TS – Cours – Géométrie dans l’espace

Géométrie dans l’espace

 

I Positions relatives

1. Positions relatives d’une droite et d’un plan

 Définition 1 : Une droite est dite parallèle à un plan si elle est incluse dans le plan ou si le plan et la droite n’ont aucun point en commun.

La droite peut donc être :

  • Sécante au plan
    2nd - cours - expace fig 20
  • Strictement parallèle au plan
    2nd - cours - expace fig 18
  • Incluse dans le plan
    2nd - cours - expace fig 19

2. Positions relatives de deux droites

 Définition 2 : Deux droites sont dites coplanaires si elles sont incluses dans un même plan.

2 droites peuvent donc être :

  • Coplanaires : elles sont alors sécantes, strictement parallèles ou confondues;
    2nd - cours - espace - fig252nd - cours - expace fig 162nd - cours - expace fig 17 (1)
  • Non coplanaires : elles n’ont alors aucun point en commun.

2nd - cours - expace fig 15

3. Positions relatives de deux plans

Deux plans peuvent être :

  • Parallèles : Ils sont alors soit confondus, soit strictement parallèles
    2nd - cours - expace fig 222nd - cours - expace fig 21
  • Sécants
 Propriété 1 : Si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite.

2nd - cours - expace fig 23 (1)

$\quad$

$\quad$

II Parallélisme

 Propriété 2 : Si deux droites de l’espace sont parallèles alors toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.

$\quad$

 Propriété 3 : Une droite $d$ est parallèle à un plan $\mathscr{P}$ si, et seulement si, il existe une droite $d’$ du plan $\mathscr{P}$ parallèle à la droite $d$. 

2nd - cours - expace fig 11

Preuve Propriété 3

  • On suppose que $d$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$.
    $-$ Si $d$ est appartient au plan $\mathscr{P}$ alors il suffit de choisir un point $A$ de $\mathscr{P}$ n’appartenant pas à $d$ et de considérer la droite parallèle à $d$ passant par $A$.
    $-$ On suppose que $d$ n’est pas une droite de $\mathscr{P}$.
    On appelle $A$ un point du plan $\mathscr{P}$ et $d’$ la droite parallèle à $d$ passant par $A$.
    Puisque les droites $d$ et $d’$ sont parallèles il existe un plan $\mathscr{P}’$ contenant ces deux droites.
    Le point $A$ appartient donc au deux plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$. On appelle $\Delta$ l’intersection de ces deux plans. Le point $A$ appartient par définition à cette droite $\Delta$.
    Les droites $d$ et $\Delta$ sont coplanaires et sont parallèles car sinon la droite $d$ et le plan $\mathscr{P}$ auraient un point en commun.
    Ainsi les droites $d’$ et $\Delta$ sont deux droites du plan $\mathscr{P}$ parallèles à la droite $d$ passant par le point $A$. Elles sont donc confondues.
  • On suppose qu’il existe une droite $d’$ du plan $\mathscr{P}$ telle que les droites $d$ et $d’$ soient parallèles.
    Seule le cas où $d$ n’est pas incluse dans le plan $\mathscr{P}$ est à montrer; le résultat est immédiat sinon.
    Supposons que la droite $d$ et le plan $\mathscr{P}$ soient sécants en $A$.
    On appelle $\Delta$ la droite parallèle $d’$ passant par $A$.
    Ainsi la droite $\Delta$ est à la fois parallèle à $d$, car parallèle à $d’$, et sécante en $A$ avec $d$ ce qui est impossible.
    Donc la droite $d$ et le plan $\mathscr{P}$ sont strictement parallèle.

[collapse]

$\quad$

Propriété 4 : Si deux plans strictement parallèles sont coupés par un troisième plan alors les droites d’intersections sont parallèles.

2nd - cours - expace fig 24

 Propriété 5 : Deux plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ sont parallèles si, seulement si, il existe deux droites sécantes du plan $\mathscr{P}’$ parallèles au plan $\mathscr{P}$.
Preuve Propriété 5

