TS – complexes 1 – Ex 5

Exercice 5

$A$, $B$ et $C$ sont les points d’affixes respectives :
$z_A = -1 + \ic, z_B = 2 + \ic, z_C = -\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{2}\ic$.

  1. Placer les points $A$, $B$ et $C$.
    $\quad$
  2. Calculer les affixes des vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{BC}$.
    $\quad$
  3. En déduire les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$.
    Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $C$?
    $\quad$

Correction

  1. $\quad$
    TS - ex - compexes1 -ex5
  2. $z_{\vec{AB}} = z_B – z_A = 2 + \ic – (-1 + \ic)$ $=3$
    $\quad$
    $z_{\vec{AC}} = z_C – z_A =  -\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{2}\ic – (-1 + \ic)$ $=\dfrac{1}{2} – \dfrac{3}{2}\ic$
    $\quad$
    $z_{\vec{BC}} = z_C – z_B =  -\dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{2}\ic – (2 + \ic)$ $= -\dfrac{5}{2} – \dfrac{3}{2}\ic$
    $\quad$
  3. On a donc $AB = |3| = 3$
    $\quad$
    $AC = \left|\dfrac{1}{2} – \dfrac{3}{2}\ic \right| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4}}$ $=\sqrt{\dfrac{5}{2}}$
    $\quad$
    $BC = \left|-\dfrac{5}{2} – \dfrac{3}{2}\ic \right| = \sqrt{\dfrac{25}{4} + \dfrac{9}{4}}$ $=\sqrt{\dfrac{17}{2}}$
    $\quad$
    Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[BC]$.
    Or $AB^2 + AC^2 = 9 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{23}{2}$ et $BC^2 = \dfrac{17}{2}$.
    Par conséquent $AB^2+AC^2 \ne BC^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n’est pas rectangle.