TS - complexes

Exercice 7

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \Oij. On note $A$ le point d’affixe $\ic$. \`A tout point $M$ du plan, distinct de $A$, d’affixe $z$, on associe le point $M’$ d’affixe $z’ = \dfrac{\ic z}{z – \ic}$.

a. Déterminer les points $M$ tels que $M = M’$.
$\quad$
b. Déterminer l’affixe du point $B’$ associé au point $B$ d’affixe $1$.
$\quad$
c. Déterminer l’affixe du point $C$ tel que l’affixe de son image $C’$ soit $2$.
Étant donné un nombre complexe $z$, distinct de $\ic$, on pose $z = x + \ic y$ et $z’ = x’ + \ic y’$ le nombre nombre complexe associé, avec $x,x’,y,y’$ réels.
a. Déterminer $x’$ et $y’$ en fonction de $x$ et $y$.
$\quad$
b. Déterminer l’ensemble $\Gamma$ des points $M$, distincts de $A$, pour lesquels $z’$ est réel.
$\quad$
c. Placer $A, B,B’,C,C’$ et représenter $\Gamma$ sur une figure (unité graphique $4$ cm).
$\quad$
Soit $z$ un nombre complexe différent de $\ic$.
a. Montrer que l’on a $z’ – \ic = \dfrac{-1}{z – \ic}$.
$\quad$
b. On suppose que $M$, d’affixe $z$, appartient au cercle $\gamma$ de centre $A$ et de rayon $1$. Montrer que $M’$ appartient à $\gamma$.
$\quad$

Correction

a.
$\begin{align*} M = M’ &\Leftrightarrow z = \dfrac{\ic z}{z – \ic} \\\\
& \Leftrightarrow z^2 – \ic z = \ic z \qquad z \ne \ic \\\\
& \Leftrightarrow z^2 – 2\ic z = 0 \qquad z \ne \ic \\\\
& \Leftrightarrow z(z – 2\ic) = 0 \qquad z \ne \ic \\\\
& \Leftrightarrow z= 0 \text{ ou } z = 2\ic
\end{align*}$
Les seuls points vérifiant $M’ = M$ sont les points d’affixe $0$ et $2i$.
$\quad$
b. Si $z = 1$ alors $z’ = \dfrac{\ic}{1 – \ic} = \dfrac{\ic (1 + \ic)}{(1 – \ic)(1 + \ic)}$ $ = \dfrac{-1 + \ic}{1^2 + 1^2}$ $=\dfrac{-1 + \ic}{2}$.
$\quad$
Le point $B’$ a donc pour affixe $\dfrac{-1 + \ic}{2}$
$\quad$
c. On cherche les complexes $z$ tels que :
$\begin{align*} \dfrac{\ic z}{z- \ic} = 2 &\Leftrightarrow 2 z -2\ic = \ic z \qquad z \ne \ic \\\\
& \Leftrightarrow z(2 – \ic) = 2\ic \qquad z \ne \ic \\\\
& \Leftrightarrow z = \dfrac{2\ic}{2 – \ic} \qquad z \ne \ic \\\\
& \Leftrightarrow z = \dfrac{2\ic(2 + \ic)}{2^2 + 1^2} \\\\
& \Leftrightarrow z= \dfrac{-2 + 4\ic}{5}
\end{align*}$
Le point $C$ a pour affixe $\dfrac{-2 + 4\ic}{5} $
$\quad$
a.
$\begin{align*} z’ = \dfrac{\ic(x + \ic y}{x + \ic y – \ic} \\\\
& = \dfrac{-y + \ic x}{x + \ic (y – 1)} \\\\
& = \dfrac{-y + \ic x}{x + \ic (y – 1)} \times \dfrac{x – \ic (y – 1)}{x – \ic (y – 1)} \\\\
& = \dfrac{-xy + \ic y (y – 1) + \ic x^2 + x(y – 1)}{x^2 + (y – 1)^2} \\\\
&= \dfrac{-xy + xy – x + \ic (y^2 – y + x^2)}{x^2 + (y – 1)^2} \\\\
&= \dfrac{-x + \ic(y^2 – y + x^2)}{x^2 + (y – 1)^2}
\end{align*}$
Par conséquent $x’ = \dfrac{-x}{x^2 + (y – 1)^2}$ et $y’ = \dfrac{y^2 – y + x^2}{x^2 + (y – 1)^2}$
$\quad$
b. $\quad$
$\begin{align*} z’ \text{ réel} &\Leftrightarrow y’ = 0 \\\\
& \Leftrightarrow y^2 – y + x^2 = 0 \qquad (x;y) \ne (0;1) \\\\
&\Leftrightarrow x^2 + \left(y – \dfrac{1}{2}\right)^2 – \dfrac{1}{4} = 0 \qquad (x;y) \ne (0;1) \\\\
& \Leftrightarrow x^2 + \left(y – \dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} \qquad (x;y) \ne (0;1)
\end{align*}$
Il s’agit du cercle de centre $D$ d’affixe $\dfrac{1}{2}\ic$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$ privé de $A$.
$\quad$
c. $\quad$
a. $z’ – \ic = \dfrac{\ic z}{z – \ic} – \ic $ $= \dfrac{ic z – \ic z – 1}{z – \ic}$ $ = \dfrac{-1}{z \ic}$
$\quad$
b. Si $M$ appartient à $\gamma$ alors $AM = 1$ soit $|z – \ic| = 1$.
Or :
$\begin{align*} |z’ – \ic| & = \left|\dfrac{-1}{z – \ic}\right| \\\\
& = \dfrac{1}{|z – \ic|} \\\\
&= \dfrac{1}{1} \\\\
& = 1
\end{align*}$
Par conséquent $M’$ appartient également au cercle $\gamma$.