Exercice 1    4 points

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

La chocolaterie “Choc’o” fabrique des tablettes de chocolat noir, de $100$ grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de $85\%$.

Partie A

À l’issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc.

La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication:

• la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à $0,98$.
• la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commercialisable est $0,95$.

À la fin d’une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note :

$\quad$ $A$ l’ événement: “la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A” ;
$\quad$  $C$ l’événement : “la tablette de chocolat est commercialisable”.

On note $x$ la probabilité qu’une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.

1. Montrer que $P(C) = 0,03x + 0,95$.
   $\quad$
2. À l’issue de la production, on constate que $96\%$ des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu’une tablette soit commercialisable.
   Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A.
   $\quad$

Partie B

Cette chocolaterie vend également de délicieux rochers pralinés emballés dans de jolis papiers de différentes couleurs. Une cuve contient une grande quantité de rochers. La probabilité que le rocher soit emballé avec un papier bleu est de $0,3$.

1. Dans cette question un gourmand pioche au hasard $30$ rochers de la cuve. Le nombre de rochers est suffisamment grand pour que le tirage soit considéré comme un tirage avec remise.
   Quelle est la probabilité qu’il y ait exactement $10$ rochers emballés en bleus ? Justifier soigneusement la réponse. Arrondir au millième.
   $\quad$
2. On aimerait connaître le nombre minimum de rochers que le gourmand doit piocher pour que la probabilité d’en avoir au moins un emballé en bleu soit supérieure ou égale à $0,99$ .
   a. Montrer que cela revient à résoudre l’inéquation : $0,7^n \pp 0,01$.
   $\quad$
   b. Résoudre cette inéquation et répondre au problème posé.
   $\quad$

 

Exercice 2     5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $$f(x)=\dfrac{\left(\ln x\right)^2}{x}$$

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative d $f$ dans un repère orthonormé.

1. a. Déterminer la limite en $0$ de la fonction $f$ et interpréter graphiquement le résultat.
   $\quad$
2. a. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0;+\infty[$, $$f(x)=4\left(\dfrac{\ln\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\right)^2$$
   $\quad$
   b. En déduire que l’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$.
   $\quad$
3. On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
   a. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0;+\infty[$, $$f'(x)=\dfrac{\ln(x)\left(2-\ln(x)\right)}{x^2}$$
   $\quad$
   b. En déduire que l’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$.
   $\quad$
4. On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
   a. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0;+\infty[$, $$f'(x)=\dfrac{\ln(x)\left(2-\ln(x)\right)}{x^2}$$
   $\quad$
   b. Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs du nombre réel $x$ strictement positif.
   $\quad$
   c. Calculer $f (1)$ et $f\left(\e^2\right)$.
   On obtient alors le tableau de variation ci-dessous.
   
   $\quad$
5. Démontrer que l’équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$ et donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
   $\quad$

Exercice 3    3 points

Soit $k$ un réel strictement positif. On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\R$ par : $$f_k(x) = x + k\e^{- x}$$

On note $\mathscr{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathscr{C}_k$ pour différentes valeurs de $k$.

Pour tout réel $k$ strictement positif, la fonction $f_k$ admet un minimum sur $\R$. La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l’abscisse du point noté $A_k$ de la courbe $\mathscr{C}_k$. il semblerait que, pour tout réel $k$ strictement positif, les points $A_k$ soient alignés.
Est-ce le cas ?
$\quad$

Exercice 4    3 points

Les questions 1. et 2. de cet exercice pourront être traitées de manière indépendante.

On considère la suite des nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $$z_n = \dfrac{1 + \text{i}}{(1-\text{i})^n}.$$
On se place dans le plan complexe d’origine $O$.

1. Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d’affixe $z_n$.
   a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}$ est réel.
   $\quad$
   b. Démontrer alors que, pour tout entier naturel $n$, les points O, $A_n$ et $A_{n+4}$ sont alignés.
   $\quad$
2. Pour quelles valeurs de $n$ le nombre $z_n$ est-il réel ?
   $\quad$

Exercice 5     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=3$, $u_1=6$  et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+2}=\dfrac{5}{4}u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n$$

Le but de cet exercice est d’étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$.