  • On suppose que les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ sont strictement parallèles.
    On considère deux droites sécantes $d$ et $d’$ appartenant au plan $\mathscr{P}’$.
    On suppose que la droite $d$ et le plan $\mathscr{P}$ soient sécants en $A$.
    Le point $A$ appartient alors aux deux plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ ce qui est impossible car ils sont strictement parallèles.
    Le plan $\mathscr{P}$ est par conséquent parallèle à deux droites sécantes du plan $\mathscr{P}’$.
  • On suppose qu’il existe deux droites sécantes $d$ et $d’$ du plan $\mathscr{P}’$ parallèles au plan $\mathscr{P}$.
    On suppose que les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ sont sécants et on appelle $\Delta$ leur intersection.
    Une droite d’un plan ne peut pas être parallèle à deux droites sécantes d’un même plan en même temps.
    On peut donc supposer que les droites $\Delta$ et $d$ sont sécantes en $A$.
    Ainsi le point $A$ appartient à la droite $\Delta$ et donc au plan $\mathscr{P}$ et à la droite $d$ ce qui est impossible car la droite $d$ et le plan $\mathscr{P}$ sont parallèles.
    Par conséquent les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ sont parallèles.

[collapse]

$\quad$

Pour prouver que deux plans sont parallèles on utilisera très souvent la propriété suivante qui est une conséquence directe de celle que nous venons de voir.

Propriété 6 :  Si deux droites sécantes $d_1$ et $d_2$ d’un plan $\mathscr{P}$ sont respectivement parallèles à deux droites sécantes $d’_1$ et $d’_2$ d’un plan $\mathscr{P}’$ alors les deux plans sont parallèles.

2nd - cours - expace fig 13

 Propriété 7 : Si deux plans sont parallèles alors tout plan parallèle à l’un est parallèle à l’autre.

$\quad$

Théorème 1 (Théorème du toit) : On considère deux droites parallèles $d_1$ et $d_2$ appartenant respectivement à deux plans sécants $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ dont l’intersection est la droite $\Delta$.

Les droites $\Delta$, $d_1$ et $d_2$ sont alors parallèles.

2nd - cours - expace fig 14

Preuve Théorème 1

  • Si les droites $d_1$ et $d_2$ sont confondues alors la droite $\Delta$ est également confondue avec les droites $d_1$ et $d_2$ et le théorème est vrai.
  • Si les droites $d_1$ et $d_2$ sont strictement parallèles.
    On suppose que les droites $d_1$ et $\Delta$ sont sécantes en $A$.
    $A$ appartient à $\Delta$ donc également au plan $\mathscr{P}_2$.
    Les droites $d_1$ et $d_2$ sont strictement parallèles donc le point $A$ n’appartient pas à la droite $d_2$. Ainsi la droite $d_2$ et le point $A$ définissent le plan $\mathscr{P}_2$.
    La droite $d_1$ est parallèle à la droite $d_2$ et le point $A$ appartient à la droite $d_1$. Par conséquent la droite $d_1$ appartient au plan $\mathscr{P}_2$.
    La droite $d_1$ est donc l’intersection des plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$. Ainsi les droites $\Delta$ et $d_1$ sont confondues ce qui est impossible car on les a supposées sécantes.
    Les droites $d_1$ et $\Delta$ ne peuvent donc pas être sécantes. On sait qu’elles sont coplanaires; elles ne peuvent donc qu’être parallèles.
    Les droites $d_1$ et $d_2$ d’une part et $d_1$ et $\Delta$ d’autre part sont parallèles. On en déduit donc que ces trois droites sont parallèles.

[collapse]

$\quad$

III Orthogonalité

 Définition 3 : Deux droites de l’espace $d$ et $d’$ sont orthogonales lorsque leurs droites parallèles respectives par un point quelconque de l’espace sont perpendiculaires.


Remarque : Deux droites orthogonales, comme l’illustre la figure, ne sont pas nécessairement coplanaires : elles n’ont donc pas nécessairement de point d’intersection.

 Propriété 8 : Si deux droites sont parallèles alors toute droite orthogonale à l’une est également orthogonale à l’autre.
Preuve Propriété 8

On considère deux droites parallèles de l’espace $d_1$ et $d_2$ et une droite $\Delta$ orthogonale à $d_1$.
On considère un point quelconque $A$ de l’espace. Il existe alors une droite $d_1’$ parallèle à la droite $d_1$ et une droite $\Delta’$ parallèle à la droite $\Delta$, toutes les deux passant par $A$, telles que les droites $d_1’$ et $\Delta$ soient perpendiculaires.
La droite $d_2$ est également parallèle à $d_1’$.
Par conséquent les droites $d_2$ et $\Delta$ sont orthogonales.

[collapse]

$\quad$

Remarque : Dans l’espace, si on considère deux droites orthogonales $d_1$ et $d_2$ et une troisième droite $d_3$ orthogonale à $d_1$ alors les droites $d_2$ et $d_3$ ne sont pas nécessairement parallèles (contrairement aux droites perpendiculaires du plan).

