Exercice 1    5 points

Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On dispose de deux sacs $S_{1}$ et $S_{2}$ contenant des jetons indiscernables au toucher.
$S_{1}$ contient $k$ jetons rouges ($k$ entier naturel supérieur ou égal à $1$) et $3$ jetons bleus.
$S_{2}$ contient $2$ jetons rouges et un jeton bleu.

On tire un jeton au hasard dans $S_{1}$ et on le place dans $S_{2}$. On tire ensuite, au hasard, un jeton dans $S_{2}$. L’ensemble de ces opérations constitue une épreuve.

On note $R_{1}$ (respectivement $B_{1}$) l’événement “on a tiré un jeton rouge (resp. bleu) dans le sac $S_{1}$”.
On note $R_{2}$ (respectivement $B_{2}$) l’événement “on a tiré un jeton rouge (resp. bleu) dans le sac $S_{2}$”.

1. a. Recopier et compléter par les probabilités manquantes l’arbre ci-dessous :
   
   b. Montrer que la probabilité de l’événement $R_{2}$ est égale à $\dfrac{3k + 6}{4k + 12}$.

   $\quad$
   Dans la suite on considère que $\boldsymbol{k= 12}$.
   Les questions 2 et 3 sont indépendantes l’une de l’autre et peuvent être traitées dans n’importe quel ordre.

2. Un joueur mise $8$ euros et effectue une épreuve.
   Si, à la fin de l’épreuve, le joueur tire un jeton rouge du deuxième sac, le joueur reçoit $12$ euros.
   Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise.
   Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur, c’est-à-dire la différence entre la somme reçue et la mise.
   a. Montrer que les valeurs possibles de $X$ sont $4$ et $-8$.
   $\quad$
   b. Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$.
   $\quad$
   c. Calculer l’espérance mathématique de $X$.
   $\quad$
   d. Le jeu est-il favorable au joueur ?
   $\quad$
3. Un joueur participe $n$ fois de suite à ce jeu.
   Au début de chaque épreuve, le sac $S_{1}$ contient $12$ jetons rouges et $3$ bleus, et le sac $S_{2}$ contient $2$ jetons rouges et 1 bleu.
   Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes.
   Déterminer le plus petit entier $n$ pour que la probabilité de réaliser au moins une fois l’événement $R_{2}$ soit supérieure ou égale à $0,99$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 1    5 points

Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On appellera dans la suite les entiers naturels $1$, $11$, $111$, $1~111$, $\ldots$ des un-entiers.
Pour tout entier naturel $p$ non nul, on note $N_p$ le un-entier s’écrivant avec $p$ fois le chiffre $1$ :

$$N_p = \underbrace{11 \ldots 1}_{\begin{array}{c} p \text{ répétitions} \\ \text{du chiffre }1\end{array}} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k.$$

Dans tout l’exercice, $p$ désigne un entier naturel non nul.

L’objet de cet exercice est d’étudier quelques propriétés des un-entiers.

Partie A : divisibilité des un-entiers dans quelques cas particuliers

1. Montrer que $N_p$ n’est divisible ni par $2$ ni par $5$.
   $\quad$
2. Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par $3$.
   $\quad$
   a. Prouver que, pour tout entier naturel $j$, $10^j \equiv 1 \text{ mod } 3$.
   $\quad$
   b. En déduire que $N_p \equiv p \text{ mod } 3$.
   $\quad$
   c. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le un-entier $N_p$ soit divisible par $3$.
   $\quad$
3. Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par $7$.
   a. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où $a$ est l’unique entier relatif appartenantà $  \{-3;- 2;-  1;0;1;2;3\} $ tel que $10^m \equiv a \text{ mod }7$.
   On ne demande pas de justification.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
   m &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline
   a & & & & & & &\\ \hline
   \end{array}$
   $\quad$
4. Soit $p$ un entier naturel non nul.
   Montrer que $10^p \equiv 1 \text{ mod }\: 7$ si et seulement si $p$ est un multiple de $6$.
   On pourra utiliser la division euclidienne de $p$ par $6$.
   $\quad$
5. Justifier que, pour tout entier nature $p$ non nul, $N_p = \dfrac{10^p-1}{9}$.
   $\quad$
6. Démontrer que “$7$ divise $N_p$” est équivalent à “$7$ divise $9N_p$”.
   $\quad$
7. En déduire que $N_p$ est divisible par $7$ si et seulement si $p$ est un multiple de $6$.
   $\quad$

