Exercice 1     6 points

Soit $f$ la fonction définie sur $I=]-\infty;-1[\cup]0;+\infty[$ par $f(x)=x^2+\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$.
Soit $\Gamma$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

Partie A :

Soit $p$ la fonction définie sur $\R$ par $p(x)=2x^3+2x^2-1$.

1. Dresser le tableau de variation complet de $p$.
   $\quad$
2. Montrer que l’équation $p(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$ tel que $0\pp \alpha \pp 1$.
   $\quad$
3. Donner le signe de $p(x)$ sur $\R$.
   $\quad$
4. Justifier que $\alpha$ vérifie $\alpha^2=\dfrac{1}{2(\alpha+1)}$.
   $\quad$

Partie B : Dans cette partie, on se limite à l’étude de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$

1. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$ et préciser les éventuelles asymptotes de $\Gamma$ .
   $\quad$
2. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{p(x)}{x^2+x}$ ou $p$ est la fonction définie dans la partie A.
   $\quad$
3. En déduite le sens de variation de $f$ sur $]0;+\infty[$.
   $\quad$
4. On admet que $1+\dfrac{1}{\alpha}=\dfrac{1}{2\alpha^3}$. En déduire que $f(\alpha)=\alpha^2-\ln 2-3\ln \alpha$.
   $\quad$

Partie C : Dans cette partie, la fonction $f$ est définie sur $I=]−\infty;−1[∪] 0;+\infty[$.

Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=x^2$.
Étudier les positions relatives de $\Gamma$ et de $\mathscr{C}$ sur $I$.
$\quad$

 

Exercice 2     6 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé $Ouv$.

Les points $A, B$ et $C$ ont pour affixes respectives $a = − 4$, $b = 2$ et $c = 4$.

1. On considère les trois points $A’$, $B’$ et $C’$ d’affixes respectives $a’=ja$, $b’=jb$ et $c’=jc’$ où $j$ est le nombre complexe $-\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
   a. Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle de $j$.
   En déduire les formes algébriques et exponentielles de $a’ , $b’$ et $c’$.
   $\quad$
   b. Les points $A$, $B$ et $C$ ainsi que les cercles de centre $O$ et de rayon $2$, $3$ et $4$ sont représentés sur le graphique fourni en Annexe.
   Placer les points $A’$, $B’$ et $C’$ sur ce graphique.
   $\quad$
2. Montrer que les points $A’$, $B’$ et $C’$ sont alignés.
   $\quad$
3. On note $M$ le milieu du segment $[A’C]$, $N$ le milieu du segment $[C’C]$ et $P$ le milieu du segment $(C’A]$. Démontrer que le triangle $MNP$ est isocèle.
   $\quad$

Annexe

$\quad$

 

Exercice 3     4 points    

Les trois questions sont indépendantes. Toute réponse doit être soigneusement justifiée.

1. On définit une suite $\left(u_n\right)$ de réels strictement positifs par :
   $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $\ln\left(u_{n+1}\right)=\ln\left(u_n\right)-1$.
   La suite $\left(u_n\right) est-elle géométrique ?
   $\quad$
2. La suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes est définie par :
   $z_0=2+3\ic$ et, pour tout entier naturel n par $z_{n+1}=\left(
   \dfrac{\sqrt{2}}{4}+\ic\dfrac{\sqrt{6}}{4}\right)z_n$.
   Pour quelles valeurs de $n$, $\left|z_n\right|$ est-il inférieur ou égal à $10^{-20}$ ?
   $\quad$
3. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^{−x}$.
   On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan et $T$ la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point
   d’abscisse $2$.
   Le point $A$ de coordonnées $(4;0)$ appartient-il à $T$ ?
   $\quad$

 

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un détaillant en fruits et légumes étudie l’évolution de ses ventes de melons afin de pouvoir anticiper ses commandes. Pour cela il réalise une étude sur ses clients. Il constate que :

•  parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, $90 \%$ d’entre eux achètent un melon la semaine suivante ;
• parmi les clients qui n’achètent pas de melon une semaine donnée, $60 \%$ d’entre eux n’achètent
  pas de melon la semaine suivante.

