TS – Cours – Fonction logarithme népérien

Fonction logarithme népérien

I La fonction logarithme népérien

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\R$. On sait de plus que $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^x=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^x=+\infty$.
Par conséquent d’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), pour tous réels $b$ strictement positifs, il existe un unique réel $a$ tel que $\e^a=b$.

 Définition 1

Pour tous réels strictement positifs $b$, on note $\ln b$, le logarithme népérien de $b$, l’unique solution de l’équation $\e^x = b$
On définit ainsi la fonction logarithme népérien qui à tous réels $x$ strictement positifs associe le réel $\ln x$.

Remarque : On dit alors que la fonction $\ln$ est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Les courbes représentant la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y=x$.

 

La définition de la fonction logarithme népérien permet de fournir la propriété suivante.

 Propriété 1

  1. La fonction $\ln$ est définie et continue sur $]0;+\infty[$.
  2. $\forall x\in \R, \ln \left(\e^x \right) = x$
  3. $\ln 1 = 0$ et $\ln \e = 1$
  4. $\forall x > 0, \e^{\ln x} = x$

$\quad$

 Propriété 2

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et, pour tous réels $x$ strictement positifs on a $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$.

Preuve Propriété 2

On considère un réel strictement positif $b$ et on va étudier le taux d’accroissement de la fonction $\ln$.

$$\begin{align*} \dfrac{\ln x – \ln b}{x-b} &= \dfrac{\ln x – \ln b}{\e^{\ln x} – \e^{\ln b}} \\
& = \dfrac{1}{\dfrac{\e^{\ln x} – \e^{\ln b}}{\ln x – \ln b}}
\end{align*}$$

Nous allons étudier $\dfrac{\e^{\ln x} – \e^{\ln b}}{\ln x – \ln b}$. Pour cela on va poser $X = \ln x$.
On obtient ainsi :

$$\dfrac{\e^{\ln x} – \e^{\ln b}}{\ln x – \ln b} = \dfrac{\e^{X} – \e^{\ln b}}{X – \ln b}$$

On sait que la fonction $\ln$ est continue.
Par conséquent $\lim\limits_{x \to b} \ln x = \ln b$.
Donc $\lim\limits_{x \to b} X = \ln b$.
Ainsi $\lim\limits_{x \to b}\dfrac{\e^{X} – \e^{\ln b}}{X – \ln b} = \e^{\ln b}$ (Il s’agit du nombre dérivé de la fonction exponentielle en $\ln b$).
On obtient alors $\lim\limits_{x \to b} \dfrac{\e^{\ln x} – \e^{\ln b}}{\ln x – \ln b} = \e^{\ln b} = b$.
Par conséquent $\lim\limits_{x \to b} \dfrac{\ln x – \ln b}{x-b} = \dfrac{1}{b}$.
On a donc montré que la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et que, pour tous réel $x$ strictement positifs $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$.

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$\quad$

 Propriété 3

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.

Preuve Propriété 3

Pour tous réels $x$ strictement positifs on a $\ln'(x) = \dfrac{1}{x} > 0$.
La fonction $\ln$ est donc strictement croissante sur $]0;+\infty[$.

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$\quad$

 Propriété 4

  1. Pour tous réels $x$ strictement positifs, $\ln x < 0 \ssi 0 < x < 1$
  2. Pour tous réels $x$ strictement positifs, $\ln x > 0 \ssi x > 1$

Preuve Propriété 4

On sait que la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et que $\ln 1 = 0$.
On obtient ainsi les équivalences de la propriété.

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$\quad$

 Propriété 5

  1. Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs, $\ln a = \ln b \Leftrightarrow a =b$.
  2. Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs, $\ln a < \ln b \Leftrightarrow a <b$.

Preuve Propriété 5

Ces deux propriétés découlent du fait que la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.

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$\quad$

Remarque : Cette propriété nous permet de résoudre des équations et des inéquations dans lesquelles figurent des logarithmes.

