TS – Bac Blanc – février 2020

Bac Blanc – Février 2020

Bac S – Mathématiques – Correction

Énoncé

Exercice 1     5 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.
Le but de cet exercice est de déterminer les nombres complexes $z$ non nuls tels que les points d’affixes $1$, $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$ soient alignés.
Sur le graphique fourni en annexe, le point $A$ a pour affixe $1$.

Partie A : étude d’exemples

  1. Un premier exemple
    Dans cette question, on pose : $z = \ic$ .
    a. Donner la forme algébrique des nombre complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$.
    $\quad$
    b. Placer les points $N_1$ d’affixe $z^2$ et $P_1$ d’affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe.
    On remarque que dans ce cas les points $A$, $N_1$
    et $P_1$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. Une équation
    Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation d’inconnue $z$ : $z^2+z+1=0$.
    $\quad$
  3. Un deuxième exemple
    Dans cette question, on pose : $z=-\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    a. Déterminer la forme exponentielle de $z$, puis celles des nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$.
    $\quad$
    b. Placer les points $N_2$ d’affixe $z^2$ et $P_2$ d’affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe.
    On remarque que dans ce cas les points $A$, $N_2$ et $P_2$ sont alignés.
    $\quad$

Partie B : étude du cas général

Soit $z$ un nombre complexe non nul.
On note $N$ le point d’affixe $z^2$ et $P$ le point d’affixe $\dfrac{1}{z}$.

  1. Établir que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $0$, on a : $$z^2-\dfrac{1}{z}=\left(z^2+z+1\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$$
    $\quad$
  2. On rappelle que si $\vect{U}$ est un vecteur non nul et $\vect{V}$ un vecteur, d’affixes respectives $z_{\vect{U}}$ et $z_{\vect{V}}$, les vecteurs $\vect{U}$ et $\vect{V}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel $k$ tel que $z_{\vect{V}}=kz_{\vect{U}}$ .
    En déduire que, pour $z \neq 0$ , les points $A$, $N$ et $P$ définis ci-dessus sont alignés si et seulement si $z^2+z+1$ est un réel.
    $\quad$
  3. On pose $z=x+\ic y$ , où $x$ et $y$ désignent des nombres réels.
    Justifier que : $z^2+z+1=x^2-y^2+x+1+\ic(2xy+y)$.
    $\quad$
  4. a. Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z \neq 0$ tels que les points $A$, $N$ et $P$ soient alignés.
    $\quad$
    b. Tracer cet ensemble de points sur le graphique donné en annexe.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.

Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide.

On suppose que le nombre de clients de l’agriculteur reste constant.

Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants :

  • à l’issue de la première semaine, la probabilité qu’un client rapporte la bouteille de son panier est $0,9$ ;
  • si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,95$ ;
  • si le client n’a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,2$.
    $\quad$

On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l’agriculteur. Pour tout entier naturel n non nul, on note $R_n$ l’événement « le client rapporte la bouteille de son panier de la $n$-ième semaine ».

  1. a. Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l’aide d’un arbre pondéré qui fera intervenir les événements $R_1$ et $R_2$.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine.
    $\quad$
    c. Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine est égale à $0,875$.
    $\quad$
    d. Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu’il n’ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $r_n$ la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la $n$-ième semaine. On a alors $r_n=P\left(R_n\right)$.
    a. Recopier et compléter l’arbre pondéré (aucune justification n’est attendue) :
    $\quad$
    b. Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_{n+1}= 0,75 \times r_n + 0,2$.
    $\quad$
    c. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_n= 0,1 \times 0,75^{n-1} + 0,8$.
    $\quad$
    d. Calculer la limite de la suite $\left(r_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats ayant suivi la spécialité mathématique

On note $r$ l’ensemble des matrices colonnes à $2$ lignes, à coefficients entiers.

Soit $U=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}$ et $V=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ deux éléments de $r$. À $U$ et $V$, on associe la matrice $A=\begin{pmatrix}u_1&v_1\\u_2&v_2\end{pmatrix}$ et le nombre $d(A)=u_1v_2-u_2v_1$.

On dit que $(U, V)$ est une base de $r$ si et seulement si, pour tout élément $X$ de $r$, il existe un unique couple d’entiers relatifs $a,b)$ tel que $X= aU+ bV$.