Partie B : un un-entier strictement supérieur à $\boldsymbol{1}$ n’est jamais un carré parfait

1. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
   On suppose que l’écriture décimale de $n^2$ se termine par le chiffre $1$, c’est-à-dire $n^2 \equiv 1 \text{ mod } 10$.
   a. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
   n \equiv \ldots  [10]& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 &5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
   n^2 \equiv \ldots  [10]&&&&&&&&&&\\ \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. En déduire qu’il existe un entier naturel $m$ tel que: $n = 10m + 1$ ou $n = 10m-1$.
   $\quad$
   c. Conclure que $n^2 \equiv 1 \text{ mod } 20$.
   $\quad$
2. Soit $p$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
   Quel est le reste de la division euclidienne de $N_p$ par $20$ ?
   $\quad$
3. En déduire que, pour $p$ entier naturel supérieur ou égal à $2$, le un-entier $N_p$ n’est pas le carré d’un entier.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2    5 points

Partie A : Restitution organisée des connaissances

On rappelle que $\lim\limits_{t \to +\infty} \dfrac{\e^t}{t} = + \infty$.
Démontrer que $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$.
$\quad$

Partie B

On considère la fonction $g$ définie sur $[1;+ \infty[$ par $g(x) = x-\dfrac{\ln(x)}{x}$.
On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $\Oij$.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $[1;+ \infty[$ par $f(x) = x^2-1 + \ln(x)$.
   Montrer que la fonction $f$ est positive sur $[1;+ \infty[$.
   $\quad$
2. a. Montrer que, pour tout $x$ de $[1;+ \infty[$, $g'(x) = \dfrac{f(x)}{x^2}$.
   $\quad$
   b. En déduire le sens de variation de $g$ sur $[1;+ \infty[$.
   $\quad$
   c. Déterminer $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)-x$. Que peut-on en déduire concernant la courbe $\mathscr{C}$ ?
   $\quad$
   d. On nomme $\mathscr{D}$ la droite d’équation $y=x$. Étudier la position de la courbe $\mathscr{C}$ par rapport à la droite $\mathscr{D}$.
   $\quad$
3. Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on note respectivement $C_k$ et $D_k$ les points d’abscisse $k$ de $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$.
   a. Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, la distance $C_kD_k$ entre les points $C_k$ et $D_k$ est donnée par $C_kD_k = \dfrac{\ln(k)}{k}$.
   $\quad$
   b. Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$ supérieur ou égal à $2$ tel que la distance $C_kD_k$ soit inférieure ou égale à $10^{-2}$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3    5 points

Soit $a$ un nombre réel fixé non nul.

Le but de cet exercice est d’étudier la suite $\left(w_n\right)$ définie par: $$w_0 = a\quad \text{ et, pour tout } n\text{ de } \N,\quad w_{n+1} = \e^{2w_n}-\e^{w_n}.$$

On remarquera que cette égalité peut aussi s’écrire : $w_{n+1} = \e^{w_n}\left(\e^{w_n}-1\right)$.

