TS - Complexes 2

Exercice 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $\Ouv$.

On appelle $f$ l’application qui, à tout point $M$ d’affixe $z~ (z \neq -~1)$ associe le point $M’$ d’affixe $z’$ telle que :

\[z’ = \dfrac{-\text{i}z- 2}{z+ 1}.\]

Soient $A$, $B$ et $C$ les points d’affixes respectives $a = – 1,~ b = 2\ic$ et $c = -\text{i}$.

Soit $C’$ l’image du point $C$ par $f$. Donner l’affixe $c’$ du point $C’$ sous forme algébrique.
$\quad$
Calculer l’affixe $d$ du point $D$ ayant pour image par $f$ le point $D’$ d’affixe $d’ = \dfrac{1}{2}$.
$\quad$
Pour tout nombre complexe $z$ différent de $- 1$, on note $p$ le module de $z + 1$ (c’est-à-dire $|z + 1| = p$) et $p’$ le module de $z’ +\ic$ (c’est-à-dire $|z’ + \text{i}| = p’$).
a. Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $- 1$, on a : $pp’ = \sqrt{5}$.
$\quad$
b. Si le point $M$ appartient au cercle $(\Gamma)$ de centre $A$ et de rayon $2$, montrer qu’alors $M’ = f(M)$ appartient à un cercle $(\Gamma ‘)$, dont on précisera le centre et le rayon.$
$\quad$
Pour tout nombre complexe $z$ différent de $- 1$, on considère le nombre complexe $\omega = \dfrac{z- 2\text{i}}{ z + 1}$.
a. Montrer que $z’ = – \text{i}\omega$.
$\quad$
b. Déterminer l’ensemble $(F)$ des points $M$ d’affixe $z$ telle que $z’$ soit un réel non nul.
$\quad$
c. Vérifier que le point D appartient aux ensembles $(\Gamma)$ et $(F)$.
$\quad$
Représenter les ensembles $(\Gamma)$, $(F)$ et $(\Gamma’)$ en prenant $4$ cm pour unité graphique.

Correction

$\quad$
$\begin{align} c’ &= \dfrac{-\ic \times (-\ic) – 2}{-\ic + 1}\\\\
&= \dfrac{-3}{1 – \ic} \\\\
&= \dfrac{-3}{1 – \ic} \times \dfrac{1 + \ic}{1 + \ic}\\\\
&= \dfrac{-3 – 3\ic}{1 + 1}\\\\
&= \dfrac{-3 – 3\ic}{2}
\end{align}$
$\quad$
On cherche la valeur de $d$ telle que :
$\begin{align} \dfrac{-\ic d – 2}{d + 1} = \dfrac{1}{2} & \Leftrightarrow 2(-\ic d – 2) = d + 1 \\\\
& \Leftrightarrow -2\ic d – 4 = d + 1 \\\\
& \Leftrightarrow -2\ic d – d = 5 \\\\
& \Leftrightarrow d(-2\ic – 1) = 5 \\\\
& \Leftrightarrow d= \dfrac{5}{-2\ic – 1} \\\\
& \Leftrightarrow d = \dfrac{5(-1 + 2\ic}{4 + 1} \\\\
& \Leftrightarrow d = -1 + 2\ic
\end{align}$
$\quad$
a. Soit $z$ un nombre complexe différent de $-1$.
$z’ + \ic = \dfrac{-\ic z – 2}{z + 1} + \ic = \dfrac{-\ic z – 2 + \ic z + \ic}{z + 1} = \dfrac{-2 + \ic}{z + 1}$
Par conséquent $|z’ + \ic| = \dfrac{|-2 + \ic|}{|z + 1|} = \dfrac{\sqrt{5}}{|z + 1|}$
Soit $p’ = \dfrac{\sqrt{5}}{p}$ et $pp’ = \sqrt{5}$.
$\quad$
b. Si $M$ appartient au cercle $(\Gamma)$ alors $p=|z + 1|=2$.
Par conséquent $|z’ + \ic| = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
$M’$ appartient donc au cercle $(\Gamma’)$ de centre $C$ et de rayon $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
$\quad$
a. $-\ic \omega = \dfrac{-\ic z – 2\ic(-\ic)}{z + 1} = \dfrac{-icz + 2}{z + 1} =z’$
$\quad$
b. $\quad$
$\begin{align} z’ &= \dfrac{-\ic z – 2}{z + 1} \\\\
& = \dfrac{-\ic (x + \ic y) – 2}{x + \ic y + 1} \\\\
&= \dfrac{-\ic x + y – 2}{x + 1 + \ic y} \times \dfrac{x + 1 – \ic y}{x + 1 – \ic y} \\\\
&= \dfrac{(y – 2)(x + 1) – xy – \ic x(x + 1) – \ic y(y – 2)}{(x + 1)^2 + y^2} \\\\
& = \dfrac{y – 2x – 2 – \ic(x^2 + x + y^2 – 2y)}{(x + 1)^2 + y^2}
\end{align}$
$z’$ est un réel non nul si, et seulement si, $x^2 + x + y^2 – 2y = 0 \quad (1) $ et $y – 2x – 2 \ne 0$.
$\begin{align} x^2 + x + y^2 – 2y = 0 &\Leftrightarrow \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 – \dfrac{1}{4} + (y – 1)^2 – 1 = 0 \\\\
&\Leftrightarrow \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 + (y – 1)^2 = \dfrac{5}{4}
\end{align}$.
$y – 2x – 2 = 0 \Leftrightarrow y = 2x + 2 \quad (2)$.
En injectant cette équation dans l’équation $(1)$, on obtient :
$\begin{align} x^2 + x + (2x + 2)^2 – 2(2x + 2) = 0 &\Leftrightarrow x^2+x+4x^2+4+8x – 4x – 4 = 0 \\\\
&\Leftrightarrow 5x^2 + 5x = 0 \\\\
&\Leftrightarrow 5x(x + 1) = 0 \\\\
& \Leftrightarrow x = 0 \qquad \text{ou} \qquad x = -1
\end{align}$
En injectant ces valeurs dans l’équation $(2)$.
Si $x = -1$ alors $y = 0$ : on obtient le point $A$.
Si $x = 0$ alors $y = 2$ : on obtient le point $B$.
$\quad$
L’ensemble $(F)$ est donc le cercle de centre $\Omega$ d’affixe $-\dfrac{1}{2} + \ic$ et de rayon $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ privé des points $B$ et $A$.
$\quad$
c. $D$ est le point d’affixe $d=-1 + 2\ic$.
D’après la question 2, $d’ = \dfrac{1}{2}$ est un réel non nul. $D \in (F)$.
$AD = |-1 + 2\ic + 1| = |2\ic| = 2$. Donc $D \in (\Gamma)$.
$\quad$