On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine $1$ et, pour $n \pg 1$, on note $A_n$ l’événement : « le client achète un melon au cours de la semaine $n$ ».

On a ainsi $P\left(A_1\right)=1$ .

1. a. Reproduire et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous, relatif aux trois premières semaines.
   
   $\quad$
   b. Démontrer que $P\left(A_3\right)= 0,85$ .
   $\quad$
   c. Sachant que le client achète un melon au cours
   de la semaine $3$, quelle est la probabilité qu’il
   en ait acheté un au cours de la semaine $2$ ?
   Arrondir au centième.
   $\quad$
   Dans la suite, on pose pour tout entier $n\pg 1$ : $p_n=P\left(A_n\right)$. On a ainsi $p_1=1$.
2. Démontrer que, pour tout entier $n\pg 1$, $p_{n+1}=0,5p_n+0,4$.
   $\quad$
3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\pg 1$ : $p_n > 0,8$.
   $\quad$
   b. Démontrer que la suite $\left(p_n\right)$ est décroissante.
   $\quad$
   c. La suite $\left(p_n\right)$ est-elle convergente?
   $\quad$
4. On pose pour tout entier $n \pg 1$ : $v_n=p_n-0,8$.
   a. Démontrer que $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme $v_1$ et la raison.
   $\quad$
   b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   En déduire que, pour tout $n\pg 1$, $p_n=0,8+0,2\times 0,5^{n-1}$.
   $\quad$
   c. Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
   $\quad$

 

Exercice 4  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère les matrices $M$ de la forme $M = \begin{pmatrix}a&b\\5&3\end{pmatrix}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
Le nombre $3a-5b$ est appelé le déterminant de $M$. On le note det$(M)$.
Ainsi det$(M) = 3a-5b$.

1. Dans cette question on suppose que det$(M) \ne 0$ et on pose $N = \dfrac{1}{\text{det}(M)}\begin{pmatrix}3&- b\\- 5&a\end{pmatrix}$.
   Justifier que $N$ est l’inverse de $M$.
   $\quad$
2. On considère l’équation $(E)$ det$(M) = 3$.
   On souhaite déterminer tous les couples d’entiers $(a;b)$ solutions de l’équation $(E)$.
   a. Vérifier que le couple $(6;3)$ est une solution de $(E)$.
   $\quad$
   b. Montrer que le couple d’entiers $(a;b)$ est solution de $(E)$ si et seulement si $3(a-6) = 5(b-3)$.
   En déduire l’ensemble des solutions de l’équation $(E)$.
   $\quad$

Partie B

1. On pose $Q = \begin{pmatrix}6&3\\5& 3\end{pmatrix}$.
   En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de $Q$.
   $\quad$
2. Codage avec la matrice  $Q$
   Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice $Q = \begin{pmatrix}6&3\\5& 3\end{pmatrix}$ on utilise la procédure ci-après :
   Étape 1 : On associe au mot la matrice $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ où $x_1$ est l’entier correspondant à la première lettre du mot et $x_2$ l’entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous :
   $$\begin{array}{l}
   \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\
   \hline
   \phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\
   \hline
   \end{array} \\
   \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\
   \hline
   13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
   \end{array}\end{array}
   $$
   Étape 2 : La matrice $X$ est transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ telle que $Y = QX$.
   Étape 3 : La matrice $Y$ est transformée en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ telle que $r_1$ est le reste de la division euclidienne de $y_1$ par $26$ et $r_2$ est le reste de la division euclidienne de $y_2$ par $26$.
   Étape 4 : À la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.
   $\quad$
   $$\text{Exemple} : JE \to X = \begin{pmatrix}9\\4\end{pmatrix} \to Y=\begin{pmatrix}66\\57\end{pmatrix} \to R=\begin{pmatrix}14\\5\end{pmatrix} \to OF.$$
   Le mot $JE$ est codé en le mot $OF$.
   Coder le mot $DO$.
   $\quad$
3. Procédure de décodage
   On conserve les mêmes notations que pour le codage.
   Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice $Y$ telle que $Y = QX$.
   a. Démontrer que $3X = 3Q^{-1}Y$ puis que $\begin{cases}3x_1\equiv3r_1-3r_2 \quad [26]\\3x_2\equiv-5r_1+6r_2 \quad [26]\end{cases}$
   $\quad$
   b. En remarquant que $9 \times 3 \equiv 1 \quad [26]$, montrer que $\begin{cases}x_1\equiv r_1-r_2 \quad [26]\\x_2\equiv 7r_1 + 2r_2 \quad [26]\end{cases}$
   $\quad$
   c. Décoder le mot $SG$.
   $\quad$

