TS – complexes 1 – Ex 4

Exercice 4

Soit $z = x + \ic y$, $x$ et $y$ étant deux réels tels que $(x;y) \ne (1;0)$.

On pose $Z = \dfrac{z + 2\ic}{z – 1}$.

Déterminer l’ensemble des points d’affixe $z$ tel que :

  1. $Z$ soit un nombre réel.
    $\quad$
  2. $Z$ soit un imaginaire pur.
    $\quad$

Correction

$\begin{align*} Z &= \dfrac{z + 2\ic}{z – 1} \\\\
&= \dfrac{x + \ic y+ 2\ic}{x + \ic y – 1}  \\\\
&= \dfrac{x + \ic(y + 2)}{x – 1 + \ic y} \\\\
&= \dfrac{x + \ic(y + 2)}{x – 1 + \ic y} \times \dfrac{x – 1 – \ic y}{x – 1 – \ic y} \\\\
&= \dfrac{x(x – 1) -\ic xy + \ic (y + 2)(x – 1) + y(y + 2)}{(x – 1)^2 + y^2}\\\\
&=\dfrac{x(x – 1) + y(y + 2) + \ic\left((y + 2)(x – 1) – xy\right)}{(x – 1)^2 + y^2}
\end{align*}$

  1. On veut que $Z$ soit un nombre réel. Il faut donc que sa partie imaginaire soit nulle.
    Cela signifie donc que  : $\dfrac{(y + 2)(x – 1) – xy}{(x – 1)^2 + y^2} = 0$
    $ \Leftrightarrow xy – y + 2x – 2 – xy = 0$ et $(x;y) \ne (1;0)$
    $ \Leftrightarrow 2x – y – 2 = 0$ et $(x;y) \ne (1;0)$
    L’ensemble des points tel que $Z$ soit un nombre réel est donc la droite d’équation $2x – y – 2 = 0$ privée du point de coordonnées $(1;0)$.
    $\quad$
  2. On veut que $Z$ soit un imaginaire pur. Il faut donc que sa partie réelle soit nulle.
    Cela signifie donc que : $\dfrac{x(x – 1) + y(y + 2)}{(x – 1)^2 + y^2} = 0$
    $ \Leftrightarrow x^2 – x + y^2 + 2y = 0$ et $(x;y) \ne (1;0)$
    $ \Leftrightarrow \left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 – \dfrac{1}{4} + (y + 1)^2 – 1 = 0$ et $(x;y) \ne (1;0)$
    $ \Leftrightarrow \left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 + (y + 1)^2 = \dfrac{5}{4}$ et $(x;y) \ne (1;0)$
    L’ensemble des points tel que $Z$ soit un imaginaire pur est donc le cercle de centre $\left(\dfrac{1}{2};-1\right)$ et de rayon $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ privé du point de coordonnées $(1;0)$.