  1. Dans cette question, on pose $U=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$, $V=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ et $X=\begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}$.
    a. Montrer que $X$ ne peut pas s’écrire $X=aU+bV$, avec $a$ et $b$ entiers relatifs.
    $\quad$
    b. Le couple $(U,V)$ est-il une base de $r$?
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, on souhaite illustrer sur un exemple la propriété :
$\hspace{3cm}$ « si $d(A)=1$ , alors $(U,V)$ est une base de $r$ ».

  1. En posant $U=\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}$, le but de cette question est de déterminer $V=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$
    tel que $d(A) = 1$ . On rappelle dans ce cas que la matrice A associée au couple $(U,V)$ s’écrit : $A=\begin{pmatrix}6&v_1\\-11&v_2\end{pmatrix}$.
    a. Exprimer la condition $d(A) =1$ par une égalité reliant $v_1$ et $v_2$.
    $\quad$
    b. On considère l’équation $(E) : 11x+6y=1$ , où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
    Donner une solution particulière de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    c. Résoudre l’équation $(E)$ dans l’ensemble des entiers relatifs.
    $\quad$
    d. Déterminer alors une matrice $V=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ de $r$ vérifiant d’une part l’égalité $d(A) =1$ et, d’autre part, la condition $0\pp v_1 \pp 10$.
    $\quad$
  2. Dans cette question, on pose $U=\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}$ et $V=\begin{pmatrix} 5\\-9\end{pmatrix}$. Ainsi $A=\begin{pmatrix} 6&5\\-11&-9\end{pmatrix}$.
    a. Montrer que la matrice $B=\begin{pmatrix}-9&-5\\11&6\end{pmatrix}$ est l’inverse de $A$.
    $\quad$
    b. Soit $X$ un élément de $r$.
    Montrer que l’égalité $X= aU+ bV$ s’écrit matriciellement $X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    c. Déduire des questions précédentes qu’il existe un unique couple d’entiers relatifs $(a,b)$ tel que $X=aU+bV$ , c’est-à-dire tel que $(U, V)$ est une base de $r$.
    $\quad$
    d. Déterminer ce couple $(a,b)$ lorsque $X=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
    $\quad$.

$\quad$

Exercice 3     5 points

Partie A

Soit $a$ et $b$ des nombres réels. On considère une fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f(x)=\dfrac{a}{1+\e^{-bx}}$$

La courbe $C_f$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.
La courbe $C_f$ passe par le point $A(0;0,5)$.
La tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ passe par le point $B(10 ; 1)$.

  1. Justifier que $a=1$.
    On obtient alors, pour tout réel $x\pg 0$, $$f(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-bx}}$$
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    Vérifier que, pour tout réel $x\pg 0$, $$f'(x)=\dfrac{b\e^{-bx}}{\left(1+\e^{-bx}\right)^2}$$
    $\quad$
  3. En utilisant les données de l’énoncé, déterminer $b$.
    $\quad$

Partie B

La proportion d’individus qui possèdent un certain type d’équipement dans une population est modélisée par la fonction $p$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $$p(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-0,2x}}$$
Le réel $x$ représente le temps écoulé, en année, depuis le 1$\ier$ janvier 2000.
Le nombre $p(x)$ modélise la proportion d’individus équipés après $x$ années.
Ainsi, pour ce modèle, $p(0)$ est la proportion d’individus équipés au 1$\ier$ janvier 2000 et $p(3,5)$ est la proportion d’individus équipés au milieu de l’année 2003.

