TS – Complexes 3 – Ex 2

Exercice 2

Déterminer le module et un argument de :

  1. $z = \dfrac{1 + \ic}{1 – \ic}$
    $\quad$
  2. $z= \dfrac{1 + \ic \sqrt{3}}{1 + \ic}$
    $\quad$
  3. $z = \dfrac{-\sqrt{2}}{1 + \ic}$
    $\quad$

Correction

  1. $|1 + \ic| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
    $1 + \ic = \sqrt{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{\ic}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \left(\cos \dfrac{\pi}{4} + \ic \sin \dfrac{\pi}{4}\right)$
    Par conséquent arg$(1 + \ic) = \dfrac{\pi}{4} \quad (2\pi)$
    $\quad$
    $|1  – \ic| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
    $1 – \ic = \sqrt{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} – \dfrac{\ic}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \left(\cos \dfrac{-\pi}{4} + \ic \sin \dfrac{-\pi}{4}\right)$
    Par conséquent arg$(1 – \ic) = -\dfrac{\pi}{4} \quad (2\pi)$
    $\quad$
    Donc $|z| = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$
    Et arg$(z) = \dfrac{\pi}{4} – \dfrac{-\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} \quad (2\pi)$
    $\quad$
    On pouvait également déterminer la forme algébrique de $z$ (on obtient $\ic$) et ensuite déterminer le module et un argument.
    $\quad$
  2. $\left| 1 + \ic\sqrt{3}\right| = 2$
    $1 + \ic \sqrt{3} = 2\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\ic \right) = 2\left( \cos \dfrac{\pi}{3} + \ic \sin \dfrac{\pi}{3}\right)$
    Par conséquent arg$\left(1 + \ic \sqrt{3}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad (2\pi)$.
    $\quad$
    $|1 + \ic| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
    $1 + \ic = \sqrt{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{\ic}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \left(\cos \dfrac{\pi}{4} + \ic \sin \dfrac{\pi}{4}\right)$
    Par conséquent arg$(1 + \ic) = \dfrac{\pi}{4} \quad (2\pi)$
    Donc $|z| = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
    Et arg$(z) = \dfrac{\pi}{3} – \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{12} \quad (2\pi)$.
    $\quad$
  3. $-\sqrt{2} = \sqrt{2}\left(\cos \pi + \ic \sin \pi\right)$ C’est un réel négatif!
    Donc arg$\left(-\sqrt{2} \right) = -\pi \quad (2\pi)$.
    $\quad$
    $|1 + \ic| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
    $1 + \ic = \sqrt{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \dfrac{\ic}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \left(\cos \dfrac{\pi}{4} + \ic \sin \dfrac{\pi}{4}\right)$
    Par conséquent arg$(1 + \ic) = \dfrac{\pi}{4} \quad (2\pi)$
    $\quad$
    Donc $|z| = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$
    Et arg$(z) = -\pi – \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{5\pi}{4} \quad (2\pi) = \dfrac{3\pi}{4} \quad (2\pi)$.