TS – Cours – Géométrie vectorielle

Géométrie Vectorielle

I Vecteurs de l’espace

1 Généralités

Les vecteurs ont déjà été définis dans le plan. Nous allons étendre, ici, à l’espace les définitions et propriétés existantes.

 Définition 1 : On considère deux points $A$ et $B$ de l’espace.

  • Si $A=B$, le vecteur $\vect{AB}$ est le vecteur nul noté $\vec{0}$;
  • Si $A\neq B$, le vecteur $\vect{AB}$ est défini de la façon suivante :
    – sa direction est la droite $(AB)$;
    – son sens est celui de $A$ vers $B$;
    – sa norme (ou longueur) est la distance $AB$ et on note $\left\Vert \vect{AB}\right\Vert=AB$.

 Propriété 1 :

  1. On considère quatre points de l’espace $A,B,C$ et $D$.
    $\vect{AB}=\vect{CD}$ si, et seulement si, $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).
  2. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l’espace sont égaux si, et seulement si, ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
  3. Les propriétés vues dans le plan, sur la somme de deux vecteurs, la multiplication d’un vecteur par un réel, la relation de Chasles,… sont également valables dans l’espace.
  4. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$.
  5. Le vecteur nul est colinéaire avec tous les vecteurs de l’espace.
  6. Trois points de l’espace $A$, $B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si, $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont colinéaires.
  7. Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si, et seulement si, $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont colinéaires

Exemple : Les vecteurs $\vect{BE}$ et $\vect{CH}$ sont colinéaires.

2 Définition d’un plan

 Propriété 2 : On considère trois points non alignés de l’espace $O$, $A$ et $B$. L’ensemble des points $M$ de l’espace défini par $\vect{OM} = x\vect{OA}+y\vect{OB}$, où $x$ et $y$ sont des réels, est le plan $(OAB)$.
Preuve Propriété 2

Les points $O,A$ et $B$ ne sont pas alignés. Par conséquent les vecteurs $\vect{OA}$ et $\vect{OB}$ ne sont pas colinéaires et $\left(O;\vect{OA},\vect{OB}\right)$ défini un repère du plan $(OAB)$.
Ainsi, pour tout point $M$ du plan $(OAB)$, il existe des réels $x$ et $y$ tels que $\vect{OM} = x\vect{OA}+y\vect{OB}$.

Réciproquement, on considère deux réels $x$ et $y$ et un point $M$ de l’espace défini par $\vect{OM} = x\vect{OA}+y\vect{OB}$.
On appelle $A’$ le point de l’espace défini par $\vect{OA’} = x\vect{OA}$. Le point $A’$ appartient donc à la droite $(OA)$.
De la même manière, on appelle $B’$ le point de l’espace défini par $\vect{OB’} = y\vect{OB}$. Le point $B’$ appartient donc à la droite $(OB)$.
On a alors $\vect{OM} = \vect{OA’}+\vect{OB’}$
Par conséquent :
$\begin{align*} \vect{A’M} &= \vect{A’O}+\vect{OM} \\
&= \vect{A’O}+\vect{OA’}+\vect{OB’} \\
&= \vect{OB’}
\end{align*}$
Le point $M$ appartient donc à la droite parallèle à la droite $(OB)$ passant par $A’$.
Il appartient alors au plan $(ABC)$.

[collapse]

$\quad$

Remarques :

  • Il existe donc un unique plan défini par un point et couple de vecteurs de l’espace non colinéaires.
  • Un plan de l’espace peut donc être défini par trois points de l’espace non alignés ou par un point de l’espace et deux vecteurs non colinéaires.
Propriété 3 : On considère deux points de l’espace $A$ et $A’$ et deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
Le plan $\mathscr{P}$ défini par le point $A$ et les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est parallèle au plan $\mathscr{P}’$ défini par le point $A’$ et les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Preuve Propriété 3

La droite $d_1$ passant par le point $A$ de vecteur directeur $\vec{u}$ est parallèle à la droite $d_1’$ passant par le point $A’$ de vecteur directeur $\vec{u}$.
De même, la droite $d_2$ passant par le point $A$ de vecteur directeur $\vec{v}$ est parallèle à la droite $d_2’$ passant par le point $A’$ de vecteur directeur $\vec{u}$.
Les droites $d_1$ et $d_2$ d’une part et $d_1’$ et $d_2’$ d’autre part sont sécantes car les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.
Deux droites sécantes du plan $\mathscr{P}$ sont donc parallèles à deux droites sécantes du plan $\mathscr{P}’$. Ces deux plans sont par conséquent parallèles.