Exercice 1

Partie A

1. La fonction $p$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
   Pour tout réel $x$ on a $p'(x)=6x^2+4x=2x(3x+2)$.
   $p'(x)=0\ssi x=0$ ou $x=-\dfrac{2}{3}$.
   De plus le coefficient principal de ce polynôme du second degré est $a=6>0$.
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   
   $\quad$
   D’après la limite des termes de plus haut degré on a $\lim\limits_{x\to -\infty} p(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}2x^3=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} p(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}2x^3=+\infty$
   $\quad$
2. Sur l’intervalle $\left]-\infty;0\right[$ on a $p(x)\pp -\dfrac{19}{27}$.
   L’équation $p(x)=0$ ne possède donc aucune solution sur cet intervalle.
   $\quad$
   Sur l’intervalle $[0;+\infty[$, la fonction $p$ est continue et strictement croissante.
   De plus $p(0)=-1<0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} p(x)=+\infty$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $p(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   $\quad$
   Finalement, l’équation $p(x)=0$ possède une unique solution sur $\R$.
   $p(0)=-1<0$ et $p(1)=3>0$ donc $0\pp x \pp 1$.
   $\quad$
3. D’après le tableau de variation et la question précédente on a donc :
   – $p(x)<0$ sur $]-\infty;\alpha[$ ;
   – $p(\alpha) = 0$ ;
   – $p(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$ .
   $\quad$
4. On a
   $\begin{align*} p(\alpha)=0 &\ssi 2\alpha^3+2\alpha^2-1=0 \\
   &\ssi \alpha^2\left[2(\alpha+1)\right]=1 \\
   &\ssi \alpha^2=\dfrac{1}{2(\alpha+1)}\end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+}1+\dfrac{1}{x}=+\infty$.
   $\lim\limits_{X \to +\infty} \ln X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+}\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=+\infty$
   Par conséquent $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=+\infty$
   $\quad$
   $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty}1+\dfrac{1}{x}=1$.
   $\lim\limits_{X \to 1} \ln X=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=0$
   De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty}  f(x)=+\infty$.
   $\quad$
   La courbe $\Gamma$ possède donc une asymptote verticale d’équation $x=0$.
   $\quad$
2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=2x+\dfrac{~~-\dfrac{1}{x^2}~~}{1+\dfrac{1}{x}} \\
   &=2x-\dfrac{1}{x^2+x} \\
   &=\dfrac{2x^3+2x^2-1}{x^2+x} \\
   &=\dfrac{p(x)}{x^2+x}\end{align*}$
   $\quad$
3. Pour tout réel $x$ positif on a $x^2+x\pg 0$.
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $p(x)$.
   D’après la question A.3. cela signifie donc que :
   – $f'(x)<0$ sur $]0;\alpha[$ ;
   – $f'(\alpha)=0$ ;
   – $f'(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$ .
   La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]0;\alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha;+\infty[$.
   $\quad$
4. On a :
   $\begin{align*} f(\alpha)&=\alpha^2+\ln\left(1+\dfrac{1}{\alpha}\right) \\
   &=\alpha^2+\ln\left(\dfrac{1}{2\alpha^3}\right) \\
   &=\alpha^2+\ln(1)-\ln\left(2\alpha^3\right) \\
   &=\alpha^2-\ln(2)-\ln\left(\alpha^3\right) \\
   &=\alpha^2-\ln(2)-3\ln(\alpha)\end{align*}$
   $\quad$