Exemple : On veut résoudre l’inéquation $\ln \left[(2x-6)(2-x) \right] \pp \ln \left[ (2x-6)(-x+1) \right]$
Avant toute chose, il faut définir sur quel(s) intervalle(s) cette inéquation est définie.

Pour le premier logarithme : il faut que $(2x-6)(2-x) > 0$.
Cela signifie donc que $x$ doit appartenir à l’intervalle $]2;3[$.

On procède de la même manière avec le second logarithme.
Pour qu’il soit défini, il faut que $(2x-6)(-x+1)>0$.
Cela signifie alors que $x$ doit appartenir à l’intervalle $]1;3[$.

L’inéquation est donc définie sur $]2;3[\cap ]1;3[=]2;3[$.
Sur cet intervalle :

$$\begin{align*}
\ln \left[(2x-6)(2-x) \right] \le \ln \left[ (2x-6)(-x+1) \right] &\ssi (2x-6)(2-x) \pp (2x-6)(-x+1) \\
&\ssi (2x-6)(-x+1)-(2x-6)(2-x) \pp 0 \\
&\ssi (2x-6)\left[(-x+1)-(2-x)\right] \pp 0 \\
&\ssi (2x-6) \times 3 \pp 0 \\
&\ssi x \pp 3
\end{align*}$$

La solution de l’inéquation est donc $]-\infty;3] \cap ]2;3[ = ]2;3[$.

 

 

II Propriétés algébriques

 Propriété 6

On considère deux réels $a$ et $b$ strictement positifs.

$$\ln(ab)=\ln a + \ln b$$

Preuve Propriété 6

On sait que pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs on a $\e^{\ln a} = a$, $\e^{\ln b} = b$ et $e^{\ln (ab)} = ab$.
Ainsi $a\times b = ab \ssi \e^{\ln a} \times \e^{\ln b} = \e^{\ln (ab)}$.
D’après les propriété algébrique de la fonction exponentielle on a également $\e^{\ln a} \times \e^{\ln b} = \e^{\ln a + \ln b}$.
Par conséquent $\e^{\ln a + \ln b} = e^{\ln (ab)}$.
Donc $\ln (ab) = \ln a + \ln b$.

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$\quad$

Exemple : $\ln 39 = \ln(3 \times 13) = \ln 3 + \ln 13$

 Propriété 7

Pour tous réels $a$ strictement positifs on a $\ln \dfrac{1}{a} = -\ln a$.

Preuve Propriété 7

On considère un réel $a$ strictement positif.
$\dfrac{1}{a} \times a = 1$ donc, d’après la propriété précédente, on a $\ln \dfrac{1}{a} + \ln a = \ln 1$.
Or $\ln 1 = 0$. Par conséquent $\ln \dfrac{1}{a} + \ln a = 0$.
On obtient ainsi : $\ln \dfrac{1}{a} =-\ln a $

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$\quad$

Exemple : $\ln 0,2 = \ln \dfrac{1}{5} = -\ln 5$

 Propriété 8

Pour tous réels $a > 0$ et tous entiers relatifs $n$, $\ln (a^n) = n \ln a$.

Preuve Propriété 8

Nous allons montrer cette propriété par récurrence.
On considère un réel strictement positif $a$.

Dans un premier temps, on considère un entier naturel $n$.
Initialisation : Si $n=0$. $\ln a^0 = \ln 1 = 0$ et $0 \times \ln a = 0$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.

$\quad$

Hérédité : On suppose que la propriété est vraie au rang $n$: $\ln (a^n) = n \ln a$.
Ainsi
$$\begin{align*} \ln (a^{n+1}) &= \ln (a \times a^n) \\
& = \ln a + \ln (a^n) \\
& = \ln a + n\ln a \\
&= (n+1)\ln a\end{align*}$$

La propriété est donc vraie au rang $(n+1)$.

$\quad$

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Donc pour tous entiers naturels $n$ on a $\ln (a^n) = n\ln a$.