[collapse]

$\quad$

$\quad$

3 Vecteurs coplanaires

 Définition 3 : On considère quatre points de l’espace $A,B,C$ et $D$ et trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ tels que $\vec{u}=\vect{AB}$, $\vec{v}=\vect{AC}$ et $\vec{w}=\vect{AD}$.
Les trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont dits coplanaires si les points $A,B,C$ et $D$ sont dans un même plan.
 Propriété 4 : On considère trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ tels que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne soient pas colinéaires.
Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\vec{w} = x\vec{u}+y\vec{v}$.
Preuve Propriété 4

On appelle $A$, $B$, $C$ et $D$ des points tels que $\vect{AB} = \vec{u}$, $\vect{AC} = \vec{v}$ et $\vect{AD} = \vec{w}$. Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires; les points $A$, $B$ et $C$ définissent donc un plan.
$D$ appartient à $ABC$ si, et seulement si, il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\vect{AD} = x\vect{AB}+y\vect{AC}$.
Par conséquent $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\vec{w} = x\vec{u}+y\vec{v}$.

[collapse]

$\quad$

 Propriété 5 : On considère trois vecteurs de l’espace $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$.
Les trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont non coplanaires si, et seulement si, l’égalité $a\vec{u} + b\vec{v}+c\vec{w} = \vec{0}$ implique que $(a,b,c) = (0,0,0)$.

Remarque : Cette propriété est la contraposée de la propriété précédente.

$\quad$

 Propriété 6 : Une droite de l’espace est parallèle à un plan si, et seulement si, un vecteur directeur de cette droite est coplanaire avec deux vecteurs non colinéaires du plan.

$\quad$

II Repérage dans l’espace

 Propriété 7 : On considère trois vecteurs de l’espace $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$ non coplanaires.
Pour tout vecteur $\vec{u}$ de l’espace il existe un unique triplet de réels $(x,y,z)$ tel que $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.
Ces trois vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$ définissent alors une base de l’espace qu’on notera $\left(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$.
Preuve Propriété 7

Existence : On considère un point $A$ de l’espace et le plan $\mathscr{P}$ défini par le point $A$ et les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$.

  • Si le vecteur $\vec{u}$ est coplanaire avec les vecteur $\vec{i}$ et $\vec{j}$ alors il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$. On a bien alors une décomposition.
  • Si le vecteur $\vec{u}$ n’est pas coplanaire avec les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$, on considère alors le point $B$ de l’espace tel que $\vect{AB} = \vec{u}$ et la droite passant par $B$ et dirigée par $\vec{k}$.
    Cette droite coupe le plan $\mathscr{P}$ en $H$. Le vecteur $\vect{AH}$ est coplanaire avec les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$. Il existe donc deux réels $x$ et $y$ tels que $\vect{AH}=x\vec{i}+y\vec{j}$.
    Par conséquent : $\vec{u} = \vect{AB} = \vect{AH}+\vect{HB} = \left(x\vec{i}+y\vec{j} \right) + z\vec{k}$.

Unicité : Supposons qu’il existe deux décomposition pour le vecteur $\vec{u}$:
$\vec{u} = x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}=x’\vec{i}+y’\vec{j}+z’\vec{k}$.
Cela signifie donc que $(x-x’)\vec{i}+(y-y’)\vec{j}+(z-z’)\vec{k}=\vec{0}$. Les trois vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$ ne sont pas coplanaires.
Par conséquent $x-x’=0$ et $y-y’=0$ et $z-z’=0$ soit $x=x’$ et $y=y’$ et $z=z’$.

[collapse]

$\quad$

Exemple : Les vecteurs $\vect{AB}$, $\vect{AD}$ et $\vect{AE}$ définissent une base de l’espace.