Partie C

Pour tout réel $x\in]-\infty;-1[\cup]0;+\infty[$ on a :
$f(x)-g(x)=\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$.
Donc $f(x)-g(x)>0\ssi \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)>0 \ssi 1+\dfrac{1}{x}>1 \ssi \dfrac{1}{x}>0 \ssi x>0$

Ainsi $\Gamma$ est au-dessus de $\mathscr{C}$ sur l’intervalle $]-\infty;-1[$ et en dessous sur l’intervalle $]0;+\infty[$

$\quad$

Exercice 2

1. a. $|j|=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=1$
   $j=\cos \left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+\sin \left(\dfrac{2\pi}{3}\right) =\e^{2\ic\pi/3}$.
   $\quad$
   Ainsi
   $\begin{align*} a’&=-4j \\
   &=2-2\ic\sqrt{3}\quad \text{forme algébrique}\\
   &=-4\e^{2\ic \pi/3} \\
   &=4\e^{2\ic \pi/3+\ic\pi} \\
   &=4\e^{5\ic\pi/3} \quad \text{forme exponentielle}
   \end{align*}$
   $b’=-1+\ic\sqrt{3}$ et $c’=-2+2\ic\sqrt{3}$ $\quad$ Formes algébriques.
   $b’= 2j=2\e^{2\ic\pi/3}$ et $c’=4j=4\e^{2\ic\pi/3}$ $\quad$ Formes exponentielles.
   $\quad$
   b. On a :
   
2. Calculons :
   $\begin{align*} \dfrac{b’-a’}{c’-a’} &=\dfrac{2j+4j}{4j+4j} \\
   &=\dfrac{6}{8} \\
   &=\dfrac{3}{4}
   \end{align*}$
   Ainsi un argument de $\dfrac{b’-a’}{c’-a’}$ est $0$.
   Les points $A’,B’$ et $C’$ sont donc alignés.
   $\quad$
3. L’affixe de $M$ est :
   $\begin{align*} m&=\dfrac{c+a’}{2}\\
   &=\dfrac{4-4j}{2}\\
   &=2-2j\\
   &=2+1-\ic\sqrt{3} \\
   &=3-\ic\sqrt{3}
   \end{align*}$.
   L’affixe de $N$ est :
   $\begin{align*} n&=\dfrac{c+c’}{2} \\
   &=\dfrac{4+4j}{2}\\
   &=2+2j\\
   &=2-1+\ic\sqrt{3} \\
   &=1+\ic\sqrt{3}\end{align*}$.
   L’affixe de $P$ est :
   $\begin{align*} p&=\dfrac{c’+a}{2} \\
   &=\dfrac{4j-4}{2} \\
   &=2j-2 \\
   &=-1+\ic\sqrt{3}-2 \\
   &=-3+\ic\sqrt{3}
   \end{align*}$.
   Ainsi l’affixe du vecteur $\vect{PN}$ est $z_1=1+\ic\sqrt{3}-\left(-3+\ic\sqrt{3}\right)=4$.
   Ainsi $PN=4$
   et l’affixe du vecteur $\vect{NM}$ est $z_2=3-\ic\sqrt{3}-\left(1+\ic\sqrt{3}\right)=2-2\ic\sqrt{3}$
   Ainsi $NM=\sqrt{2^2+\left(2\sqrt{3}\right)^2}=4$.
   Le triangle $MNP$ est donc isocèle en $N$.
   $\quad$