Partie A 

On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ à l’aide d’un tableur.
On a reproduit ci-dessous une partie d’une feuille de calcul, où figurent les valeurs de $u_0$ et de $u_1$.

1. Donner une formule qui, saisie dans la cellule $B4$, puis recopiée vers le bas, permet d’obtenir des valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ dans la colonne $B$.
   $\quad$
2. Recopier et compléter le tableau ci-dessus. On donnera des valeurs approchées à $10^{−3}$ près de $u_n$ pour $n$ allant de $2$ à $5$.
   $\quad$
3. Que peut-on conjecturer à propos de la convergence de la suite $\left(u_n\right)$?
   $\quad$

Partie B : Étude de la suite

On considère les suite $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par $$v_n=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n \quad \text{et} \quad w_n=u_n-7$$

1. a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite constante.
   $\quad$
   b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}$.
   $\quad$
2. a. En utilisant le résultat de la question 1.b., montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n<u_{n+1}<15$.
   $\quad$
   b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
   $\quad$
3. a. Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   $\quad$
   b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=7-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
   $\quad$
   c. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$

Exercice 5     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans un territoire donné, on s’intéresse à l’évolution couplée de deux espèces : les buses (les prédateurs) et les campagnols (les proies).
Des scientifiques modélisent, pour tout entier naturel $n$, cette évolution par :

$$\begin{cases} b_0&=1~000\\c_0&=1~500\\b_{n+1}&=0,3b_n+0,5c_n\\c_{n+1}&=-0,5b_n+1,3c_n\end{cases}$$

où $b_n$ représente approximativement le nombre de buses et $c_n$ le nombre approximatif de campagnols le 1$^{\text{er}}$ juin de l’année 2000+$n$ (où $n$ désigne un entier naturel).

1. On note $A$ la matrice $\begin{pmatrix} 0,3&0,5\\-0,5&1,3\end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n$, $U_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix} b_n\\c_n\end{pmatrix}$.
   a. Vérifier que $U_1=\begin{pmatrix}1~050\\1~450\end{pmatrix}$ et calculer $U_2$.
   $\quad$
   b. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=AU_n$.
   On donne les matrices $P=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$, $T=\begin{pmatrix}0,8&0,5\\0&0,8\end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
   $\quad$
2. On admet que $P$ a pour inverse une matrice $Q$ de la forme $\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}$ où $a$ est un réel.
   a. Déterminer la valeur de $a$ en justifiant.
   $\quad$
   b. On admet que $A=PTQ$ démontrer que, pour tout entier $n$ non nul, on a $A^n=PT^nQ$.
   $\quad$
   c. Démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout entier $n$ non nul, $$T^n=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix}$$
   $\quad$
3. Lucie exécute l’algorithme ci-dessous et obtient en sortie $N=40$
   Quelle conclusion Lucie peut-elle énoncer pour les buses et les campagnols?
   Initialisation :
   $\quad$ $N$ prend la valeur $0$
   $\quad$ $B$ prend la valeur $1~000$
   $\quad$ $C$ prend la valeur $1~500$
   Traitement :
   $\quad$ Tant que $B>2$ ou $C>2$
   $\qquad$ $N$ prend la valeur $N+1$
   $\qquad$ $R$ prend la valeur $B$
   $\qquad$ $B$ prend la valeur $0,3R+0,5C$
   $\qquad$ $C$ prend la valeur $-0,5R+1,3C$
   $\quad$ Fin Tant que
   Sortie :
   $\quad$ Afficher $N$
   $\quad$
4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $$U_n=\begin{pmatrix} 1~000\times 0,8^n+\dfrac{625}{2}n\times 0,8^n\\1~500 \times 0,8^n+\dfrac{625}{2}n\times 0,8^n\end{pmatrix}$$
   et
   $$n\pp 10\times 1,1^n$$
   a. En déduire les limites des suites $\left(b_n\right)$ et $\left(c_n\right)$.
   $\quad$
   b. Des mesures effectuées dans des territoires comparables montrent que la population de campagnols reste toujours supérieur à au moins $50$ individus.
   À la lumière de ces informations, le modèle proposé dans l’exercice vous paraît-il cohérent?
   $\quad$

