction

$\quad$

Exercice 4 5 points

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct $\Ouv$ (unité : $1~$cm).

Vous ferez une figure que vous compléterez au fur et à mesure des questions.

On considère les points A, B, C, D, S et $\Omega$ d’affixes respectives
$$a = -2 + 4\text{i}, \quad b = -4 + 2\text{i}, \quad c = 4 + 2\ic, \quad d = -2 – 4\ic, \quad s = -5 + 5\text{i} \quad \text{et} \quad \omega = -2 + 2\text{i}.$$

Soit $h$ la transformation qui à tout point M affixe $z$ associe le point M’ d’affixe $z’$ telle que :
$$z’ = 3z + 10 – 10\ic$$

a. Déterminer le point invariant, c’est-à-dire le point dont l’affixe $z$ est telle que $z’ = z$.
$\quad$
b. Déterminer les images respectives des points A et B par $h$.
$\quad$
Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
$\quad$
Démontrer que la droite (S$\Omega$) est la médiatrice du segment [AB].
$\quad$
Soit P le milieu du segment [AC].
a. Déterminer l’affixe $p$ du point P.
$\quad$
b. Démontrer que $\dfrac{\omega – p}{d – b} = – \dfrac{1}{2}\text{i}$. En déduire une mesure de l’angle $\left(\vec{\text{BD}}~;~\vec{\text{P}\Omega}\right)$.
$\quad$
a. Démontrer que les points S, B et D sont alignés.
$\quad$
b. Soit Q le milieu du segment [BD].
Que représente le point $\Omega$ pour le triangle PQS ?

$\quad$

Correction