1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} u_{n+1}&=\e^{\ln\left(u_{n+1}\right)} \\
   &=\e^{\ln\left(u_n-1\right)} \\
   &=\e^{\ln\left(u_n\right)}\times \e^{-1} \\
   &=\e^{-1}u_n\end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $\e^{-1}$.
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} \left|z_{n+1}\right|&=\left|\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\ic\dfrac{\sqrt{6}}{4}\right|\times \left|z_n\right| \\
   &=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\left|z_n\right| \\
   &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left|z_n\right| \end{align*}$
   On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n=\left|z_n\right|$.
   Cette suite est donc géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et de premier terme $u_0=|2+3\ic|=\sqrt{13}$.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\sqrt{7}\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$.
   $\begin{align*} \left|z_n\right|\pp 10^{-20}&\ssi \sqrt{13}\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n \pp 10^{-20} \\
   &\ssi \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n  \pp \dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}} \\
   &\ssi n \ln\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \pp \ln \left(\dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}}\right) \\
   &\ssi n \pg \dfrac{\ln \left(\dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}}\right)}{\ln\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}\end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln \left(\dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}}\right)}{\ln\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)} \approx 136,58$.
   Donc $\left|z_n\right|\pp 10^{-20}$ si, et seulement si, $n \pg 137$.
   $\quad$
3. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\e^{-x}-x\e^{-x}=(1-x)\e^{-x}$.
   Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(2)(x-2)+f(2)$.
   Or $f(2)=2\e^{-2}$ et $f'(2)=-\e^{-2}$.
   Une équation de $T$ est donc $y=-\e^{-2}(x-2)+2\e^{-2}$.
   Si $x=4$ alors
   $\begin{align*} -\e^{-2}(x-2)+2\e^{-2}&=-\e^{-2}(4-2)+2\e^{-2}\\
   &=-2\e^{-2}+2\e^{-2}\\
   &=0\end{align*}$
   La point $A(4;0)$ appartient donc à $T$.
   $\quad$

 

Exercice 4

1. a On obtient l’arbre de probabilité suivant :
   
   $\quad$
   b. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P\left(A_3\right)&=P\left(A_2\cap A_3\right)+P\left(\conj{A_2}\cap A_3\right) \\
   &=0,9\times 0,9+0,1\times 0,4 \\
   &=0,81+0,04 \\
   &=0,85
   \end{align*}$
   $\quad$
   c. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_{A_3}\left(A_2\right) &=\dfrac{P\left(A_2\cap A_3\right)}{P\left(A_3\right)} \\
   &=\dfrac{0,9\times 0,9}{0,85} \\
   &=\dfrac{81}{85} \\
   &\approx 0,95
   \end{align*}$
   $\quad$
2. On peut représenter la situation par l’arbre de probabilité suivant :
   
   D’après la formule des probabilités totales, on a :
   $\begin{align*} p_{n+1}&=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(\conj{A_n}\cap A_{n+1}\right) \\
   &=0,9p_n+0,4\left(1-p_n\right) \\
   &=0,5p_n+0,4 \end{align*}$
   $\quad$
3. a. Initialisation : si $n=1$ alors $p_1=1 > 0,8$.
   La propriété est vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $p_n > 0,8$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $p_{n+1}> 0,8$.
   $\begin{align*} p_n> 0,8&\ssi 0,5p_n > 0,4 \\
   &\ssi 0,5p_n+0,4> 0,8 \\
   &\ssi p_{n+1} > 0,8
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $p_n> 0,8$.
   $\quad$
   b. Soit $n$ un entier naturel non nul.
   $\begin{align*} p_{n+1}-p_n&=0,5p_n+0,4-p_n \\
   &=-0,5p_n+0,4 \\
   &=0,5\left(-p_n+0,8\right)
   \end{align*}$
   On sait d’après la question précédente que $p_n> 0,8 \ssi 0,8-p_n<0$.
   Par conséquent $p_{n+1}-p_n<0$.
   La suite $\left(p_n\right)$ est donc décroissante.
   $\quad$
   c. La suite $\left(p_n\right)$ est décroissante et minorée par $0,8$. Elle est donc convergente.
   $\quad$
4. a. Pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a $v_n=p_n-0,8 \ssi p_n=v_n+0,8$.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=p_{n+1}-0,8 \\
   &=0,5p_n+0,4-0,8 \\
   &=0,5p_n-0,4 \\
   &=0,5\left(p_n+0,8\right)-0,4 \\
   &=0,5p_n+0,4-0,4 \\
   &=0,5p_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_1=p_1-0,8=0,2$.
   $\quad$
   b. Par conséquent, pour tout entier $n\pg 1$ on a $v_n=0,2\times 0,5^{n-1}$.
   Or $p_n=v_n+0,8=0,8+0,2\times 0,5^{n-1}$.
   $\quad$
   c. On a $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^n=0$. Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^{n-1}=0$.
   Et $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,8$.
   $\quad$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