  1. Quelle est, pour ce modèle, la proportion d’individus équipés au 1$\ier$ janvier 2010 ? On en donnera une valeur arrondie au centième.
    $\quad$
  2. a. Déterminer le sens de variation de la fonction $p$ sur $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    b. Calculer la limite de la fonction $p$ en $+\infty$.
    $\quad$
    c. Interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. On considère que, lorsque la proportion d’individus équipés dépasse $95 \%$, le marché est saturé.
    Déterminer, en expliquant la démarche, l’année au cours de laquelle cela se produit.
    $\quad$
  4. a. Vérifier que, pour tout réel $x\pg 0$, $$p(x)=\dfrac{\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}}$$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x\pg 0$, on pose : $H(x)=5\ln\left(1+\e^{0,2x}\right)$. Vérifier que $H'(x)=p(x)$.
    $\quad$
    c. On définit la proportion moyenne d’individus équipés entre 2008 et 2010 par $$m=\dfrac{1}{2}\left(H(10)-H(8)\right)$$
    Déterminer la valeur exacte de $m$ et son arrondi au centième.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte, une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. Soit $\left(v_n\right)$ une suite à termes strictement positifs. On définit la suite $\left(w_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n$, $$w_n=1-\ln\left(v_n\right)$$
    Affirmation 1 : Si la suite $\left(v_n\right)$ est majorée alors la suite $\left(w_n\right)$ est majorée.
    $\quad$
  2. Soit $a$ un nombre réel. On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par :
    $\bullet$ $u_0=a$ et , pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\sqrt{{u_n}^2+8}$;
    $\bullet$ $v_n={u_n}^2-1$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    Affirmation 2 : La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
    $\quad$
  3. On considère une suite $\left(w_n\right)$ qui vérifie, pour tout entier naturel $n$, $$n^2 \pp (n+1)^2 w_n \pp n^2 +n$$
    Affirmation 3 : La suite $\left(w_n\right)$ converge.
    $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_0=\dfrac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $$U_{n+1}=\dfrac{2U_n}{1+U_n}$$

  1. Calculer $U_1$ que l’on écrira sous la forme d’une fraction irréductible.
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $$U_n=\dfrac{2^n}{1+2^n}$$
    $\quad$
  3. On considère les trois algorithmes suivants dans lesquels les variables $n$, $p$ et $u$ sont du type nombre.
    Pour un seul de ces trois algorithmes la variables $u$ ne contient pas le terme $U_n$ en fin d’exécution.
    Déterminer lequel en justifiant votre choix.
    $$\begin{array}{|l|l|l|}
    \hline
    \textbf{Algorithme 1}&\textbf{Algorithme 2}&\textbf{Algorithme 3}\\
    \begin{array}{l}
    u\gets \dfrac{1}{2}\\
    i \gets 0\\
    \text{Tant que } i < n\\
    \hspace{1cm}u\gets \dfrac{2u}{u+1}\\
    \hspace{1cm}i \gets i + 1\\
    \text{Fin Tant que}\end{array}&\begin{array}{l}
    u\gets \dfrac{1}{2}\\
    \text{Pour $i$ allant de 0 à $n$}\\
    \hspace{1cm}u\gets \dfrac{2u}{u+1}\\
    \text{Fin Pour}\end{array}&\begin{array}{l}
    p \gets 2^n\\
    u \gets \dfrac{p}{p + 1}\\
    \end{array}\\ \hline\end{array}$$
    $\quad$

Ex 1

Exercice 1   

Partie A : étude d’exemples

  1. Un premier exemple
    a.
    $z^2=\ic^2=-1$
    $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{\ic}=\dfrac{1}{\ic}\times \dfrac{\ic}{\ic}=\dfrac{\ic}{-1}=-\ic$.
    $\quad$
    b. Voir le graphique à la fin de l’exercice.
    $\quad$
    L’affixe du vecteur $\vect{AN_1}$ est $z_{\vect{AN_1}}=-2$ et celle du vecteur $\vect{AP_1}$ est $z_{\vect{AP_1}}=-\ic-1$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires et les points $A, N_1$ et $P_1$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. Une équation
    On a l’équation $z^2+z+1=0$
    $\Delta=1^2-4\times 1\times 1=-3<0$.
    Les solutions de cette équation sont donc $z_1=\dfrac{-1-\ic \sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\dfrac{-1+\ic \sqrt{3}}{2}$.
    $\quad$
  3. Un deuxième exemple
    a.
    On a $|z|=\left|-\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right|=1$
    Donc $z=\e^{2\ic \pi/3} $
    $\quad$
    Ainsi $z^2=\e^{2\times 2\ic\pi/3}=\e^{4\ic\pi/3}$
    et $\dfrac{1}{z}=\e^{-2\ic \pi/3}$.
    $\quad$
    b. Voir le graphique à la fin de l’exercice.$\quad$
    $z^2=\e^{4\ic\pi/3}=\e^{4\ic\pi/3-2\pi}=\e^{-2\ic\pi/3}=\dfrac{1}{z}$.
    Les points $N_2$ et $P_2$ sont confondus.
    Par conséquent, les points $A, N_2$ et $P_2$ sont alignés.
    $\quad$