 Définition 3 : On considère un point de l’espace $O$ et une base de l’espace $\left(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$. On dit alors que $\left(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$ est un repère de l’espace.
Pour tout point $M$ de l’espace, il existe alors trois réels $x,y$ et $z$ tels que $\vect{OM} = x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$. Ces nombres sont les coordonnées du point $M$ dans le repère $\left(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$. On les appelle respectivement l’abscisse, l’ordonnée et la cote (ou altitude) du point $M$.

 Propriété 8 : On considère trois points de l’espace, muni d’un repère \Oijk , $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$ et $C(x_C,y_C,z_C)$.

  1. Les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$ sont $(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$.
  2. Les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ sont $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2} \right)$.
  3. Les coordonnées du centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ sont $\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3};\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3} \right)$
Preuve Propriété 8
  1. $\quad$
    $\begin{align*} \vect{AB} &= \vect{AO} + \vect{OB} \\
    &= -\vect{OA} + \vect{OB} \\
    &= -\left(x_A\vec{i}+y_A\vec{j}+z_A\vec{k}\right) + x_B\vec{i}+y_B\vec{j}+z_B\vec{k} \\
    &= \left(x_B-x_A\right)\vec{i}+\left(y_B-y_A\right)\vec{j}+\left(z_B-z_A\right)\vec{k}
    \end{align*}$
  2. $\vect{OA}+\vect{OB} = 2\vect{OM}$ donc
    $\begin{align*} \vect{OM}&=\dfrac{1}{2}\left(\vect{OA}+\vect{OB}\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(x_A\vec{i}+y_A\vec{j}+z_A\vec{k}+x_B\vec{i}+y_B\vec{j}+z_B\vec{k}\right) \\
    &=\dfrac{x_A+x_B}{2}\vec{i}+\dfrac{y_A+y_B}{2}\vec{j}+\dfrac{z_A+z_B}{2}\vec{k}
    \end{align*}$
  3. $\vect{OA}+\vect{OB}+\vect{OC} = 3\vect{OG}$ et on procède de la même manière que précédemment.
    [collapse]

$\quad$

 Propriété 9 : On munit l’espace d’un repère $\Oijk$ dans lequel on considère deux vecteurs $\vec{u}(x,y,z)$ et $\vec{v}(x’,y’,z’)$. On considère également un réel $\lambda$.

  1. Le vecteur somme $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnées $(x+x’;y+y’;z+z’)$.
  2. Le vecteur $\lambda\vec{u}$ a pour coordonnées $(\lambda x,\lambda y,\lambda z)$.
  3. Égalité de deux vecteurs : $\vec{u} = \vec{v} \ssi x=x’$ et $y=y’$ et $z=z’$.
Preuve Propriété 9

  1. $\vec{u}+\vec{v} = x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}+x’\vec{i}+y’\vec{j}+z’\vec{k} = (x+x’)\vec{i}+(y+y’)\vec{j}+(z+z’)\vec{k}$
  2. $\lambda \vec{u}= \lambda \left(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} \right) = \lambda x \vec{i} + \lambda y \vec{j} + \lambda z \vec{k}$
  3. $\vec{u} = \vec{v} \ssi \vec{u}-\vec{v} = \vec{0}$\\
    $\phantom{ \vec{u} = \vec{v}} \ssi (x-x’)\vec{i}+(y-y’)\vec{j}+(z-z’)\vec{k} = \vec{0}$ \\
    $\phantom{ \vec{u} = \vec{v}} \ssi x=x’$ et $y=y’$ et $z=z’$

[collapse]

$\quad$

 Définition 4 : Dans un repère orthonormé, la norme de $\vec{u}$ est $\left\Vert \vec{u} \right\Vert = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Exemple : Dans un repère $\Oijk$, on considère les points $A(3;1;-2)$ et $B(-4;2;3)$ alors
$AB = \left\Vert \vect{AB} \right\Vert = \sqrt{(-4-3)^2+(2-1)^2+\left(3-(-2)\right)^2} = \sqrt{75}$

$\quad$

III Représentation paramétrique d’une droite

Propriété 10 : On considère, dans l’espace muni d’un repère $\Oijk$ , la droite $\mathscr{D}$ passant par le point $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ et dont un vecteur directeur est $\vect{u}(a;b;c)$ ainsi qu’un point $M(x;y;z)$ .

