TS – Complexes 2

Exercice 4

Dans le plan complexe rapporté à un repère $\Ouv$ on appelle $A$, $B$, $C$ les points d’affixes respectives $z_A = 1 + 2\ic$, $z_B = 1$, $z_C = 3\ic$, et on considère la transformation $f$ qui a tout point $M$ d’affixe $z$ fait correspondre le point $M’ = f(m)$ d’affixe $$z’ = \dfrac{(3 + 4\ic)z + 5\overline{z}}{6}$$

Déterminer les affixes des points $A’$, $B’$, $C’$ images de $A$, $B$, $C$ par $f$. Placer ces $6$ points.
$\quad$
On pose $z = x + \ic y$ ($x$ et $y$ réels). Déterminer en fonction de $x$ et $y$ la partie réelle et la partie imaginaire de $z’$.
$\quad$
Démontrer que l’ensemble des points invariants par $f$ (c’est-à-dire tels que $z’ = z$) est la droite $\Delta$ d’équation $y = \dfrac{x}{2}$.
Tracer $\Delta$. Que remarque-t-on?
$\quad$
Démontrer que, pour tout point $M$ du plan, le point $M’$ est sur la droite $\Delta$.
$\quad$
Montrer que, pour tout complexe $z$, $\dfrac{z’ – z}{z_A} = \dfrac{z + \overline{z}}{6}+\ic \dfrac{z – \overline{z}}{3}$.
En déduire que $\dfrac{z’ – z}{z_A}$ est réel.
$\quad$
Que peut-on en déduire pour les droites $(MM’)$ et $(OA)$?
$\quad$
Comment peut-on construire $M’$ connaissant $M$ (on distinguera suivant que $M$ appartient ou non à $\Delta$)?

Correction

$f(1 + 2\ic) = \dfrac{(3 + 4\ic)(1 + 2\ic) + 5(1 – 2\ic)}{6} = \dfrac{3 + 6\ic + 4\ic – 8 + 5 – 10 \ic}{6} = 0$
$\quad$
$f(1) = \dfrac{3 + 4\ic + 5}{6} = \dfrac{4 + 2\ic}{3}$
$\quad$
$f(3\ic) = \dfrac{(3 + 4\ic)(3 \ic) – 15\ic}{6} = \dfrac{9\ic – 12 – 15\ic}{6} = -2 -\ic$
$\quad$
$\begin{align*} z’ &= \dfrac{(3 + 4\ic)(x + \ic y) + 5(x – \ic y)}{6} \\\\
& = \dfrac{3x + 3\ic y + 4\ic x – 4y + 5x – 5\ic y}{6} \\\\
& = \dfrac{8x – 4y + (4x -2y)\ic}{6} \\\\
& = \dfrac{4x – 2y + (2x – y)\ic}{3}
\end{align*}$
Par conséquent $\Re\text{e}(z’) = \dfrac{4x – 2y}{3}$ et $\Im\text{m}(z’) = \dfrac{2x – y}{3}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} z = z’ & \Leftrightarrow \begin{cases} x = \dfrac{4x – 2y}{3} \\ y = \dfrac{2x – y}{3} \end{cases} \\\\
& \Leftrightarrow \begin{cases} 3x = 4x – 2y \\3y = 2x – y \end{cases} \\\\
& \Leftrightarrow \begin{cases} -x = -2y \\4y = 2x \end{cases} \\\\
& \Leftrightarrow y = \dfrac{x}{2}
\end{align*}$
L’ensemble des points invariants est donc la droite $\Delta$.
Les points $A’$, $B’$ et $C’$ semblent appartenir à cette droite.
$\quad$
$\Re \text{e}(z’) = 2\Im \text{m} (z’)$. Donc $M’ \in \Delta$.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \dfrac{z’ – z}{z_A} &= \dfrac{\dfrac{(3 + 4\ic)z + 5\overline{z}}{6} – z}{1 + 2\ic} \\\\
& = \dfrac{(-3 + 4\ic)z + 5\overline{z}}{6(1 + 2\ic)} \\\\
& = \dfrac{(-3 + 4\ic)z + 5\overline{z}}{6(1 + 2\ic)} \times \dfrac{1 – 2\ic}{1 – 2\ic}\\\\
& = \dfrac{(-3 + 6\ic + 4\ic + 8)z + (5 – 10\ic)\overline{z}}{6 \times 5} \\\\
& = \dfrac{(5 + 10\ic)z + (5 – 10\ic)\overline{z}}{6 \times 5} \\\\
& = \dfrac{(1 + 2\ic)z + (1 – 2\ic)\overline{z}}{6} \\\\
& = \dfrac{z + \overline{z} + 2\ic(z – \overline{z})}{6} \\\\
& = \dfrac{z + \overline{z}}{6} + \ic \dfrac{z – \overline{z}}{3}
\end{align*}$
$\quad$
$z + \overline{z} = 2\Re\text{e}(z)$ et $\ic(z – \overline{z}) = -2\Im\text{m}(z)$. Par conséquent $\dfrac{z’ – z}{z_A}$ est un réel.
$\quad$
$\dfrac{z’ – z}{z_A} = \dfrac{z’ – z}{z_A – z_O}$ est un réel.
Par conséquent les vecteurs $\vec{MM’}$ et $\vec{OA}$ sont colinéaires et les droites $(MM’)$ et $(OA)$ sont parallèles.
$\quad$
Si $M$ n’appartient pas à $\Delta$ alors le point $M’$ est dont le point d’intersection de la droite $\Delta$ et de la droite parallèle à $(OA)$ passant par $M$.
$\quad$
Si $M$ appartient à $\Delta$ alors $M = M’$.