Partie B : étude du cas général

  1. Pour tout nombre $z$ différent de $0$ on a :
    $\begin{align*} \left(z^2+z+1\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right) &=z^2-z+z-1+1-\dfrac{1}{z} \\
    &=z^2-\dfrac{1}{z}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On considère un nombre complexe $z$ non nul.
    L’affixe du vecteur $\vect{PN}$ est $z^2-\dfrac{1}{z}$.
    L’affixe du vecteur $\vect{PA}$ est $1-\dfrac{1}{z}$.
    Ces deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $k$ tel que $z^2-\dfrac{1}{z}=k\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$.
    $\ssi \left(z^2+z+1\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right) =k\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$
    $\ssi z^2+z+1=k$ ou $z=1$
    $\ssi z^2+z+1\in \R$ ou $z=1$
    $\ssi z^2+z+1\in \R$ (en effet si $z=1$ alors $z^2+z+1=3 \in \R)$.
    $\quad$
  3. Soient $x$ et $y$ des nombres réels et $z=x+\ic y$.
    $\begin{align*} z^2+z+1&=(x+\ic y)^2+x+\ic y+1 \\
    &=x^2+2\ic xy-y^2+x+\ic y+1\\
    &=x^2-y^2+x+1+\ic(2xy+y)\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. $z^2+z+1$ est un réel si, et seulement si, $2xy+y=0$
    si, et seulement si, $y(2x+1)=0$
    si, et seulement si, $y=0$ ou $2x+1=0$
    si, et seulement si, $y=0$ ou $x=-\dfrac{1}{2}$
    Ainsi l’ensemble cherché la réunion des droites d’équation $y=0$ (l’axe des abscisses) et $x=-\dfrac{1}{2}$ privé du point $O$.
    b. On obtient la figure suivante :
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2     

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. On obtient l’arbre de pondéré suivant :

    $\quad$
    b. On veut calculer
    $\begin{align*} P\left(R_1\cap R_2\right)&=0,9\times 0,95 \\
    &=0,855\end{align*}$
    $\quad$
    c. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(R_2\right)&=P\left(R_1\cap R_2\right)+P\left(\conj{R_1}\cap R_2\right)\\
    &=0,855+0,1\times 0,2\\
    &=0,875\end{align*}$
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{R_2}\left(R_1\right)&=\dfrac{P\left(R_2\cap \conj{R_1}\right)}{P\left(R_2\right)} \\
    &=\dfrac{0,02}{0,875} \\
    &\approx 0,023\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} r_{n+1}&=P\left(R_{n+1}\right) \\
    &=P\left(R_n\cap R_{n+1}\right)+P\left(\conj{R_n}\cap R_{n+1}\right) \\
    &=0,95r_n+0,2\left(1-r_n\right) \\
    &=0,95r_n+0,2-0,2r_n \\
    &=0,75r_n+0,2\end{align*}$
    $\quad$
    c. Montrons ce résultat par récurrence sur $n$.
    Initialisation : Si $n=1$ alors $0,1\times 0,75^0+0,8=0,9=r_1$.
    La propriété est donc vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Donc $r_n=0,1\times 0,75^{n-1}+0,8$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $r_{n+1}=0,1\times 0,75^n+0,8$.
    $\begin{align*} r_{n+1}&=0,75r_n+0,2\\
    &=0,75\left(0,1\times 0,75^n+0,8\right)+0,2\\
    &=0,1\times 0,75^n+0,6+0,2\\
    &=0,1\times 0,75^n+0,8\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $r_n=0,1\times 0,75^{n-1}+0,8$.
    $\quad$
    d. On a $-1<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,75^{n-1}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} r_n=0,8$.
    Sur le long terme, la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier est $0,8$.
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats ayant suivi la spécialité mathématique

