TS – Complexes 3 – Ex 5

Exercice 5

On donne les nombres complexes : $z_1 = \dfrac{\sqrt{6} – \ic \sqrt{2}}{2}$ et $z_2 = 1 – \ic$.

  1. Donner une forme trigonométrique de $z_1$, $z_2$ et $\dfrac{z_1}{z_2}$.
    $\quad$
  2. Donner la forme algébrique de $\dfrac{z_1}{z_2}$.
    $\quad$
  3. En déduire la forme exacte de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et de $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
    $\quad$

  1. $|z_1| = \dfrac{\sqrt{6 + 2}}{2} = \sqrt{2}$
    Donc $z_1 = \sqrt{2} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}- \dfrac{\ic}{2} \right) = \sqrt{2} \left(\cos \dfrac{-\pi}{6} + \ic \sin \dfrac{-\pi}{6}\right)$
    $\quad$
    $|z_2| = 2$ donc $z_2 = 2\left(\dfrac{1}{2} – \dfrac{\ic}{2}\right) = 2\left(\cos \dfrac{-\pi}{4} + \ic \sin \dfrac{-\pi}{4}\right)$
    $\quad$
    Par conséquent arg$\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) = \dfrac{-\pi}{6} – \dfrac{-\pi}{4} = \dfrac{\pi}{12} \quad (2\pi)$.
    Et $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$.
    $\quad$
    Ainsi $\dfrac{z_1}{z_2} = \cos \dfrac{\pi}{12} + \ic \sin \dfrac{\pi}{12}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} \dfrac{z_1}{z_2} &= \dfrac{\dfrac{\sqrt{6} – \ic \sqrt{2}}{2}}{1 – \ic} \\\\
    & = \dfrac{\sqrt{6} – \ic \sqrt{2}}{2(1 – \ic)} \times \dfrac{1 + \ic}{1 + \ic} \\\\
    & = \dfrac{\sqrt{6} + \ic \sqrt{6} – \ic \sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} \\\\
    &= \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} \ic
    \end{align}$
    $\quad$
  3. En identifiant les formes trigonométriques et algébriques de $\dfrac{z_1}{z_2}$ on obtient :
    $\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}$