1. $\quad$
   $\begin{align*} N\times M&=\dfrac{1}{3a-5b}\begin{pmatrix}3&-b\\-5&a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\5&3\end{pmatrix} \\
   &=\dfrac{1}{3a-5b}\begin{pmatrix}3a-5b&3b-3b\\-5a+5a&-5b+3a\end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}
   \end{align*}$
   Par conséquent $N$ est bien l’inverse de $M$.
   $\quad$
2. a. $3\times 6-5\times 3=18-15=3$.
   Donc le couple $(6;3)$ est bien solution de l’équation det$(M)=3$.
   $\quad$
   b. On considère un autre couple d’entiers solutions $(a;b)$.
   On a donc $3a-5b=3$ et $3\times 6-5\times 3=3$.
   Par soustraction, on obtient : $3a-3\times 6-5b+5\times 3 = 0$
   Soit $3(a-6)=5(b-3)$.
   Donc si $(a;b)$ est solution de l’équation alors $3(a-6)=5(b-3)$.
   $\quad$
   Réciproquement si $3(a-6)=5(b-3)$
   Alors $3a-18=5b-15 \ssi 3a-5b=3$ et $(a;b)$ est solution de l’équation $(E)$.
   $\quad$
   Ainsi $(a;b)$ est solution de l’équation $(E)$ si, et seulement si, $3(a-6)=5(b-3)$.
   $\quad$
   c. $5$ et $3$ sont premiers entre eux.
   D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que :
   $a-6=5k$ et $b-3=3k$.
   Soit $a=6+5k$ et $b=3+3k$.
   $\quad$Réciproquement, soit $k\in \Z$. Alors :
   $3(6+5k)-5(3+3k) = 18+15k-15-15k=3$.
   Donc le couple $(6+5k;3+3k)$ est solution de l’équation $(E)$.
   $\quad$

Partie B

1. det$(Q) =3\times 6-3\times 5=3$.
   Ainsi l’inverse de $Q$ est $Q^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}3&-3\\-5&6\end{pmatrix}$.
   $\quad$
2. DO$\rightarrow X=\begin{pmatrix}3\\14\end{pmatrix}$
   $Y=QX=\begin{pmatrix}60\\57\end{pmatrix}$
   Or $60 \equiv 8~[26]$ et $57\equiv 5~[26]$.
   Donc $R=\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}$
   Le mot DO est donc codé en IF
   $\quad$
3. a. $3Q^{-1}Y=3Q^{-1}QX=3X$
   Par conséquent $\begin{cases} 3x_1=3y_1-3y_2\\3x_2=-5y_1+6y_2\end{cases}$
   En passant au modulo, on obtient alors :
   $\begin{cases} 3x_1\equiv 3r_1-3r_2~[26]\\3x_2\equiv -5r_1+6r_2~[26] \end{cases}$
   $\quad$
   b. $9\times 3 = 27 = 1+26$ donc $9\times 3\equiv 1~[26]$.
   On multiplie chacune des équations du système précédent par $9$.
   On obtient alors :
   $\begin{cases} x_1\equiv r_1-r_2~[26]\\x_2\equiv -45r_1+54r_2~[26] \end{cases}$
   soit
   $\begin{cases} x_1\equiv r_1-r_2~[26]\\x_2\equiv 7r_1+2r_2~[26] \end{cases}$
   $\quad$
   c. SG$\rightarrow R=\begin{pmatrix}18\\6\end{pmatrix}$
   Donc $\begin{cases} x_1\equiv 18-6~[26]\\x_2\equiv 7\times 18+2\times 6~[26] \end{cases}$ $\ssi \begin{cases}x_1\equiv 12~[26]\\x_2\equiv 138~[26]\end{cases}$ $\ssi \begin{cases} x_1\equiv 12~[26]\\x_2\equiv 8~[26] \end{cases}$
   Ainsi le mot initial était MI.
   $\quad$