1. Soit $h$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : $$h(x) = \e^{2x}-\e^{x}-x.$$
   a. Calculer $h'(x)$ et prouver que, pour tout réel $x $ : $h'(x) = \left(\e^{x}-1\right)\left(2\e^{x} + 1\right)$.
   $\quad$
   b. Déterminer les variations de la fonction $h$ et donner la valeur de son minimum.
   $\quad$
   c. En remarquant que $w_{n+1}-w_n = h\left(w_n\right)$, étudier le sens de variation de la suite $\left(w_n\right)$.
   $\quad$
2. Dans cette question, on suppose que $a \pp 0$.
   a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $w_n \pp 0$.
   $\quad$
   b. Déduire des questions précédentes que la suite $\left(w_n\right)$ est convergente.
   $\quad$
   c. Dans le cas où $a$ vaut $0$, donner la limite de la suite $\left(w_n\right)$.
   $\quad$
3. Dans cette question, on suppose que $a > 0$.
   La suite $\left(w_n\right)$ étant croissante, la question 1. permet d’affirmer que, pour tout entier naturel $n$, $w_n\pg a$.
   a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $w_{n+1}-w_n \pg h(a)$.
   $\quad$
   b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $w_n \pg a + n \times h(a)$.
   $\quad$
   c. Déterminer la limite de la suite $\left(w_n\right)$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4    5 points

On note $\C$ l’ensemble des nombres complexes.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé $\Ouv$. On prendra comme unité 2 cm sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.

On considère la fonction $g$ qui à tout nombre complexe $z$ associe $$g(z) = z^2 + 2z + 9.$$

1. Calculer l’image de $- 1 + \ic\sqrt{3}$ par la fonction $g$.
   $\quad$
   a. Résoudre dans $\C$ l’équation $g(z) = 5$.
   $\quad$
   b. Calculer les modules des solutions de l’équation précédente.
   $\quad$
   c. Construire sur le graphique les points $A$ et $B$ dont l’affixe est solution de l’équation ($A$ étant le point dont l’affixe a une partie imaginaire positive).
   $\quad$
2. Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l’équation $g(z) = \lambda$ d’inconnue $z$.
   Déterminer l’ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l’équation $g(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées.
   $\quad$
3. Soit $(G)$ l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe $z$ vérifie $$|g(z) – 8| = 3.$$
   Prouver que $(G)$ est le cercle de centre $\Omega(-1;0)$ et de rayon $\sqrt{3}$.
   Tracer $(G)$ sur le graphique.
   $\quad$
4. Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \ic y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels.
   a. Montrer que la forme algébrique de $g(z)$ est $$x^2 – y^2 + 2x + 9 + \ic (2xy + 2y).$$
   $\quad$
   b. On note $(E)$ l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe $z$ est telle que $g(z)$ soit un nombre réel.
   Montrer que $(E)$ est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations.
   Compléter le graphique de l’annexe en traçant ces droites.
   $\quad$
5. Déterminer les coordonnées des points d’intersection des ensembles $(E)$ et $(G)$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 1

1. a. On obtient l’arbre de probabilités suivant :
   
   b. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*}
   p\left(R_2\right)&= p\left(R_1\cap R_2\right)+p\left(B_1\cap R_2\right) \\
   &=\dfrac{k}{k+3}\times \dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{k+3}\times \dfrac{1}{2} \\
   &=\dfrac{3k}{4k+12}+\dfrac{6}{4k+12}\\
   &=\dfrac{3k+6}{4k+12}
   \end{align*}$
   $\quad$
2. a. Si le joueur tire un jeton rouge du deuxième sac alors il reçoit $12$ euros. Il avait miser $8$ euros initialement. Son gain algébrique est donc de $12-8=4$ euros.
   Si le joueur ne tire pas un jeton rouge du deuxième sac alors il perd sa mise initiale de $8$ euros.
   La variable aléatoire $X$ ne prend donc que deux valeurs $4$ et $-8$.
   $\quad$
   b. D’après la question 1.b. $P(X=4)= \dfrac{3\times 12+6}{4\times 12+12}= \dfrac{7}{10}$.
   $\quad$
   Par conséquent $P(X=-8)=1-P(X=4) = \dfrac{3}{10}$.
   $\quad$
   c. L’espérance mathématique de $X$ est :
   $\begin{align*} E(X)&=4\times P(X=4)+(-8)\times P(X=-8)\\
   &=4\times \dfrac{7}{10}-8\times \dfrac{3}{10}\\
   &=\dfrac{4}{10} \\
   &=\dfrac{2}{5}
   \end{align*}$
   $\quad$
   d. $E(X)>0$ : le jeu est donc favorable au joueur.
   $\quad$
3. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de jetons rouges tirés du deuxième sac.
   On effectue $n$ tirages aléatoires, indépendants et identiques. Chaque tirage possède $2$ issues : $R_2$ et $\overline{R_2}$. On sait que $p\left(R_2\right)=\dfrac{7}{10} = 0,7$.
   La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,7$.
   On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que :
   $\begin{align*}
   P(Y\pg 1) \pg 0,99&\ssi 1-P(Y=0) \pg 0,99 \\
   &\ssi 1-(1-0,7)^n \pg 0,99\\
   &\ssi -0,3^n \pg -0,01 \\
   &\ssi 0,3^n \pp 0,01 \\
   &\ssi n\ln 0,3 \pp \ln 0,01 \\
   &\ssi n \pg \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,3}\\
   &\ssi n \pg 4
   \end{align*}$