$\quad$

On considère maintenant un entier relatif $n$ strictement négatif. Il existe donc un entier naturel strictement positif $m$ tel que $-n=m $.
$$\begin{align*} \ln (a^n)& = \ln \left(\dfrac{1}{a^{-n}} \right) \\
&=\ln \left(\dfrac{1}{a^{m}} \right)\\
& = \ln \left( \dfrac{1}{a} \right)^{m} \\
& = m\ln \dfrac{1}{a} \\
&= -n \left(-\ln a\right) \\
& = n \ln a \end{align*}$$

La propriété est donc vraie pour tous entiers relatifs $n$.

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$\quad$

Exemple : $\ln (10~000) = \ln 10^4 = 4\ln 10$

 Propriété 9

Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, $\ln \dfrac{a}{b} = \ln a-\ln b$.

Preuve Propriété 9

$$\begin{align*} \ln \dfrac{a}{b} &= \ln \left(a \times \dfrac{1}{b} \right) \\
& = \ln a + \ln \dfrac{1}{b} \\
& = \ln a-\ln b \end{align*}$$

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$\quad$

Exemple : $\ln \dfrac{2}{7} = \ln 2-\ln 7$

 Propriété 10

Pour tous réels $a$ strictement positifs, $\ln \sqrt{a} = \dfrac{1}{2} \ln a$.

Preuve Propriété 10

On utilise le fait que, pour tous entiers relatifs $n$ et tous réels $b$ on a $\ln\left(a^n\right)=n\ln a$ avec $n=2$ et $b=\sqrt{a}$.
$2\ln \sqrt{a} = \ln \left( \sqrt{a} \right)^2 = \ln a$.
On a donc montré que $\ln \sqrt{a} = \dfrac{1}{2} \ln a$.

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$\quad$

Exemple : $\ln \sqrt{7} = \dfrac{1}{2} \ln 7$

 

III Quelques limites

 Propriété 11

  1. $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$
  2. $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$

Preuve Propriété 11

  1. On considère un réel strictement positif $A$.
    On considère maintenant un réel $x$ tel que $x > \e^A$.
    On sait que la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    Par conséquent $\ln x > \ln \e^A$ soit $\ln x > A$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$.\item On considère un réel $x$ strictement positif.
  2. $\ln x = -\ln \dfrac{1}{x}$.
    Donc $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\lim\limits_{x \to 0^+} \ln \dfrac{1}{x}$
    $\left. \begin{array}{r} \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty \\ \lim\limits_{X \to +\infty} \ln X = +\infty \end{array} \right\}$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln \dfrac{1}{x}=+\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \ln x = -\infty$

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$\quad$

On est maintenant en mesure de fournir le tableau de variation suivant :

 

 

 Propriété 12

$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\ln (1+x)}{x} = 1$

Preuve Propriété 12

On remarque que $\dfrac{\ln(1+x)}{x} = \dfrac{\ln(1+x) – \ln 1}{1 + x-1}$.

Il s’agit du taux d’accroissement de la fonction $\ln$ en $1$.

Or on sait que la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ donc en particulier en $1$.

$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = \ln'(1) = \dfrac{1}{1}=1$

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$\quad$

 Propriété 13

On considère un entier naturel $n$ non nul.

  1. $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0$.
    En particulier $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
  2. $\lim\limits_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$.
    En particulier $\lim\limits_{x \to 0^+}x \ln x = 0$.

Preuve Propriété 13

On ne démontre que les résultats pour $n=1$.

  1. On considère un réel strictement positif $x$ et pose $X=\ln x$.
    Donc $\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{X}{\e^X} = \dfrac{1}{\dfrac{\e^X}{X}}$.
    Or :
    $\left. \begin{array}{r} \lim\limits_{x \to +\infty} X=\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x=+\infty \\ \lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{\e^X}{X}=+\infty \end{array} \right\}$ donc, par limite d’un quotient $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
  2. On considère un réel strictement positif $x$ et pose $X=\ln x$.
    Donc $x\ln x=\e^X \times X$.
    Or :
    $\left. \begin{array}{r} \lim\limits_{x \to 0^+} X=\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty \\ \lim\limits_{X \to -\infty} X\e^X=0 \end{array} \right\}$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln x = 0$.