  1. a. On considère deux entiers relatifs $a$ et $b$.
    $aU+BV=\begin{pmatrix}2a+b\\a+2b\end{pmatrix}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} X=aU+bV&\ssi \begin{cases} 2a+b=10\\a+2b=10\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=10-2a\\a+2(10-2a)=10\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=10-2a\\-3a+20=10\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} b=10-2a\\-3a=-10\end{cases}\end{align*}$
    $10$ n’est pas divisible par $3$ donc l’équation $-3a=-10$ ne possède pas de solution dans $\Z$.
    $X$ ne peut donc pas s’écrire sous la forme $X=aU+bV$ avec $a$ et $b$ entiers relatifs.
    $\quad$
    b. $X=\begin{pmatrix}10\\10\end{pmatrix}$ ne peut pas s’écrire sous la forme $aU+bV$.
    Par conséquent $(U,V)$ n’est pas une base de $r$.
    $\quad$
  2. a. $d(A)=1\ssi 6v_2+11v_1=1$
    $\quad$
    b. $11\times (-1)+6\times 2=-11+12=1$
    Le couple $(-1;2)$ est donc une solution particulière de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    c. On considère une solution $(x;y)$ de l’équation $(E)$.
    On a donc $11\times (-1)+6\times 2=1$ et $11x+6y=1$.
    Par différence, on obtient $11(-1-x)+6(2-y)=0 \ssi 6(2-y)=11(1+x)$.
    $6$ et $11$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que $2-y=11k$ et $1+x=6k$.
    Par conséquent $x=6k-1$ et $y=2-11k$.
    $\quad$
    Réciproquement, on considère un entier relatif $k$.
    $11(6k-1)+6(2-11k)=66k-11+12-66k=1$
    $\quad$
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc les couples $(6k-1;2-11k)$ pour $k\in\Z$.
    $\quad$
    d. D’après la question précédente, il existe un entier relatif $k$ tel que $v_1=6k-1$ et $v_2=2-11k$.
    De plus :
    $0\pp v_1\pp 10\ssi 0\pp 6k-1\pp 10 \ssi 1\pp 6k \pp 9 \ssi \dfrac{1}{6} \pp k\pp \dfrac{3}{2} \ssi k=1$.
    Ainsi $v_1=5$ et $v_2=-9$
    Par conséquent $V=\begin{pmatrix} 5\\-9\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. On a
    $\begin{align*}AB&=\begin{pmatrix}-9\times 6+5\times 11&6\times (-5)+5\times 6\\-11\times (-9)+-9\times 11&-11\times (-5)+6\times (-9)\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\end{align*}$
    La matrice $A$ est donc inversible d’inverse $B=\begin{pmatrix}-9&-5\\11&6\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. Soit $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ un élément de $r$.
    $\begin{align*} X=aU+bV&\ssi \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}6\\-11\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}5\\-9\end{pmatrix} \\
    &\ssi \begin{cases}x=6a+5b\\y=-11a-9b\end{cases} \\
    &\ssi X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\end{align*}$
    $\quad$
    c. $X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\ssi \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=A^{-1}X$.
    Ainsi pour une matrice $X$ de $r$ donnée il existe une unique matrice $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ telle que $X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    d. Si $X=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ alors :
    $X=A\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\ssi \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\ssi \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-33\\40\end{pmatrix}$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Le point $A(0;0,5)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_f$.
    Donc
    $\begin{align*} f(0)=0,5&\ssi \dfrac{a}{1+1} =0,5 \\
    &\ssi a=1\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x\pg 0$ on a $f(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-bx}}$
    Donc :
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{-b\e^{-bx}}{\left(1+\e^{-bx}\right)^2 }\\
    &=\dfrac{b\e^{-bx}}{\left(1+\e^{-bx}\right)^2 }\end{align*}$
    $\quad$
    Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ passe également par le point $B(10;1)$.
    Son coefficient directeur est donc $a=\dfrac{1-0,5}{10-0}=0,05$.
    On a également $a=f'(0)$.
    Or $f'(0)=\dfrac{b}{(1+1)^2}=\dfrac{b}{4}$
    Par conséquent $\dfrac{b}{4}=0,05\ssi b=0,2$
    $\quad$