Exercice 1

Partie A : divisibilité des un-entier dans quelques cas particuliers

1. Le chiffre des unités de $N_p$ est $1$.
   Un nombre est divisible par $2$ si son chiffre des unités est pair.
   Un nombre est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
   Par conséquent $N_p$ n’est divisible ni par $2$ ni par $5$.
   $\quad$
2. a. $10\equiv 1$ mod $3$ donc pour tout entier naturel $j$ on a $10^j \equiv 1$ mod $3$.
   $\quad$
   b. $\displaystyle \sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k \equiv \sum_{k=0}^{k=p-1} 1$ mod $3$ $\equiv p$ mod $3$.
   $\quad$
   c. $N_p$ est divisible par $3$ si, et seulement si, $p$ mod $3 = 0$ c’est-à-dire si, et seulement si, $p$ est un multiple de $3$.
   $\quad$
3. a.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   m&0&1&2&3&4&5&6 \\
   \hline
   a&1&3&2&-1&-3&-2&1\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. On a $p=6q+r$ ou $q$ est un entier relatif et $q$ un entier naturel strictement inférieur à $6$.
   Ainsi $10^p=\left(10^6\right)^q\times 10^r \equiv 1^q\times 10^r$ mod $7$.
   D’après le tableau précédent $10^p\equiv 1$ mod $7$ si, et seulement si, $p=0$ ou $p=6$.
   Ainsi $10^p \equiv 1$ mod $7$ si, et seulement si, $r=0$ c’est-à-dire si, et seulement si, $p$ est un multiple de $6$.
   $\quad$
   c. Pour tout entier naturel $p$ non nul, $N_p$ est la somme des $p$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $10$.
   Ainsi $N_p=\dfrac{1-10^p}{1-10}=\dfrac{10^p-1}{9}$.
   $\quad$
   d. $7$ et $9$ sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss, $7$ divise $N_p$ est équivalent à $7$ divise $9N_p$.
   $\quad$
   e.
   $\begin{align*} N_p \equiv 0 \text{ mod } 7&\ssi 9N_p\equiv 0 \text{ mod } 7 \\
   &\ssi 10^p-1 \equiv 0 \text{ mod } 7 \\
   &\ssi 10^p \equiv 1 \text{ mod } 7\\
   &\ssi p \equiv 0 \text{ mod } 6
   \end{align*}$
   Donc $N_p$ est divisible par $7$ si, et seulement si, $p$ est un multiple de $6$.
   $\quad$

Partie B : un un-entier strictement supérieur à $1$ n’est jamais un carré parfait

