Dérivation et trigonométrie

I Rappels sur la dérivation

Définition 1 :
On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ de $\R$, deux réel $a$ et $h$ tels que $a$ et $a+h$ appartiennent tous les deux à l’intervalle $I$.
On dit que $f$ est dérivable en $a$ si, et seulement si, $\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \ell$, où $\ell$ est un réel.
Cette limite $l$ est appelé nombre dérivé de $f $en $a$ et on la note $f'(a)=l$.

Le quotient $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ est appelé taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$.

Définition 2 :
On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ de $\R$.
On dit que cette fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $I$ si $f$ est dérivable en tout point $a$ de $I$.
La fonction $f’$ définie sur l’intervalle $I$ par $x\mapsto f'(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$ sur l’intervalle $I$.

Remarques :

Une fonction peut-être définie en un point $a$ sans être dérivable en $a$.
Une fonction dérivable en $a$ est également continue en $a$.
La réciproque est cependant fausse : la fonction valeur absolue est continue sur $\R$ et donc en $0$ mais n’est pas dérivable en $0$.

Propriété 1 : Équation de la tangente en un point
On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère $\Oij$.
Une équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $a$ est :
$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3x^2+x$. Pour tous réels $x$, $f'(x)=6x+1$.
On souhaite déterminer une équation de la tangente au point d’abscisse $-1$.
$f(-1)=2$ et $f'(-1)=-5$.
Une équation de la tangente au point d’abscisse $-1$ est donc $y=-5\left((x-(-1)\right)+2$ soit $y=-5(x+1)+2$ ou encore $y=-5x-3$.

Propriété 2 : Opérations sur les dérivées
On considère deux fonctions $f$ et $g$ dérivables sur un intervalle $I$ et un réel $k$..
On a alors :

$(f+g)’ = f’+g’$.
$(kf)’ = kf’$.
$(fg)’=f’g+g’f$.
$\left(\dfrac{1}{f}\right)’ = – \dfrac{f’}{f^2}$ $\quad$ pour toute fonction $f$ ne s’annulant pas sur l’intervalle $I$.
$\left(\dfrac{f}{g}\right)’ = \dfrac{f’g-g’f}{g^2}$ $\quad$ pour toute fonction $g$ ne s’annulant pas sur l’intervalle $I$.

Exemples :

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3x^2$ alors, pour tous réels $x$, $f'(x)=3 \times 2x = 6x$
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x\sqrt{x}$ alors, pour tous réels $x>0$ on a :
$\begin{align*}f'(x)&=1\times \sqrt{x}+x\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\
&=\sqrt{x}+\dfrac{x}{2\sqrt{x}} \\
&=\sqrt{x}+\dfrac{\sqrt{x} \times \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} \\
&=\sqrt{x}+\dfrac{\sqrt{x}}{2} \\
&=\dfrac{3\sqrt{x}}{2}
\end{align*}$
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{x^2+x+1}$. La dérivée de la fonction $x \mapsto x^2+x+1$ est la fonction $x \mapsto 2x+1$.
Alors, pour tous réel $x$, $f'(x)=-\dfrac{2x+1}{\left(x^2+x+1\right)^2}$.
On considère la fonction $f$ définie pour tous réels $x>0$ par $f(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{x}}$
Alors, pour tous réels $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1 \times \sqrt{x}-\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}^2} \\
&=\dfrac{\sqrt{x}-\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}}{x} \\
&=\dfrac{\dfrac{2x-x-1}{2\sqrt{x}}}{x} \\
&=\dfrac{x-1}{2x\sqrt{x}}
\end{align*}$

Propriété 3 :
On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$.

$f$ est strictement croissante sur l’intervalle $I$ si, et seulement si, $f'(x)>0$ pour tous réels $x$ de l’intervalle $I$ sauf pour un nombre fini de réels pour lesquels $f'(x)=0$.
$f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $I$ si, et seulement si, $f'(x)<0$ pour tous réels $x$ de l’intervalle $I$ sauf pour un nombre fini de réels pour lesquels $f'(x)=0$.
$f$ est constante sur l’intervalle $I$ si, et seulement si, $f'(x)=0$ pour tous réels de l’intervalle $I$.

Cela nous permet de fournir une propriété sur les extremum.

