TS – complexes – Ex 3

Exercice 3

Résoudre dans $\C$ chacune des équations suivantes.

  1. $2z^2 – 6z + 5=0$
    $\quad$
  2. $z^2+z+1=0$
    $\quad$
  3. $z^2 + 2\overline{z} + 1 = 0$

Correction

  1. $2z^2 – 6z + 5=0$
    $\quad$
    On calcule le discriminant : $\Delta = (-6)^2 – 4 \times 2 \times 5 = -4 <0$
    L’équation possède donc deux racines complexes :
    $z_1 = \dfrac{6 – \ic\sqrt{4}}{4} = \dfrac{3 – \ic}{2}$ et $z_2 = \overline{z_1} = \dfrac{3 + \ic}{2}$
    $\quad$
  2. $z^2+z+1=0$
    $\quad$
    On calcule le discriminant : $\Delta = 1^2 – 4 = -3 <0$
    L’équation possède donc deux racines complexes :
    $z_1 = \dfrac{-1 – \ic\sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = \overline{z_1} = \dfrac{-1 + \ic\sqrt{3}}{2}$
    $\quad$
  3. $z^2 + 2\overline{z} + 1 = 0$
    $\quad$
    Attention, il ne s’agit pas d’une équation du second degré “classique”. On doit donc passer par la forme algébrique de $z = x + \ic y$.
    On obtient ainsi :
    $\begin{align*} z^2 + 2\overline{z} + 1 = 0 & \Leftrightarrow (x + \ic y)^2 + 2(x – \ic y) + 1 = 0\\\\
    & \Leftrightarrow x^2 – y^2 + 2\ic xy + 2x – 2\ic y + 1 = 0\\\\
    & \Leftrightarrow x^2 – y^2 + 2x + 1 + \ic(2xy – 2y) = 0
    \end{align*}$
    On doit donc résoudre le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x^2 – y^2 + 2x + 1 = 0 \\\\ 2xy – 2y = 0 \end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases} (x + 1)^2 – y^2 = 0\\\\2y(x – 1) = 0 \end{cases}\\\\
    & \Leftrightarrow \begin{cases} (x + 1)^2 – y^2 = 0 \\\\y = 0 \text( ou ) x = 1 \end{cases}
    \end{align*}$
    Si $y = 0$ alors en remplaçant dans la première équation, on trouve $(x + 1)^2 =0$ soit $x = -1$.
    Si $x = 1$ alors en remplaçant dans la première équation, on trouve $ 4 -y ^2 = 0$ soit $y = 2$ ou $y= -2$.
    $\quad$
    Les solutions de l’équation sont donc : $-1, 1 + 2\ic$ et $1 – 2\ic$.