1. a.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   n\equiv \ldots ~[10]&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\
   \hline
   n^2=\ldots ~[10]&0&1&4&9&6&5&6&9&4&1\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. Le chiffre des unités de $n^2$ se termine par le chiffre $1$ si, et seulement si, le chiffre des unités de $n$ se termine par $1$ ou par $9$.
   Or $9\equiv -1$ mod $10$
   Cela signifie donc qu’il existe un entier naturel $m$ tel que $n=10m+1$ ou $n=10m-1$.
   $\quad$
   c. Si $n=10m+1$ alors $n^2=100m^2+20m+1 \equiv 1$ mod $20$.
   Si $n=10m-1$ alors $n^2=100m^2-20m+1\equiv 1$ mod $20$.
   Dans tous les cas $n^2\equiv 1$ mod $20$.
   $\quad$
2. Si $n\pg 2$ alors $N_p=\underbrace{11\ldots 1}_{p-2 \text{ fois}}00+11=100\displaystyle \sum_{k=2}^{k=p-1}10^{k-2}+11 \equiv 11$ mod $20$
   $\quad$
3. D’après la question B.1.c. si $n^2 \equiv 1$ mod $10$ alors $n^2 \equiv 1$ mod $20$.
   Or $N_p\equiv 1$ mod $10$ et $N_p \equiv 11$ mod $20$.
   Donc $N_p$ n’est pas le carré d’un entier.

 

Exercice 2

Partie A : Restitution organisée des connaissances

$\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{t \to +\infty}\dfrac{\e^t}{t}=+\infty$.
Par composition des limites on a donc $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\e^{\ln(x)}}{\ln x}=+\infty$ soit $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x}{\ln(x)}=+\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}= \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{\dfrac{x}{\ln(x)}}= 0$

Partie B

1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[1;+\infty[$ en tant que somme de fonction dérivables sur cet intervalle.
   $f'(x)=2x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x^2+1}{x}$
   Or sur $[1;+\infty[$ on a $2x^2+1\pg 0$ donc $f'(x) > 0$.
   La fonction $f$ est, par conséquent, strictement croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
   Or $f(1)=1-1+\ln(1)=0$.
   La fonction $f$ est donc positive sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
   $\quad$
   Autre méthode :
   La fonction $x\mapsto x^2-1$ est positive sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
   La fonction $\ln$ est positive sur ce même intervalle.
   Par conséquent la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
   $\quad$
2. a. La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $[1;+\infty[$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
   $g'(x)=1-\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2}=1-\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}=\dfrac{x^2-1+\ln(x)}{x^2}=\dfrac{f(x)}{x^2}$
   $\quad$
   b. Pour tout $x \pg 1$ on a $x^2 >1$.
   Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $f(x)$. D’après la question précédente on sait que la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
   Par conséquent $g'(x) \pg 0$ et la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
   $\quad$
   c. $g(x)-x=-\dfrac{\ln(x)}{x}$.
   D’après la partie A on sait que $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)-x=0$.
   $\quad$
   Graphiquement, cela signifie que la courbe $\mathscr{C}$ et la droite d’équation $y=x$ sont très proches l’une de l’autre pour de grandes valeurs de $x$. On dit que la droite est une asymptote oblique à la courbe $\mathscr{C}$.
   $\quad$
   d. On sait que $g(x)-x=-\dfrac{\ln(x)}{x}$.
   Pour tout $x \pg 1$ on a $\ln(x) \pg 0$ et $x > 0$.
   Par conséquent $g(x)-x \pp 0$ sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
   La droite $\mathscr{D}$ est donc toujours au-dessus de la courbe $\mathscr{C}$.
   $\quad$
3. a. Les coordonnées des points $C_k$ et $D_k$ sont respectivement $\left(k;g(k)\right)$ et $(k;k)$.
   Ces deux points ont la même abscisse et, d’après la question précédente on sait que $g(k)-k\pp 0$.
   Par conséquent $C_kD_k=k-g(k)=\dfrac{\ln(k)}{k}$.
   b. Un algorithme répondant à la question est :
   Variables
   $\quad$ $k$ est un nombre entier
   Initialisation
   $\quad$ $k$ prend la valeur $2$
   Traitement
   $\quad$ Tant que $\dfrac{\ln(k)}{k}>0,01$
   $\qquad$ $k$ prend la valeur $k+1$
   $\quad$ Fin Tant que
   Sortie
   $\quad$ Afficher $k$
   $\quad$