 Définition 4 : Une droite est dite orthogonale à un plan si elle orthogonale à toutes les droites de ce plan.

$\quad$

 Propriété 9 : Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. 


Preuve Propriété 9

Nous n’allons montrer que la partie réciproque de la propriété; la partie directe étant évidente.
Pour démontrer cette propriété nous allons utiliser le produit scalaire dans l’espace, qui fait l’objet d’un chapitre à part.
On considère deux droites sécantes $d_1$ et $d_2$ du plan $\mathscr{P}$ de vecteurs directeurs respectifs $\vect{u_1}$ et $\vect{u_2}$ et une droite $\Delta$, de vecteur directeur $\vec{v}$, orthogonale aux droites $d_1$ et $d_2$.
Les vecteurs $\vect{u_1}$ et $\vect{u_2}$ ne sont pas colinéaires (car les droites associées sont sécantes). Ils définissent donc une base du plan $\mathscr{P}$.
On considère une autre droite $d_3$ du plan $\mathscr{P}$ de vecteur directeur $\vect{u_3}$.
Il existe donc un unique couple de réels $(\alpha;\beta)$ tel que $\vect{u_3}=\alpha \vect{u_1}+\beta \vect{u_2}$.
Ainsi $\vec{v}.\vect{u_3}=\alpha \vec{v}.\vect{u_1}+\beta \vec{v}.\vect{u_2}=0$.
La droite $\Delta$ est par conséquent orthogonale à la droite $d_3$.
On en déduit alors que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$.

[collapse]

$\quad$

 Propriété 10 :

  1. Il existe une unique droite passant par un point et orthogonale à un plan donné.
  2. Il existe un unique plan passant par un point et orthogonal à une droite donnée.

$\quad$

 Propriété 11 : Si deux droites sont parallèles alors tout plan orthogonal à l’une est également orthogonal à l’autre.
Preuve Propriété 11

On considère deux droites $d$ et $d’$ de l’espace parallèles.
On considère une droite $\Delta$ du plan $\mathscr{P}$.
La droite $d$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$. Elle est donc orthogonale à la droite $\Delta$.
Les droites $d$ et $d’$ sont parallèles. Par conséquent les droites $d’$ et $\Delta$ sont orthogonales.
Donc la droite $d’$ et le plan $\mathscr{P}$ sont orthogonaux.

[collapse]

$\quad$

 Propriété 12 : Si deux droites sont orthogonales à un même plan alors elles sont parallèles.
Preuve Propriété 12

On considère deux droites $d_1$ et $d_2$ orthogonales à un même plan $\mathscr{P}$.
On appelle $A$ le point d’intersection de la droite $d_1$ avec le plan $\mathscr{P}$.
La droite $d_3$ parallèle à $d_2$ passant par le point $A$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$. La propriété précédente nous assure que les droites $d_3$ et $d_1$ sont confondues.
Ainsi les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.

[collapse]

$\quad$

 Propriété 13 : Si deux plans sont parallèles alors toute droite orthogonal à l’un est également orthogonal à l’autre.
Preuve Propriété 13

On considère deux plans de l’espace parallèles $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}’$ et une droite $d$ orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
On appelle $A$ le point d’intersection de la droite $d$ et du plan $\mathscr{P}$.
On considère une droite $\Delta$ du plan $\mathscr{P}’$ et on appelle $\mathscr{Q}$ le plan défini par le point $A$ et la droite $\Delta$.
L’intersection des plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{Q}$ est la droite $\Delta’$ parallèle à $\Delta$ passant par le point $A$.
La droite $d$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$ : elle est donc orthogonale à toutes les droites de ce plan en particulier à la droite $\Delta’$.
Les droites $\Delta$ et $\Delta’$ sont parallèles et la droite $d$ est orthogonale à la droite $\Delta’$. Elle est donc également orthogonale à la droite $\Delta$.
Par conséquent la droite $d$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}’$.

[collapse]

$\quad$

 Définition 5 : Deux plans sont dits perpendiculaires si l’un d’eux contient une droite orthogonale à l’autre.


 Définition 6 : On considère deux points de l’espace $A$ et $B$. On appelle plan médiateur d’un segment $[AB]$ l’ensemble des points $M$ équidistants des extrémités $A$ et $B$.

 Propriété 14 : le plan médiateur $\mathscr{P}$ d’un segment $[AB]$ est orthogonal à la droite $(AB)$ passant par le milieu $I$ du segment $[AB]$.