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$\quad$

 

IV Fonctions composées et $\boldsymbol{\ln}$

 Propriété 14

On considère une fonction $u$ dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$.
La fonction $\ln u$ est alors définie et dérivable sur $I$ et, pour tous réels $x$ appartenant à $I$ on a $\left( \ln u \right)'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$.

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln(5x^2+2x+1)$.
On appelle $u$ la fonction définie sur $\R$ par $u(x)=5x^2+2x+1$
Le discriminant de $5x^2+2x+1$ est $\Delta = 2^2-4\times 5 \times 1 = -16<0$.
Ainsi, pour tous réels $x$, $5x^2+2x+1>0$ et la fonction $f$ est bien définie sur $\R$.
De plus $u'(x)=2\times 5x+2=10x+2$
Par conséquent $f$ est définie et dérivable sur $\R$ et $f'(x) = \dfrac{10x+2}{5x^2+2x+1}$ pour tous réels $x$.

 

V Fonction logarithme décimal

 Définition 2

On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée $\log$ définie sur $]0;+\infty[$ par $$\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}$$

On obtient ainsi la propriété suivante :

 Propriété 15

  1. La fonction $\log$ est définie, dérivable et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
  2. Pour tous entiers relatifs $n$ on a $\log 10^n =n$
  3. $\log 10 = 1$ et $\log 1 = 0$.
  4. Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs et $n$ entiers relatifs :
    $$\begin{align*}
    \log (ab) &= \log a + \log b \\
    \log \dfrac{a}{b} &= \log a-\log b \\
    \log \left( a^n \right) &= n\log a
    \end{align*}$$

 

Preuve Propriété 15

  1. Pour tous réels $x$ strictement positifs, on a $\log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$.
    La fonction $\ln$ est définie, dérivable et strictement croissante sur $]0;+\infty[$. La fonction $\log$ l’est donc également.
  2. Pour tous entiers relatifs $n$ on a :
    $$\begin{align*} \log 10^n &= \dfrac{\ln 10^n}{\ln 10} \\
    & = \dfrac{n \ln 10}{\ln 10} \\
    & = n
    \end{align*}$$
  3. $\log 10 = \dfrac{\ln 10}{\ln 10} = 1$ et $\log 1=\dfrac{\ln 1}{\ln 10} = 0$.
    1. On considère deux réels $a$ et $b$ strictement positifs.
      $$\begin{align*}
      \log(ab)&= \dfrac{\ln(ab)}{\ln 10} \\
      &=\dfrac{\ln a+\ln b}{\ln 10} \\
      &= \dfrac{\ln a}{\ln 10}+\dfrac{\ln b}{\ln 10} \\
      &=\log a+\log b
      \end{align*}$$
      $\quad$
      $$\begin{align*}
      \log \dfrac{a}{b}&= \dfrac{\ln \dfrac{a}{b}}{\ln 10} \\
      &=\dfrac{\ln a-\ln b}{\ln 10} \\
      &=\dfrac{\ln a}{\ln 10}-\dfrac{\ln b}{\ln 10} \\
      &=\log a-\log b
      \end{align*}$$
      $\quad$
      Pour tous entiers relatifs $n$
      $$\begin{align*}
      \log\left(a^n\right)&=\dfrac{\ln\left(a^n\right)}{\ln 10} \\
      &=\dfrac{n\ln a}{\ln 10} \\
      &=n \log a
      \end{align*}$$

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$\quad$

Exemples d’utilisation de la fonction $\boldsymbol{\log}$

  • pH : ph = $-\log \left[\text{H}_3 \text{O}^+ \right]$ où $\left[\text{H}_3 \text{O}^+ \right]$ est exprimé en mol.$\text{L}^{-1}$.
  • Echelle de Richter : magnitude = $\log \dfrac{I}{I_{0}}$ où $I$ est l’intensité du séisme et $I_0$ une intensité de référence.
  • Décibels : puissance du son = $10 \log \dfrac{I}{I_{0}}$ où $I$ est l’intensité du son mesurée et $I_0$ une intensité de référence.