TS – complexes 1 – Ex 6

Exercice 6

Dans chaque cas, trouver l’ensemble des points dont l’affixe $z$ satisfait la condition indiquée.

  1. $|z – 3| = |z -1 + \ic|$
    $\quad$
  2. $|z +2 – \ic| = \sqrt{5}$
    $\quad$
  3. $|z + 3 – \ic| \le 2$
    $\quad$

Correction

  1. $|z – 3| = |z -1 + \ic| \Leftrightarrow |z – 3| = |z – (1 – \ic)|$
    On appelle $M$ le point d’affixe $z$, $A$ le point d’affixe $3$ et $B$ le point d’affixe $1 -\ic$.
    Par conséquent $|z – 3| = |z – (1 – \ic)| \Leftrightarrow AM = BM$.
    L’ensemble des points cherché est donc la médiatrice de $[AB]$.
    $\quad$
  2. $|z +2 – \ic| = \sqrt{5} \Leftrightarrow |z – (-2 + \ic)| = \sqrt{5}$
    On appelle $M$ le point d’affixe $z$ et $C$ le point d’affixe $-2 + \ic$.
    Par conséquent $|z – (-2 + \ic)| = \sqrt{5} \Leftrightarrow CM = \sqrt{5}$.
    L’ensemble des points cherché est donc le cercle de centre $C$ et de rayon $\sqrt{5}$.
    $\quad$
  3. $|z + 3 – \ic| \le 2 \Leftrightarrow |z – (-3  +\ic)| \le 2$.
    On appelle $M$ le point d’affixe $z$ et $D$ le point d’affixe $-3 + \ic$.
    Par conséquent $|z – (-3  +\ic)| \le 2 \Leftrightarrow DM \le 2$.
    L’ensemble des points cherché est donc le disque de centre $D$ et de rayon $2$, le cercle étant inclus (il s’agit, autrement dit, du disque fermé).