TS – Complexes 3 – Ex 7

Exercice 7

tiré de Centres étrangers juin 2014

On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z$ par :
$$\begin{cases}
\begin{array}{lcl}
z_0 & = & 16 \\
z_{n+1} & = & \dfrac{1 + \ic}{2}z_n, \text{ pour tout entier naturel }n.
\end{array}
\end{cases}$$

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine $O$, on considère les points $A_n$ d’affixes $z_n$.

  1. Calculer $z_1, z_2$ et $z_3$.
    $\quad$
  2. Placer les points $A_0, A_1$ et $A_2$.
    $\quad$
  3. Écrire le nombre complexe $\dfrac{1 + \ic}{2}$ sous forme trigonométrique.
    $\quad$
  4. Démontrer que le triangle $OA_0A_1$ est isocèle rectangle en $A_1$.
    $\quad$

 

TS - complexe 3 -ex7

Correction

  1.  $z_1 = \dfrac{1+\text{i}}{2} \times 16$ $=8(1+\text{i})$
    $z_2 = \dfrac{1+\text{i}}{2}\times 8(1 + \text{i}) $ $=8i$
    $z_3 = \dfrac{1+\text{i}}{2}\times 8\text{i} = -4 + 4\text{i}$
    $~$
  2. $~$
    TS - complexe 3 -ex7cor
  3. $\left| \dfrac{1+\text{i}}{2} \right| = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    Donc $\dfrac{1+\text{i}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \text{i} \right)$ $=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \left( \cos  \dfrac{\pi}{4} + \text{i} \sin \dfrac{\pi}{4} \right) $
    $~$
  4. $\quad$
    $\begin{align} \dfrac{z_O – z_{A_1}}{z_{A_0} – z_{A_1}} & = \dfrac{-8(1+\ic)}{16 – 8(1 + \ic)} \\\\
    &=\dfrac{-8(1 + \ic)}{8(1 – \ic)} \\\\
    &= \dfrac{-(1+ \ic)^2}{2} \\\\
    & = – \ic
    \end{align}$
    $\quad$
    Ainsi $\left|\dfrac{z_O – z_{A_1}}{z_{A_0} – z_{A_1}}\right| = \dfrac{A_1 O}{A_1 A_0} = 1$
    $\quad$
    Et arg$\left(\dfrac{z_O – z_{A_1}}{z_{A_0} – z_{A_1}} \right) = \left(\vec{A_1 O},\vec{A_1 A_0}\right) = -\dfrac{\pi}{2} \quad (2\pi)$.
    Le triangle $OA_0A_1$ est donc rectangle et isocèle en $A_1$.