TS – complexes 3 – Ex 4

Exercice 4

Écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :

  1. $z = \left(\sin \dfrac{\pi}{6} + \ic \cos \dfrac{\pi}{6}\right)^6$
    $\quad$
  2. arg$(\ic z) = \dfrac{3\pi}{4} \quad (2\pi)$ et $|z| = 2$
    $\quad$

Correction

  1. $\quad$
    $\begin{align} z &= \left(\sin \dfrac{\pi}{6} + \ic \cos \dfrac{\pi}{6}\right)^6 \\\\
    & = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\ic\right)^6 \\\\
    & = \left(\cos \dfrac{\pi}{3} + \ic \sin \dfrac{\pi}{3}\right)^6
    \end{align}$
    Par conséquent arg$(z) = 6 \times \dfrac{\pi}{3} = 2\pi \quad (2\pi) = 0 \quad (2\pi)$.
    Donc $z = \cos 0 + \ic \sin 0 $.
    $\quad$
  2. $\quad$
    arg$(\ic z) = \dfrac{3\pi}{4} \quad (2\pi)$
    $\Leftrightarrow$ arg$(\ic)$ + arg$(z) = \dfrac{3\pi}{4} \quad (2\pi) $
    $ \Leftrightarrow \dfrac{\pi}{2} +$ arg$(z) = \dfrac{3\pi}{4} \quad (2\pi) $
    $\Leftrightarrow $ arg$(z) = \dfrac{\pi}{4} \quad (2\pi) $.
    Donc $z = 2\left(\cos \dfrac{\pi}{4} + \ic \sin \dfrac{\pi}{4}\right)$.