Exercice 1

Partie A

1. On peut représenter la situation à l’aide de l’arbre pondéré suivant :
   
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(C)&=p(A\cap C)+p\left(\conj{A}\cap C\right) \\
   &=0,98x+0,95(1-x)\\
   &=0,98x+0,95-0,95x\\
   &=0,03x+0,95
   \end{align*}$
   $\quad$
2. On sait que  :
   $\begin{align*} p(C)=0,96 &\ssi 0,03x+0,95=0,96\\
   &\ssi 0,03x=0,01\\
   &\ssi x = \dfrac{1}{3}
   \end{align*}$
   Ainsi $p(A)=\dfrac{1}{3}$ et $p(B)=1-\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{2}{3}$ $=2p(A)$.
   $\quad$

Partie B

1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de rochers emballés en bleus.
   On effectue $30$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage, il n’y a que $2$ issues : $S$ l’événement “le rocher est emballé en bleu” et $\conj{S}$. De plus $p(S)=0,3$.
   La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,3$.
   Ainsi $P(X=10)=\displaystyle \binom{30}{10}\times 0,3^{10}\times 0,7^{20} \approx 0,142$.
   La probabilité qu’il y ait exactement $10$ rochers emballés en bleus est donc environ égale à $0,142$.
   $\quad$
2. a. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de rochers emballés en bleus.
   On effectue $n$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage, il n’y a que $2$ issues : $S$ l’événement “le rocher est emballé en bleu” et $\conj{S}$. De plus $p(S)=0,3$.
   La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,3$.
   Ainsi :
   $\begin{align*}
   P(Y\pg 1)\pg 0,99 &\ssi 1-P(Y=0) \pg 0,99 \\
   &\ssi 1-0,7^n \pg 0,99 \\
   &\ssi -0,7^n \pg -0,01 \\
   &\ssi 0,7^n \pp 0,01
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. On cherche donc le plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*}
   0,7^n \pp 0,01 &\ssi n\ln(0,7) \pp \ln(0,01) \\
   &\ssi n \pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,7)}
   \end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,7)} \approx 12,91$.
   Ainsi $n \pg 13$. Il faut donc piocher au minimum $13$ rochers pour que la probabilité d’en avoir au moins un emballé en bleu soit supérieure ou égale à $0,99$.
   $\quad$

Exercice 2

1. $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$ donc $\lim\limits_{X \to 0^+} \left(\ln x\right)^2=+\infty$
   $\lim\limits_{X \to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{X \to 0^+} f(x)=+\infty$.
   La droite d’équation $x=0$ est donc une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $0$.
   $\quad$
2. a.
   $\begin{align*} 4\left(\dfrac{\ln\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\right)^2 &=4\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}\ln x}{\sqrt{x}}\right)^2 \\
   &=4\times \dfrac{\dfrac{1}{4}\left(\ln x\right)^2}{x} \\
   &=f(x)
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x}=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{\ln X}{X}=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}=0$
   Ainsi $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =0$.
   L’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$.
   $\quad$
3. a.
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x\times \dfrac{1}{x}\times \ln x-\left(\ln x\right)^2}{x^2} \\
   &=\dfrac{2\ln x-\left(\ln x\right)^2}{x^2} \\
   &=\dfrac{\ln(x)\left(2-\ln(x)\right)}{x^2}
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. $2-\ln(x)=0 \ssi x=\e^2$ et $2-\ln(x)>0 \ssi 2>\ln(x)\ssi \e^2>x$
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend que du signe de $\ln(x)\left(2-\ln(x)\right)$.
   On obtient ainsi le tableau de signe suivant :
   $\quad$
   c. $\ln(1)=0$ donc $f(1)=0$
   $f\left(\e^2\right)=\dfrac{\ln\left(\e^2\right)^2}{\e^2}=\dfrac{2^2}{\e^2}=\dfrac{4}{\e^2}$
   $\quad$
4. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $]0;1]$.
   $\lim\limits_{x \to 0^+}f(x)=+\infty$ et $f(1)=0$
   Donc $1\in [0;+\infty[$
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=1$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]0;1]$.
   Sur l’intervalle $[1;+\infty[$ on a $f(x)\pp \dfrac{4}{\e^2}<1$. L’équation $f(x)=1$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
   $\quad$
   Cela signifie par conséquent que l’équation $f(x)=1$ possède une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$ et $\alpha \in ]0,49;0,50[$ d’après la calculatrice.
   $\quad$