Exercice 3

1. a. La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a : $h'(x)=2\e^{2x}-\e^x-1$.
   Or $\left(\e^x-1\right)\left(2\e^x+1\right)=2\e^{2x}+\e^x-2\e^x-1=2\e^x-\e^x-1=h'(x)$.
   $\quad$
   b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $2\e^x+1 > 0$.
   Le signe de $h'(x)$ ne dépend donc que de celui de $\e^x-1$.
   Or $\e^x>1 \ssi x> 0$.
   Ainsi $h'(x) > 0 \ssi x>0$.
   La fonction $h$ est, par conséquent, strictement décroissante sur l’intervalle $]-\infty;0]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
   La fonction $h$ atteint donc sont minimum en $0$ et $h(0)=1-1-0=0$.
   On en déduit alors que la fonction $h$ est positive sur $\R$.
   $\quad$
   c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $w_{n+1}-w_n=\e^{2w_n}-\e^{w_n}-w_n = h\left(w_n\right)$.
   On sait que la fonction $h$ est positive sur $\R$ donc $w_{n+1}-w_n=h\left(w_n\right)\pg 0$.
   La suite $\left(w_n\right)$ est donc croissante.
   $\quad$
2. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $w_0=a<0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $w_n \pp 0$.
   $w_{n+1}=\e^{w_n}\left(\e^{w_n}-1\right)$.
   La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc $\e^{w_n}>0$.
   Par hypothèse $w_n\pp0$ donc $\e^{w_n}\pp 1$ donc $\e^{w_n}-1 \pp 0$.
   Par conséquent $w_{n+1}\pp 0$ et la propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $w_n \pp 0$.
   $\quad$
   b. La suite $\left(w_n\right)$ est donc croissante et majorée par $0$ : elle converge.
   $\quad$
   c. Montrons que, pour tout entier naturel $n$, on a $w_n=0$.
   Initialisation : Si $n=0$ : $w_0=a=0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $w_n=0$
   Alors $w_{n+1}=\e^0-\e^0=1-1=0$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Donc, pour tout entier naturel $n$, $w_n=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} w_n=0$.
   $\quad$
   Autre méthode (beaucoup plus rapide) : La suite $\left(w_n\right)$ est croissante et majorée par $0$. Puisque $w_0=0$ alors la suite est constante et, pour tout entier naturel $n$, on a $w_n=0$. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} w_n=0$.
   $\quad$
3. a. On sait que, pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}-w_n=h\left(w_n\right)$.
   On sait de plus que $w_n\pg a > 0$ et que la fonction $h$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
   Par conséquent $h\left(w_n\right) > h(a)$.
   On en déduit donc que $w_{n+1}-w_n \pg h(a)$.
   $\quad$
   b. Initialisation : Si $n=0$ alors $w_0=a \pg a + 0\times h(a)$.
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $w_n \pg a+n\times h(a)$.
   D’après la question précédente :
   $w_{n+1} \pg h(a)+w_n \pg h(a)+a+n \times h(a)$
   Donc $w_{n+1} \pg a+(n+1) \times h(a)$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Pour tout entier naturel $n$, on a $w_n \pg a+n\times h(a)$.
   $\quad$
   c. La fonction $h$ est positive et n’atteint son minimum qu’en $0$.
   Comme $a>0$ cela signifie que $h(a)>0$. Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} a+n\times h(a) =+\infty$.
   D’après le théorème de comparaison $\lim\limits_{n \to +\infty} w_n=+\infty$.
   $\quad$

Exercice 4

 