Propriété 4 :
On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ et un réel $a$ de l’intervalle $I$.

Si $f’$ s’annule en $a$ en changeant de signe alors la fonction $f$ possède un extremum local en $a$.
Si $f$ possède un extremum local en $a$ alors $f'(a)=0$.

Attention Ce n’est pas parce $f'(a)=0$ que la fonction $f$ possède un extremum local en $a$.
Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3$.
Alors, pour tous réels $x$, $f'(x)=3x^2$. Ainsi $f'(0)=0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$ car $f'(x)>0$ pour tous les réels non nuls.

II Nouvelles formules

1 Dérivée de $\boldsymbol{\sqrt{u}}$

Propriété 5 :
On considère une fonction $u$ dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$.
La fonction $f$ définie pour tous réel $x$ de l’intervalle $I$ par $f(x)=\sqrt{u(x)}$ est dérivable sur l’intervalle $I$ et $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ pour tous réels $x$ de l’intervalle $I$.

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.
La fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=x^2+1$ est dérivable et strictement positive sur $\R$.
De plus $u'(x)=2x$.
Par conséquent la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tous réel $x$, $f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Preuve Propriété 5

On considère deux réels $a$ et $h$ tel que $a$ et $a+h$ appartiennent tous les deux à $I$.
On calcule le taux d’accroissement :
$\begin{align*}
T_a(h) &= \dfrac{\sqrt{u(a+h)} – \sqrt{u(a)}}{h} \\
&= \dfrac{\sqrt{u(a+h)} – \sqrt{u(a)}}{h} \times \dfrac{\sqrt{u(a+h)} + \sqrt{u(a)}}{\sqrt{u(a+h)} + \sqrt{u(a)}}\\
& = \dfrac{u(a+h) – u(a)}{h} \times \dfrac{1}{\sqrt{u(a+h)} + \sqrt{u(a)}}
\end{align*}$
On sait que la fonction $u$ est dérivable sur l’intervalle $I$ donc $\lim\limits_{h \rightarrow 0}\dfrac{u(a+h) – u(a)}{h} = u'(a)$
On sait également que la fonction $u$ est continue, car dérivable, sur l’intervalle $I$ donc $\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{1}{\sqrt{u(a+h)} + \sqrt{u(a)}} = \dfrac{1}{2\sqrt{u(a)}}$
Par conséquent $f'(a)=\lim\limits_{h \rightarrow 0} T_a(h) = \dfrac{u'(a)}{2\sqrt{u(a)}}$

Ce résultat est valable pour tous les réels $a$ de l’intervalle $I$.

Donc, pour tous réel $x$ de l’intervalle $I$ :
$$f'(x) = \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$$

[collapse]

**2. Dérivée de $\boldsymbol{u^n,n\in \Z^*}$**

Propriété 6 :
On considère un entier relatif $n$ et une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$ (et ne s’annulant pas sur cet intervalle si $n<0$).
La fonction $f$ définie pour tous réels $x$ de l’intervalle $I$ par $f(x)=\left(u(x)\right)^n$ est dérivable sur l’intervalle $I$ et $f'(x)=nu'(x)\left(u(x)\right)^{n-1}$ pour tous réels $x$ de l’intervalle $I$.

Exemples :

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\left(5x^2-3\right)^4$.
La fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=5x^2-3$ est dérivable sur $\R$ et $u'(x)=10x$.
On a $n=4$
Par conséquent, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x)=4 \times 10x \times \left(5x^2-3\right)^3=40x\left(5x^2-3\right)^3$.
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{\left(3x^2+5\right)^3}$.
Donc $f(x)=\left(3x^2+5\right)^{-3}$.
La fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=3x^2+5$ est dérivable sur $\R$ et $u'(x)=6x$.
On a $n=-3$
Par conséquent, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x)=-3\times 6x \times \left(3x^2+5\right)^{-4} = \dfrac{-18x}{\left(3x^2+5\right)^4}$.

Preuve Propriété 6

On suppose que la fonction $u$ n’est pas la fonction nulle.
Nous allons montrer par récurrence que la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.

Initialisation : Pour $n=1$ \quad $(u^1)’ = u’ = 1 \times u’ \times (u)^{1-1}$.
La propriété est donc vraie au rang $1$.

