Les points $O,A$ et $B$ ne sont pas alignés. Par conséquent les vecteurs $\vect{OA}$ et $\vect{OB}$ ne sont pas colinéaires et $\left(O;\vect{OA},\vect{OB}\right)$ défini un repère du plan $(OAB)$.
Ainsi, pour tout point $M$ du plan $(OAB)$, il existe des réels $x$ et $y$ tels que $\vect{OM} = x\vect{OA}+y\vect{OB}$.

Réciproquement, on considère deux réels $x$ et $y$ et un point $M$ de l’espace défini par $\vect{OM} = x\vect{OA}+y\vect{OB}$.
On appelle $A’$ le point de l’espace défini par $\vect{OA’} = x\vect{OA}$. Le point $A’$ appartient donc à la droite $(OA)$.
De la même manière, on appelle $B’$ le point de l’espace défini par $\vect{OB’} = y\vect{OB}$. Le point $B’$ appartient donc à la droite $(OB)$.
On a alors $\vect{OM} = \vect{OA’}+\vect{OB’}$
Par conséquent :
$\begin{align*} \vect{A’M} &= \vect{A’O}+\vect{OM} \\
&= \vect{A’O}+\vect{OA’}+\vect{OB’} \\
&= \vect{OB’}
\end{align*}$
Le point $M$ appartient donc à la droite parallèle à la droite $(OB)$ passant par $A’$.
Il appartient alors au plan $(ABC)$.

La droite $d_1$ passant par le point $A$ de vecteur directeur $\vec{u}$ est parallèle à la droite $d_1’$ passant par le point $A’$ de vecteur directeur $\vec{u}$.
De même, la droite $d_2$ passant par le point $A$ de vecteur directeur $\vec{v}$ est parallèle à la droite $d_2’$ passant par le point $A’$ de vecteur directeur $\vec{u}$.
Les droites $d_1$ et $d_2$ d’une part et $d_1’$ et $d_2’$ d’autre part sont sécantes car les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.
Deux droites sécantes du plan $\mathscr{P}$ sont donc parallèles à deux droites sécantes du plan $\mathscr{P}’$. Ces deux plans sont par conséquent parallèles.

On appelle $A$, $B$, $C$ et $D$ des points tels que $\vect{AB} = \vec{u}$, $\vect{AC} = \vec{v}$ et $\vect{AD} = \vec{w}$. Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires; les points $A$, $B$ et $C$ définissent donc un plan.
$D$ appartient à $ABC$ si, et seulement si, il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\vect{AD} = x\vect{AB}+y\vect{AC}$.
Par conséquent $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\vec{w} = x\vec{u}+y\vec{v}$.

Existence : On considère un point $A$ de l’espace et le plan $\mathscr{P}$ défini par le point $A$ et les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$.

• Si le vecteur $\vec{u}$ est coplanaire avec les vecteur $\vec{i}$ et $\vec{j}$ alors il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$. On a bien alors une décomposition.
• Si le vecteur $\vec{u}$ n’est pas coplanaire avec les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$, on considère alors le point $B$ de l’espace tel que $\vect{AB} = \vec{u}$ et la droite passant par $B$ et dirigée par $\vec{k}$.
  Cette droite coupe le plan $\mathscr{P}$ en $H$. Le vecteur $\vect{AH}$ est coplanaire avec les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$. Il existe donc deux réels $x$ et $y$ tels que $\vect{AH}=x\vec{i}+y\vec{j}$.
  Par conséquent : $\vec{u} = \vect{AB} = \vect{AH}+\vect{HB} = \left(x\vec{i}+y\vec{j} \right) + z\vec{k}$.

Unicité : Supposons qu’il existe deux décomposition pour le vecteur $\vec{u}$:
$\vec{u} = x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}=x’\vec{i}+y’\vec{j}+z’\vec{k}$.
Cela signifie donc que $(x-x’)\vec{i}+(y-y’)\vec{j}+(z-z’)\vec{k}=\vec{0}$. Les trois vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$ ne sont pas coplanaires.
Par conséquent $x-x’=0$ et $y-y’=0$ et $z-z’=0$ soit $x=x’$ et $y=y’$ et $z=z’$.

1. $\quad$
   $\begin{align*} \vect{AB} &= \vect{AO} + \vect{OB} \\
   &= -\vect{OA} + \vect{OB} \\
   &= -\left(x_A\vec{i}+y_A\vec{j}+z_A\vec{k}\right) + x_B\vec{i}+y_B\vec{j}+z_B\vec{k} \\
   &= \left(x_B-x_A\right)\vec{i}+\left(y_B-y_A\right)\vec{j}+\left(z_B-z_A\right)\vec{k}
   \end{align*}$
2. $\vect{OA}+\vect{OB} = 2\vect{OM}$ donc
   $\begin{align*} \vect{OM}&=\dfrac{1}{2}\left(\vect{OA}+\vect{OB}\right) \\
   &=\dfrac{1}{2}\left(x_A\vec{i}+y_A\vec{j}+z_A\vec{k}+x_B\vec{i}+y_B\vec{j}+z_B\vec{k}\right) \\
   &=\dfrac{x_A+x_B}{2}\vec{i}+\dfrac{y_A+y_B}{2}\vec{j}+\dfrac{z_A+z_B}{2}\vec{k}
   \end{align*}$
3. $\vect{OA}+\vect{OB}+\vect{OC} = 3\vect{OG}$ et on procède de la même manière que précédemment.
   
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1. $\vec{u}+\vec{v} = x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}+x’\vec{i}+y’\vec{j}+z’\vec{k} = (x+x’)\vec{i}+(y+y’)\vec{j}+(z+z’)\vec{k}$
2. $\lambda \vec{u}= \lambda \left(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} \right) = \lambda x \vec{i} + \lambda y \vec{j} + \lambda z \vec{k}$
3. $\vec{u} = \vec{v} \ssi \vec{u}-\vec{v} = \vec{0}$\\
   $\phantom{ \vec{u} = \vec{v}} \ssi (x-x’)\vec{i}+(y-y’)\vec{j}+(z-z’)\vec{k} = \vec{0}$ \\
   $\phantom{ \vec{u} = \vec{v}} \ssi x=x’$ et $y=y’$ et $z=z’$

$\vect{AM}\left(x-x_A;y-y_A;z-z_A\right)$.

$M\in\mathscr{D}\ssi$ il existe $t\in\R$ tel que $\vect{AM} = t \vect{u}$

$\phantom{M\in\mathscr{D}} \ssi
\begin{cases}
x -x_A = ta\\
y – y_A = tb\\
z – z_A = tc
\end{cases}$

$\phantom{M\in\mathscr{D}}\ssi
\begin{cases}
x=x_A+ta\\
y=y_A+tb\\
z=z_A+tc
\end{cases}$

$M\in\mathscr{P} \ssi$ $t\in\R \text{ et } t’ \in \R, \vect{AM} = t\vect{u}+t’\vect{v}$
$\phantom{M\in\mathscr{P}} \ssi \begin{cases} x_M-x_A = ta+t’a’ \\y_M-y_A = tb+t’b’ \\z_M-z_A = tc+t’c’\end{cases}$