$M\in\mathscr{D}\ssi$ il existe $t\in\R$ tel que $\begin{cases}
x=x_A+ta\\
y=y_A+tb\\
z=z_A+tc
\end{cases}$

Preuve Propriété 10

$\vect{AM}\left(x-x_A;y-y_A;z-z_A\right)$.

$M\in\mathscr{D}\ssi$ il existe $t\in\R$ tel que $\vect{AM} = t \vect{u}$

$\phantom{M\in\mathscr{D}} \ssi
\begin{cases}
x -x_A = ta\\
y – y_A = tb\\
z – z_A = tc
\end{cases}$

$\phantom{M\in\mathscr{D}}\ssi
\begin{cases}
x=x_A+ta\\
y=y_A+tb\\
z=z_A+tc
\end{cases}$

[collapse]

$\quad$

 Définition 5 : Dans l’espace muni d’un repère $\Oijk$ in considère la droite $\mathscr{D}$ passant par le point $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ et dont un vecteur directeur est $\vec{u}(a;b;c)$.
On appelle représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ le système d’équation
$\begin{cases}
x = x_A + ta\\
y = y_A + tb \qquad t \in \R \\
z = z_A + tc
\end{cases}
$.

Le réel $t$ est appelé paramètre du point $M$.

Remarque : Il suffit de changer de point ou de vecteur directeur pour obtenir une nouvelle représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$. Par conséquent une droite possède une infinité de représentations paramétriques.

$\quad$

Exemple : On considère la droite $\mathscr{D}$ passant par le point $A(-1;3;-5)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3;-2;4)$.

Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est $\begin{cases} x= -1 + 3t \\y=3-2t \qquad t\in \R \\z=-5+4t \end{cases}$.

$\quad$

IV Représentation paramétrique d’un plan

Propriété 11 : Dans l’espace muni d’un repère $\Oijk$ on considère le plan $\mathscr{P}$ passant par le point $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ et dirigé par les vecteurs $\vect{u}(a;b;c)$ et $\vect{v}(a’;b’;c’)$ et un point $M(x,y,z)$ de l’espace.

$M\in\mathscr{P}\ssi$ il existe $t\in\R$ et $t’\in\R$ tels que
$\begin{cases}
x=x_A+ta+t’a’\\
y=y_A+tb+t’b’\\
z=z_A+tc+t’c’
\end{cases}
$

Preuve Propriété 11

$M\in\mathscr{P} \ssi$ $t\in\R \text{ et } t’ \in \R, \vect{AM} = t\vect{u}+t’\vect{v}$
$\phantom{M\in\mathscr{P}} \ssi \begin{cases} x_M-x_A = ta+t’a’ \\y_M-y_A = tb+t’b’ \\z_M-z_A = tc+t’c’\end{cases}$

[collapse]

$\quad$

Définition 6 : Dans l’espace muni d’un repère $\Oijk$ on considère le plan $\mathscr{P}$ passant par le point $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ et dirigé par les vecteurs $\vect{u}(a;b;c)$ et $\vect{v}(a’;b’;c’)$.

On appelle représentation paramétrique du plan $\mathscr{P}$ le système d’équations
$\begin{cases}
x =x_A + ta + t’a’\\
y = y_A + tb +t’b’ \qquad t \in \R \text{ et} t’ \in \R \\
z = z_A + tc + t’c’
\end{cases}$

Exemple : On considère le plan $\mathscr{P}$ passant par $A(-1;-4;3)$ dirigé par les vecteurs $\vec{u}(2;3;-5)$ et $\vec{v}(-4;0;1)$.
Une représentation paramétrique du plan $\mathscr{P}$ est $\begin{cases} x=-1 + 2t-4t’ \\y=-4+3t \qquad t \in \R \text{ et } t’\in \R \\z=3-5t+t’ \end{cases} $.

$\quad$

Remarque : Un plan possède également une infinité de représentations paramétriques.

$\quad$