Hérédité : Supposons maintenant que la propriété vraie au rang $n$ : $\left(u(x)^n \right)’ = nu'(x)\left(u(x) \right)^{n-1}$ \quad $\forall x\in I$

$\begin{align*}
\left(u(x)^{n+1} \right)’ &= \left(u(x)^{n} \times u(x) \right)’ \\
&= \left(u(x)^{n}\right)’ \times u(x) + \left(u(x)\right) ^n \times u'(x) \\
&= nu'(x)\left(u(x) \right)^{n-1} \times u(x) + \left(u(x)\right) ^n \times u'(x) \\
&= nu'(x)\left(u(x) \right)^{n} + \left(u(x)\right) ^n \times u'(x) \\
&= (n+1)u'(x)\left(u(x)\right) ^n
\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $\left(u(x)^n \right)’=nu'(x)\left(u(x) \right)^{n-1}$

Nous allons montrer maintenant que la propriété est également vraie si $n$ est un entier relatif strictement négatif.
Puisque $n<0$, il existe un entier naturel $m$ non nul tel que $n=-m$.

On a alors :
$\begin{align*} \left(u(x)^n \right)’ &= \left(\dfrac{1}{\left(u(x)^m \right)}\right)’ \\
&= – \dfrac{\left(u(x)^m \right)’}{\left(u(x)^m \right)^2} \\
& = \dfrac{-mu'(x)\left(u(x) \right)^{m-1}}{\left(u(x) \right)^{2m}} \\
& = -mu'(x)\left(u(x) \right)^{-m-1} \\
& = nu'(x)\left(u(x) \right)^{n-1}
\end{align*}$

[collapse]

3. Dérivée de $\boldsymbol{x\mapsto u(ax+b)}$

Propriété 7 :
On considère une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$, deux réels $a$ et $b$ et un intervalle $J$ tel que, pour tous réels $x$ de l’intervalle $J$, $ax+b$ appartient à l’intervalle $I$.
La fonction $f$ définie pour tous réels $x$ de l’intervalle $J$ par $f(x)=u(ax+b)$ est dérivable sur l’intervalle $J$ et, pour tous réels $x$ de l’intervalle $J$, $f'(x)=au'(ax+b)$.

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $[-6;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{2}x+3}$.
On appelle $u$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $u(x)=\sqrt{x}$ et dérivable sur $]0;+\infty[$.
On a également $a=\dfrac{1}{2}$ et $b=3$.
Pour tous réels $x$ de l’intervalle $]-6;+\infty[$, $\dfrac{1}{2}x+3>0$.
Donc la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-6;+\infty[$ et $f'(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2\sqrt{\dfrac{1}{2}x+3}}=\dfrac{1}{4\sqrt{\dfrac{1}{2}x+3}}$.

Preuve Propriété 7

On va considérer deux cas distincts :

Si $a=0$
Pour tout $x \in J$ on a $f(x) = f(b)$.
La fonction $f$ est donc une fonction constante et $f'(x) = 0 = a u'(ax+b)$.
Si $a \ne 0$
Pour tous réels $h \in \R$ tel que $a(x+h)+b \in J$ on a :
$\begin{align*} \dfrac{u(a(x+h)+b)-u(ax+b)}{h} &= a \times \dfrac{u(a(x+h)+b)-u(ax+b)}{ah}\\
&=a \times \dfrac{u(ax+ah+b)-u(ax+b)}{ah}
\end{align*}$
Or $\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{u(ax+ah+b)-u(ax+b)}{ah} = u'(ax+b)$
Donc $f'(x)= a\times u'(ax+b)$

[collapse]

La propriété suivante, bien que hors programme, résume les trois propriétés précédentes.

Propriété 8 (Hors programme)
On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction définie et dérivable sur $J$ telle que $g(x) \in I$ pour tous réels $x$ appartenant à l’intervalle $J$.
La fonction $f \circ g$ est dérivable sur l’intervalle $J$ et $(f \circ g)'(x) = g'(x) \times f’\left( g(x) \right)$ pour tous réels $x$ de l’intervalle $J$.

III Trigonométrie

Définition 3 :
On appelle fonction cosinus, notée $\cos$, la fonction qui, à tous réels $x$, associe le nombre $\cos(x)$.
On appelle fonction sinus, notée $\sin$, la fonction qui, à tous réels $x$, associe le nombre $\sin(x)$.
Ces deux fonctions sont continues sur $\R$.

