TS – Complexes 2 – Ex 2

Exercice 2 

On considère le polynôme $P$ défini par :

\[P(z) = z^4 – 6z^3 + 24z^2 – 18z + 63.\]

  1. Calculer $P\left(\text{i}\sqrt{3}\right)$ et $P\left(-~\text{i}\sqrt{3}\right)$ puis montrer qu’il existe un polynôme $Q$ du second degré à coefficients réels, que l’on déterminera, tel que, pour tout $z \in \C$, on ait $P(z) = \left(z^2 + 3\right) Q(z)$.
    $\quad$
  2. Résoudre dans $\C$ l’équation $P(z) = 0$.
    $\quad$
  3. Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal $\Ouv$, les points $A$, $B$, $C$, $D$ d’affixes respectives $z_A = \text{i}\sqrt{3},~ z_B =-~\text{i}\sqrt{3},~ z_C = 3 + 2\text{i}\sqrt{3}$ et $z_D = \overline{z_C}$, puis montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle.

Correction

  1. $\quad$
    $\begin{align} P\left(\ic \sqrt{3} \right) &= \left(\ic \sqrt{3} \right)^4 – 6 \left(\ic \sqrt{3} \right)^3 + 24\left(\ic \sqrt{3} \right)^2 – 18\left(\ic \sqrt{3} \right) + 63 \\\\
    &= 9 + 18\sqrt{3} \ic – 24 \times 3 – 18 \sqrt{3}\ic + 63 \\\\
    & = 0
    \end{align}$$\quad$
    $\begin{align} P\left(-\ic \sqrt{3} \right) &= \left(-\ic \sqrt{3} \right)^4 – 6 \left(-\ic \sqrt{3} \right)^3 + 24\left(-\ic \sqrt{3} \right)^2 – 18\left(-\ic \sqrt{3} \right) + 63 \\\\
    &= 9 – 18\sqrt{3} \ic – 24 \times 3 + 18 \sqrt{3}\ic + 63 \\\\
    & = 0
    \end{align}$

    $\quad$
    Remarque : la propriété suivante s’applique ici : Si $z_0$ est une racine d’un polynôme à coefficient réelle alors $\overline{z_0}$ est aussi une racine de ce polynôme.
    $\quad$
    On cherche les réels $a$, $b$ et $c$ tels $Q(z) = az^2 + bz + c$ et $(z^2 + 3)Q(z) = P(z)$.
    On a ainsi :
    $\begin{align} (z^2 + 3)Q(z) &= (z^2 + 3)(az^2 + bz + c) \\\\
    &=az^4 + bz^3 + cz^2 + 3az^2 + 3bz + 3c \\\\
    &=az^4 + bz^3 + (c + 3a)z^2 + 3bz + 3c
    \end{align}$
    On veut que $(z^2 + 3)Q(z) = P(z)$. En identifiant les coefficients on obtient ainsi :
    $\begin{cases} a = 1 \\\\b = -6 \\\\c + 3a = 24 \\\\ 3b = -18\\\\3c = 63 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 \\\\b = -6 \\\\c = 21 \end{cases}$.
    Par conséquent $Q(z) = z^2 – 6z + 21$
    $\quad$

  2. $P(z) = 0 \Leftrightarrow z^2 + 3 = 0$ ou  z^2 – 6z + 21 = 0
    $z^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow z=\ic \sqrt{3}$ ou $z = -\ic \sqrt{3}$
    $z^2 – 6z + 21 = 0$ $\qquad \Delta = 36 – 84 = -48<0$.
    Il y a donc 2 racines complexes : $z_1 = \dfrac{6 – \ic \sqrt{48}}{2} = 3 – 2\ic \sqrt{3}$ et $z_2 = 3 + 2\ic \sqrt{3}$
    L’équation $P(z) = 0$ possède donc $4$ solutions : $-\ic \sqrt{3}$, $\ic \sqrt{3}$, $3 -2\ic \sqrt{3}$ et $3 + 2\ic \sqrt{3}$.
  3. $\quad$TS-compexes2-ex2-correctionMontrons que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartient au cercle de centre $E$ d’affixe $3$ et de rayon $2\sqrt{3}$.
    $EC = |2\ic \sqrt{3}| = 2\sqrt{3}$ $\quad$ $ED = |-2\ic \sqrt{3}| = 2\sqrt{3}$
    $EA = |-3 + \ic \sqrt{3}| = \sqrt{9 + 3} = 2\sqrt{3}$ $\quad$ $EB = |-3 – \ic \sqrt{3}| = 2\sqrt{3}$.
    Par conséquent, les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent au cercle de centre $E$ de rayon $2\sqrt{3}$.