Exercice 3

La fonction $f_k$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
On a, pour tout réel $x$, $f’_k(x)=1-k\e^{-x}$.
Ainsi
$\begin{align*} f’_k(x)=0 &\ssi k\e^{-x}=1 \\
&\ssi \e^{-x}=\dfrac{1}{k} \\
&\ssi -x=\ln \dfrac{1}{k} \\
&\ssi -x=-\ln k\\
&\ssi x=\ln k
\end{align*}$

$f(\ln k)=\ln k+k\e^{-\ln k}=1+\ln k$

Les points $A_k$ ont donc pour coordonnées $(\ln k;1+\ln k)$

Par conséquent les points $A_k$ appartiennent à la droite d’équation $y=1+x$.
Ils sont donc alignés.

$\quad$

Exercice 4

1. a. $z_{n+4}=\dfrac{1+\ic}{(1-\ic)^n(1-\ic)^4}=\dfrac{1+\ic}{-4(1-\ic)^n}=\dfrac{-1}{4}z_n$
   Par conséquent $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}=-\dfrac{1}{4}$.
   $\quad$
   b. Un argument de $\dfrac{z_{n+4}}{z_n}$ est donc $\pi$.
   Or $\left(\vect{OA_n},\vect{OA_{n+4}}\right)=$arg$\left(\dfrac{z_{n+4}}{z_n}\right)+2k\pi=\pi+2k\pi$
   Les points $O,A_n$ et $A_{n+4}$ sont donc alignés.
   $\quad$
2. $|1+\ic|=\sqrt{2}$ donc $1+\ic=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)=\sqrt{2}\e^{\ic\pi/4}$
   De même $1-\ic=\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}$
   Ainsi $z_n=\dfrac{\sqrt{2}\e^{\ic\pi/4}}{\left(\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}\right)^n}=\sqrt{2}^{1-n}\e^{\ic(n+1)\pi/4}$
   $z_n$ est réel si, et seulement si, $n+1=4k$ avec $k\in \Z$
   si, et seulement si, $n=4k-1$ avec $k\in \Z$
   $\quad$

Exercice 5 

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

1. On peut saisir $=5/4*B3-B2/4$
   $\quad$
2. On obtient le tableau suivant :
   $\begin{array}{|c|c|c|}
   \hline
   &\text{A}&\text{B}\\
   \hline
   1&n&u_n\\
   \hline
   2&0&3\\
   \hline
   3&1&6\\
   \hline
   4&2&\boldsymbol{6,75}\\
   \hline
   5&3&\boldsymbol{6,938}\\
   \hline
   6&4&\boldsymbol{6,984}\\
   \hline
   7&5&\boldsymbol{6,996}\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
3. Il semblerait donc que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $7$.
   $\quad$

Partie B : Étude de la suite

1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+2}-\dfrac{1}{4}u_{n+1}\\
   &=\dfrac{5}{4}u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n-\dfrac{1}{4}u_{n+1}\\
   &=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n\\
   &=v_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc constante et $v_0=u_1-\dfrac{u_0}{4}=\dfrac{21}{4}$.
   $\quad$
   b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\dfrac{21}{4}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_n \ssi u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}$.
   $\quad$
2. a. Initialisation : Si $n=0$. On a $u_0=3$ et $u_1=6$ donc $u_0<u_1<15$
   La propriété est vraie au rang $0$
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n<u_{n+1}<15$
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}<u_{n+2}<15$
   $\begin{align*} u_n<u_{n+1}<15 &\ssi \dfrac{1}{4}u_n<\dfrac{1}{4}u_{n+1}<\dfrac{15}{4} \\
   &\ssi \dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}<\dfrac{1}{4}u_{n+1}+\dfrac{21}{4}<\dfrac{15}{4}+\dfrac{21}{4} \\
   &\ssi u_{n+1}<u_{n+2}<9<15
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n<u_{n+1}<15$.
   $\quad$
   b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $15$; elle est donc convergente.
   $\quad$
3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} w_n&=u_{n+1}-7 \\
   &=\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{21}{4}-7\\
   &=\dfrac{1}{4}u_n-\dfrac{7}{4} \\
   &=\dfrac{1}{4}\left(u_n-7\right) \\
   &=\dfrac{1}{4}w_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $w_0=3-7=-4$
   $\quad$
   b. Ainsi pour tout entier naturel $n$ on a $w_n=-4\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n=-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$
   Or $w_n=u_n-7$ donc $u_n=w_n+7=7-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$
   $\quad$
   c. $-1<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=7$.
   $\quad$