Partie B

  1. Au $1\ier$ janvier 2010 on a $x=10$
    Or $p(10)=\dfrac{1}{1+\e^{-2}}\approx 0,88$.
    Ainsi, environ $88\%$ des individus sont équipés au $1\ier$ janvier 2010.
    $\quad$
  2. a. La fonction $p$ correspond à la fonction $f$ pour $b=0,2$.
    La fonction $p$ est donc dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et $p'(x)=\dfrac{\e^{-0,2x}}{\left(1+\e^{-0,2x}\right)^2}$.
    La fonction carré est positive et la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent, pour tout réel $x\pg 0$ on a $p'(x)>0$ et la fonction $p$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x\to +\infty} -0,2x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-0,2x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}p(x)=1$.
    $\quad$
    c. Cela signifie donc que sur le long terme tous les individus seront équipés.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’inéquation
    $\begin{align*} p(x)>0,95 &\ssi \dfrac{1}{1+\e^{-0,2x}}>0,95 \\
    &\ssi 1+\e^{-0,2x}<\dfrac{1}{0,95} \\
    &\ssi \e^{-0,2x}<\dfrac{0,05}{0,95} \\
    &\ssi -0,2x<\ln \dfrac{1}{19} \\
    &\ssi x>-5\ln \dfrac{1}{19}\end{align*}$
    Or $-5\ln \dfrac{1}{19} \approx 14,72$.
    C’est au cours de l’année 2014, entre août et septembre, que le marché sera saturé.
    $\quad$
  4. a. Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} p(x)&=\dfrac{1}{1+\e^{-0,2x}} \\
    &=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\e^{0,2x}}} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{\e^{0,2x}+1}{\e^{0,2x}}} \\
    &=\dfrac{\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction $H$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} H'(x)&=5\times \dfrac{0,2\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}} \\
    &=\dfrac{\e^{0,2x}}{1+\e^{0,2x}}\\
    &=p(x)\end{align*}$
    $\quad$
    c. Ainsi :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{2}\left(H(10)-H(8)\right)\\
    &=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{0,2}\left(\ln\left(1+\e^2\right)-\ln\left(1+\e^{1,6}\right)\right)\\
    &=\dfrac{1}{0,4}\ln\dfrac{1+\e^2}{1+\e^{1,6}}\\
    &\approx 0,86\end{align*}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Prenons par exemple la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=\e^{-n}$.
    Pour tout entier naturel $n$, on a $v_n \pp 1$. La suite $\left(v_n\right)$ est donc majorée.
    $w_n=1-\ln\left(v_n\right)=1-\ln \e^{-n} = 1-(-n)=1+n$.
    La suite $\left(w_n\right)$ n’est donc pas majorée.
    L’affirmation 1 est donc fausse.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&={u_{n+1}}^2-1 \\
    &=\dfrac{1}{9}\left({u_n}^2+8\right)-1 \\
    &=\dfrac{1}{9}\left({u_n}^2+8-9\right) \\
    &=\dfrac{1}{9}\left({u_n}^2-1\right)\\
    &=\dfrac{1}{9}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{9}$.
    L’affirmation 2 est donc vraie.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a donc :
    $$\dfrac{n^2}{(n+1)^2}\pp w_n \pp \dfrac{n^2+n}{(n+1)^2 }$$
    Or, d’après la limite des termes de plus haut degré, on a :
    $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2}{(n+1)^2}=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2}{n^2}=1$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2+n}{(n+1)^2}=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2}{n^2}=1$
    D’après le théorème des gendarmes on a ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} w_n=1$.
    L’affirmation 3 est donc vraie.
    $\quad$

Partie B

  1. $U_1=\dfrac{2U_0}{1+U_0}=\dfrac{1}{~~\dfrac{3}{2}~~}=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  2. Initialisation : Si $n=0$ alors $\dfrac{2^n}{1+2^n}=\dfrac{1}{2}=U_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Par conséquent $U_n=\dfrac{2^n}{1+2^n}$
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire $U_{n+1}=\dfrac{2^{n+1}}{1+2^{n+1}}$
    $\begin{align*} U_{n+1}&=\dfrac{2U^n}{1+U_n} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{1+\dfrac{2^n}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{\dfrac{1+2^n+2^n}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{\dfrac{1+2\times 2^n}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{\dfrac{1+\times 2^{n+1}}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{2^{n+1}}{1+2^{n+1}} \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=\dfrac{2^n}{1+2^n}$.
    $\quad$
  3. L’algorithme 2 fournit le terme $U_{n+1}$ et non $U_n$ puisque la boucle Pour est effectuée $n+1$ fois.
    $\quad$