1. $\quad$
   $\begin{align*} g\left(-1+\ic \sqrt{3}\right)&=\left(-1+\ic \sqrt{3}\right)^2 + 2\left(-1+\ic \sqrt{3}\right)+9 \\
   &=-1-3-2\ic\sqrt{3}-2+2\ic\sqrt{3}+9\\
   &=5
   \end{align*}$
   $\quad$
2. a. $g(z)=5\ssi z^2+2z+9=5 \ssi z^2+2z+4=0$
   Le discriminant est $\Delta = 4-4\times 4 = -12<0$.
   L’équation possède donc deux solutions complexes :
   $z_1=\dfrac{-2-\ic\sqrt{12}}{2}=-1-\ic\sqrt{3}$ et $z_2=\conj{z_1}=-1+\ic\sqrt{3}$.
   $\quad$
   b. $\left|z_1\right|=\sqrt{(-1)^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{1+3}=2$.
   Puisque $z_2=\conj{z_1}$ alors $\left|z_2\right|=\left|z_1\right|=2$.
   $\quad$
   c. Les parties réelles de $z_1$ et $z_2$ sont égales à $-1$ et leur module vaut $2$. Les points $A$ et $B$ sont donc les points d’intersection de la droite d’équation $x=-1$ et du cercle de centre $O$ et de rayon $2$.
   (Voir figure)
   $\quad$
3. $g(z)-\lambda = z^2+2z+9-\lambda$.
   Le discriminant est alors $\Delta = 4-4\times(9-\lambda)=4-36+4\lambda = -32+4\lambda=4(\lambda-8)$.
   Ainsi $\Delta <0 \ssi \lambda-8<0 \ssi \lambda <8$.
   L’équation $g(z)=\lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées pour toute valeur de $\lambda$ appartenant à l’intervalle $]-\infty;8[$.
   $\quad$
4. $g(z)-8=z^2+2z+9-8=z^2+2z+1=(z+1)^2$.
   Ainsi $\left|g(z)-8\right|=3\ssi |z+1|^2=3 \ssi |z+1|=\sqrt{3} \ssi \Omega M=\sqrt{3}$ où $\Omega$ est le point du plan d’affixe $-1$ et $M$ celui d’affixe $z$.
   L’ensemble $G$ est donc le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $\sqrt{3}$.
   (Voir figure)
   $\quad$
5. a. On pose $z=x+\ic y$.
   On a alors :
   $\begin{align*}
   g(z)&=\left(x+\ic y\right)^2+2(x+\ic y)+9 \\
   &=x^2-y^2+2xy\ic +2x+2y \ic + 9 \\
   &=x^2-y^2+2x+9+\ic\left(2xy+2y\right)
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. $g(z)$ est un réel si, et seulement si, sa partie imaginaire est nulle c’est-à-dire si, et seulement si, $2xy+2y=0$.
   Or $2xy+2y=2y(x+1)$.
   Donc $2xy+2y=0 \ssi y=0 \text{ ou } x=-1$.
   $(E)$ est donc la réunion des droites $D_1$ et $D_2$ d’équation respective $y=0$ et $x=-1$.
   (Voir figure)
   $\quad$
   c. Si $M(x+\ic y)$ appartient à $(E)\cap \left(D_1\right)$ alors $y=0$ et $\left|x+\ic y+1\right|=\sqrt{3}$.
   Soit $y=0$ et $|x+1|=\sqrt{3}$
   Donc $y=0$ et $x+1=\sqrt{3}$ ou $x+1=-\sqrt{3}$.
   D’où $y=0$ et $x=\sqrt{3}-1$ ou $x=-1-\sqrt{3}$.
   $\quad$
   Si $M(x+\ic y)$ appartient à $(E)\cap \left(D_2\right)$ alors $x=-1$ et $\left|x+\ic y+1\right|=\sqrt{3}$
   Soit $x=-1$ et $|\ic y|=\sqrt{3}$
   Donc $x=-1$ et $y=\sqrt{3}$ ou $y=-\sqrt{3}$
   Les points d’intersection des ensembles $(E)$ et $(F)$ ont donc comme coordonnées $\left(\sqrt{3}-1;0\right)$, $\left(-1-\sqrt{3};0\right)$, $\left(-1;\sqrt{3}\right)$ et $\left(-1;-\sqrt{3}\right)$.
   $\quad$