Exercice 5

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. a. On a $\begin{cases} b_1=0,3\times 1~000+0,5\times 1~500\\c_1=-0,5\times 1~000+1,3\times 1~500\end{cases}$ soit $\begin{cases} b_1=1~050\\c_1=1~450\end{cases}$
   Ainsi $U_1=\begin{pmatrix}1~050\\1~450\end{pmatrix}$
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{cases} b_{n+1}=0,3b_n+0,5c_n\\c_{n+1}=-0,5b_n+1,3c_n\end{cases} \ssi \begin{pmatrix}b_{n+1}\\c_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,3&0,5\\-0,5&1,3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}b_n\\c_n\end{pmatrix}$ $\ssi U_{n+1}AU_n$.
   $\quad$
2. a. $Q$ est la matrice inverse de $P$ donc
   $\begin{align*} PQ=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} &\ssi \begin{pmatrix}1&0\\1+a&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \\
   &\ssi 1+a=0 \\
   &\ssi a=-1
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. Montrons par récurrence sur $n$ que $A^n=PT^nQ$.
   Initialisation : il est admis que $A=PTQ$. La propriété est donc vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=PT^nQ$
   Montrons qu’elle est vraie au rang suivant c’est-à-dire $A^{n+1}=PT^{n+1}Q$
   $\begin{align*} A^{n+1}&=A^nA\\
   &=PT^nQPTQ \\
   &=PT^nTQ\\
   &=PT^{n+1}Q
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $A^n=PT^nQ$.
   $\quad$
   c. Initialisation : Si $n=1$ on a :
   $\begin{pmatrix}0,8&0,5\times 1\times 1\\0&0,8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,8&0,5\\0&0,8\end{pmatrix}=T$
   La propriété est donc vraie au rang $1$
   $\quad$
   Hérédité : On suppose que la propriété est vraie au rang $n$ : $T^n=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix}$.
   Montrons qu’elle est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $T^{n+1}=\begin{pmatrix}0,8^{n+1}&0,5(n+1)\times 0,8^{n}\\0&0,8^{n+1}\end{pmatrix}$
   $\begin{align*} T^{n+1}&=T^nT \\
   &=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,8&0,5\\0&0,8\end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix} 0,8^{n+1}+0&0,5\times 0,8^{n}+0,5n\times 0,8^n\\0&0,8^{n+1}\end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix}0,8^{n+1}&0,5\times 0,8^{n}(1+n)\\0&0,8^{n+1}\end{pmatrix}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a :$T^n=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix}$.
   $\quad$
3. L’algorithme permet de dire qu’en 2040 le nombre de buses et celui de campagnols seront inférieurs ou égaux à $2$ (ce qui est très bas).
   $\quad$
4. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
   $b_n=1~000\times 0,8n+\dfrac{625}{2}n\times 0,8^n$ et $c_n=1~500\times 0,8^n+\dfrac{625}{2}n\times 0,8^n$
   On a $-1<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n=0$
   On a admis que, pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
   $n \pp 10 \times 1,1^n \ssi n \times 0,8^n \pp 10 \times 0,88^n$
   Or $-1<0,88<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,88^n=0$
   Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty}  b_n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} c_n=0$
   $\quad$
   b. Les mesures effectuées permettent de dire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $b_n \pg 50$ et $c_n \pg 50$ ce qui contredit le fait que les limites respectives des suites sont nulles.
   Le modèle proposé ne paraît donc pas cohérent.
   $\quad$