TS – Complexes 2 – Ex 1

Exercice 1 

On considère l’application $f$ qui à tout nombre complexe $z$ différent de 1, associe le nombre complexe

\[f(z) = \dfrac{2 – \text{i}z}{1 – z}.\]

L’exercice étudie quelques propriétés de $f$.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $\Ouv$ d’unité graphique $2$ cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions 1 et 2.

$A$ est le point d’affixe $1$ et $B$ celui d’affixe $- 2\ic$.

  1. On pose $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ réels.
    Écrire $f(z)$ sous forme algébrique. En déduire l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un réel et représenter cet ensemble.
    $\quad$
  2. On pose $z’ = f(z).$
    a. Vérifier que $\ic$ n’a pas d’antécédent par $f$ et exprimer, pour $z’$ différent de i, $z$ en fonction de $z’$.
    $\quad$
    b. $M$ est le point d’affixe $z$ ($z$ différent de $1$) et $M’$ celui d’affixe $z’$ ($z’$ différent de $\ic$).
    Montrer que $OM = \dfrac{M’C}{M’D}$ où $C$ et $D$ sont les points d’affixes respectives $2$ et $\ic$.
    $\quad$
    c. Montrer que, lorsque le point $M$ décrit le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ privé du point $A$, son image $M’$ appartient à une droite fixe que l’on définira géométriquement.

Correction

  1. $\quad$
    $\begin{align} f(z) &= \dfrac{2 – \ic z}{1 – z} \\\\
    &=\dfrac{2 – \ic (x + \ic y)}{1 – (x + \ic y)} \\\\
    &= \dfrac{2 – \ic x + y}{1 – x – \ic y} \\\\
    &= \dfrac{2 + y – \ic x}{1 – x – \ic y} \times \dfrac{1 – x + \ic y}{1 – x + \ic y} \\\\
    &= \dfrac{(2 + y)(1 – x) + xy – (1 – x)x\ic + (2 + y)y \ic}{(1 – x)^2 + y^2} \\\\
    &= \dfrac{(2 + y)(1 – x) + xy+ (x^2 – x + 2y + y^2)\ic }{(1 – x)^2 + y^2} \\\\
    &= \dfrac{2 – 2x + y +(x^2 – x + 2y + y^2)\ic }{(1 – x)^2 + y^2} \\\\
    \end{align}$
    $\quad$
    $\begin{align} f(z) \text{ réel} &\Leftrightarrow x^2 – x + 2y + y^2 = 0 \qquad (x;y) \ne (1;0) \\\\
    & \Leftrightarrow \left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 – \dfrac{1}{4} + (y + 1)^2 – 1 = 0 \qquad (x;y) \ne (1;0) \\\\
    &\Leftrightarrow \left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 + (y + 1)^2 = \dfrac{5}{4} \qquad (x;y) \ne (1;0)
    \end{align}$
    Le point $M$ appartient donc au cercle de centre $E$ d’affixe $\dfrac{1}{2} – \ic$ de rayon $\sqrt{\dfrac{5}{4}} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ privé du point $A$.
    $\quad$
  2. a. Supposons qu’il existe un nombre complexe $z$ tel que $f(z) = \ic$.
    On a alors :
    $\begin{align} f(z) = \ic & \Leftrightarrow \dfrac{2 – \ic z}{1 – z} = \ic \\\\
    & \Leftrightarrow 2 – \ic z = \ic(1 – z) \\\\
    & \Leftrightarrow 2 – \ic z = \ic – \ic z \\\\
    & \Leftrightarrow 2 = \ic
    \end{align}$
    Ce qui est impossible.
    Par conséquent $\ic$ n’a pas d’antécédent par $f$
    $\quad$
    Soit $z’ \ne \ic$
    $\begin{align} z’ = \dfrac{2 – \ic z}{1 – z} & \Leftrightarrow z'(1 – z) = 2 – \ic z \\\\
    &\Leftrightarrow z’ – zz’ = 2 – \ic z \\\\
    &\Leftrightarrow \ic z – zz’ = 2 – z’ \\\\
    &\Leftrightarrow z(\ic – z’) = 2 – z’ \\\\
    & \Leftrightarrow z = \dfrac{2 – z’}{\ic – z’}
    \end{align}$
    $\quad$
    b. $OM = |z| $ $= \left|\dfrac{2 – z’}{\ic – z’}\right|$ $ = \dfrac{|2 – z’|}{|\ic – z’|}$ $=\dfrac{M’C}{M’D}$
    $\quad$
    c. Lorsque $M$ décrit le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ privé du point $A$ alors $OM = 1$.
    Par conséquent $\dfrac{M’C}{M’D} = 1$ soit $M’C = M’D$.
    Le point $M’$ appartient donc à la médiatrice du segment $[CD]$.
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