Propriété 9 : Périodicité
Pour tous réels $x$ :
$\cos(x+2\pi)=\cos(x)$ et $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$.
On dit que les fonctions sont périodiques de période $2\pi$.

Propriété 10 : Parité

La fonction $\cos$ est paire : pour tous réels $x$, $\cos(-x)=\cos(x)$.
La fonction $\sin$ est impaire : pour tous réels $x$, $\sin(-x)=-\sin(x)$.

Propriété 11 :
Pour tous réels $x$ on a :

$\cos(x+\pi) = -\cos(x)$ $\quad$ et $\quad$ $\sin(x+\pi) = -\sin(x)$
$\cos(x-\pi) = -\cos(x)$ $\quad$ et $\quad$ $\sin(x-\pi) = \sin(x)$
$\cos \left(\dfrac{\pi}{2} – x \right) = \sin(x)$ $\quad$ et $\quad$ $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x \right) = \cos(x)$
$\cos \left(\dfrac{\pi}{2} + x \right) = -\sin(x)$ $\quad$ et $\quad$ $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x \right) = \cos(x)$

Propriété 12 :

La fonction $\cos$ est dérivable sur $\R$ et pour tous réels $x$, $\cos'(x)=-\sin(x)$.
La fonction $\sin$ est dérivable sur $\R$ et pour tous réels $x$, $\sin'(x)=\cos(x)$.

Propriété 13 :
$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ $\qquad$ et $\qquad$ $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\cos x – 1}{x} = 0$

Preuve Propriété 12

Pour démontrer ces deux résultats on va utiliser les taux d’accroissements des fonctions sinus et cosinus en 0.

$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x – \sin 0}{x – 0 } = \cos 0 = 1$

$\quad$

$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\cos x – 1}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\cos x – \cos 0}{x – 0} = -\sin 0 = 0$

[collapse]

Propriété 14 :
On considère deux réels $a$ et $b$.
La fonction $f:x \mapsto \sin(ax+b)$ est dérivable sur $\R$ et, pour tous réels $x$, $f'(x)=a\cos(ax+b)$.
La fonction $g:x \mapsto \cos(ax+b)$ est dérivable sur $\R$ et, pour tous réels $x$, $f'(x)=-a\sin(ax+b)$.

IV Tableaux récapitulatifs

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\boldsymbol{f(x)} & \boldsymbol{\mathscr{D}_f} & \boldsymbol{f'(x)} & \boldsymbol{\mathscr{D}_{f’} }\\
\hline
k \text{ constante} & \R & 0 & \R \\
\hline
\dfrac{1}{x} & \R^* & – \dfrac{1}{x^2} & \R^* \\
\hline
x^n \quad n\in \Z^* &\begin{cases} \R \text{ si } n>0 \\ \R^* \text{ si } n<0 \end{cases} & nx^{n-1} & \begin{cases} \R \text{ si } n>0 \\ \R^* \text{ si } n<0 \end{cases} \\
\hline
\sqrt{x} & [0;+\infty[ & \dfrac{1}{2\sqrt{x}} & ]0;+\infty[ \\
\hline
\sin(x) & \R & \cos(x) & \R \\
\hline
\cos(x) & \R & -\sin(x) & \R \\
\hline
\end{array}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\boldsymbol{f} & \boldsymbol{f’} & \boldsymbol{\text{commentaire}} \\
\hline
u+v & u’+v’ & \\
\hline
ku &ku’ & k \in \R \\
\hline
uv & u’v+uv’ & \\
\hline
\dfrac{1}{u} & – \dfrac{u’}{u^2} & \text{si } u(x) \ne 0 \\
\hline
\dfrac{u}{v} & \dfrac{u’v-uv’}{v^2} & \text{si } v(x) \ne 0 \\
\hline
u^n & nu’\times u^{n-1} & n \in \Z \text{ et } u(x) \ne 0 \text{ si } n<0 \\
\hline
\sqrt{u} & \dfrac{u’}{2\sqrt{u}} & \text{si } u(x) > 0 \\
\hline
x \mapsto u(ax+b) & x \mapsto au'(ax+b) & \\
\hline\end{array}$$